2020年中考数学二模试卷一、选择题（共10小题）.1．|﹣6|的相反数是（）A．﹣6B．6C．﹣D．2．根据世卫组织最新实时统计数据，截至北京时间5月30日01时02分，全球确诊新冠肺炎5704736例；请将5704736用科学记数法表示为（）A．57.04736×105B．5.704736×106C．5.704736×105D．0.5704736×1073．如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是（）A．B．C．D．4．立定跳远是湛江市2020年体育中考项目之一，某校中考前体育模拟测试九年级（2）班第五小组的跳远成绩如下（单位cm）：171，235，265，210，189，210，260，则平均数和众数是（）A．210，210B．220，210C．235，210D．235，2355．下列四个城市的地铁标志中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．下列运算正确的是（）A．a2+a2＝a4B．a3•a4＝a12C．（a3）4＝a12D．（ab）2＝ab2 7．实数m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（）A．m＞n B．﹣n＞|m|C．﹣m＞|n|D．|m|＜|n|8．一元二次方程4x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根9．已知k1＜0＜k2，则函数y＝k1x﹣1和y＝的图象大致是（）A．B．C．D．10．如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，交AC 于点F，且∠BCD＝60°，BC＝2CD，连结OE．下列结论：①OE∥AB；②S平行四边形ABCD＝BD•CD；③AO＝2BO；④S△DOF＝2S△EOF．其中成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．分解因式：ab2﹣a＝．12．代数式有意义时，x应满足的条件是．13．不等式组的解集是．14．五边形的外角和是度．15．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1＝．16．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是．17．如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）18．计算：．19．先化简再求值：，其中a＝﹣2．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°．（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有人，条形统计图中m的值为；（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为；（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为人；（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22．如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD＝600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得∠ADB＝45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED＝500米，作EM⊥AC与M，测得∠MEC＝53°，求隧道BC长．（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）23．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．（1）第一批饮料进货单价多少元？（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．如图，AB是⊙O的直径，弦AC与BD交于点E，且AC＝BD，连接AD，BC．（1）求证：△ADB≌△BCA；（2）若OD⊥AC，AB＝4，求弦AC的长；（3）在（2）的条件下，延长AB至点P，使BP＝2，连接PC．求证：PC是⊙O的切线．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（﹣7，0），顶点D 坐标为（﹣3，），点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．过顶点D作DD1⊥x轴于点D1．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：四边形BFCE是平行四边形．（3）点P是抛物线上一动点，当P在B点左侧时，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，请问是否存在P点使得△PAM与△DD1A相似，如果存在，请写出点P的横坐标．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．|﹣6|的相反数是（）A．﹣6B．6C．﹣D．【分析】先根据绝对值的定义化简|﹣6|，再由相反数的概念解答即可．解：∵|﹣6|＝6，6的相反数是﹣6，∴|﹣6|的相反数是﹣6．故选：A．2．根据世卫组织最新实时统计数据，截至北京时间5月30日01时02分，全球确诊新冠肺炎5704736例；请将5704736用科学记数法表示为（）A．57.04736×105B．5.704736×106C．5.704736×105D．0.5704736×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．解：5704736用科学记数法表示为：5.704736×106．故选：B．3．如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】主视图有2列，每列小正方形数目分别为1，2．解：如图所示：它的主视图是：．故选：B．4．立定跳远是湛江市2020年体育中考项目之一，某校中考前体育模拟测试九年级（2）班第五小组的跳远成绩如下（单位cm）：171，235，265，210，189，210，260，则平均数和众数是（）A．210，210B．220，210C．235，210D．235，235【分析】根据平均数和众数的概念来解．解：平均数是：＝220；在这一组数据中210是出现次数最多的，故众数是210；故选：B．5．下列四个城市的地铁标志中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．6．下列运算正确的是（）A．a2+a2＝a4B．a3•a4＝a12C．（a3）4＝a12D．（ab）2＝ab2【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法、幂的乘方以及积的乘方化简即可判断．解：A．a2+a2＝2a2，故选项A不合题意；B．a3•a4＝a7，故选项B不合题意；C．（a3）4＝a12，故选项C符合题意；D．（ab）2＝a2b2，故选项D不合题意．故选：C．7．实数m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（）A．m＞n B．﹣n＞|m|C．﹣m＞|n|D．|m|＜|n|【分析】从数轴上可以看出m、n都是负数，且m＜n，由此逐项分析得出结论即可．解：因为m、n都是负数，且m＜n，|m|＞|n|，A、m＞n是错误的；B、﹣n＞|m|是错误的；C、﹣m＞|n|是正确的；D、|m|＜|n|是错误的．故选：C．8．一元二次方程4x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先求出△的值，再根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数；△＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．解：∵△＝（﹣2）2﹣4×4×（﹣1）＝20＞0，∴一元二次方程4x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：B．9．已知k1＜0＜k2，则函数y＝k1x﹣1和y＝的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据反比例函数的图象性质及正比例函数的图象性质可作出判断．解：∵k1＜0＜k2，b＝﹣1＜0∴直线过二、三、四象限；双曲线位于一、三象限．故选：A．10．如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，交AC 于点F，且∠BCD＝60°，BC＝2CD，连结OE．下列结论：①OE∥AB；②S平行四边形ABCD＝BD•CD；③AO＝2BO；④S△DOF＝2S△EOF．其中成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①证明BE＝CE，OA＝OC，根据三角形中位线定理可得结论正确；②证明BD⊥CD，可得结论正确；③设AB＝x，分别表示OA和OB的长，可以作判断；④先根据平行线分线段成比例定理可得：DF＝2EF，由同高三角形面积的比等于对应底边的比可作判断．解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝60°，∴∠ADC＝120°，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝60°＝∠BCD，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝CD，∵BC＝2CD，∴BE＝CE，∵OA＝OC，∴OE∥AB；故①正确；②∵△DEC是等边三角形，∴∠DEC＝60°＝∠DBC+∠BDE，∵BE＝EC＝DE，∴∠DBC＝∠BDE＝30°，∴∠BDC＝30°+60°＝90°，∴BD⊥CD，∴S平行四边形ABCD＝BD•CD；故②正确；③设AB＝x，则AD＝2x，则BD＝x，∴OB＝，由勾股定理得：AO＝＝x，故③不正确；④∵AD∥EC，∴＝，∴DF＝2EF，∴S△DOF＝2S△EOF．故④正确；故选：C．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．分解因式：ab2﹣a＝a（b+1）（b﹣1）．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．解：原式＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1），故答案为：a（b+1）（b﹣1）12．代数式有意义时，x应满足的条件是x＜3．【分析】根据二次根式有意义的条件和分式的定义得出不等式，求出不等式的解集即可．解：要使有意义，必须3﹣x＞0，解得：x＜3，故答案为：x＜3．13．不等式组的解集是x＞2．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式2﹣x＜0，得：x＞2，解不等式3x+6＞0，得：x＞﹣2，则不等式组的解集为x＞2，故答案为：x＞2．14．五边形的外角和是360度．【分析】任何凸多边形的外角和都是360度．解：五边形的外角和是360度．15．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1＝105°．【分析】由三角形的内角和为180°即可得出∠2+∠3+45°＝180°结合∠2＝30°即可求出∠3的度数，再由∠1和∠3为对顶角即可得出∠1的度数．解：给图中角标上序号，如图所示．∵∠2+∠3+45°＝180°，∠2＝30°，∴∠3＝180°﹣30°﹣45°＝105°，∴∠1＝∠3＝105°．故答案为：105°．16．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是10．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．解：由题意可得，＝0.2，解得，n＝10．故估计n大约有10个．故答案为：10．17．如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是18+18π．【分析】作FH⊥BC于H，连接AE，如图，根据正方形的性质和切线的性质得BE＝CE＝CH＝FH＝6，则利用勾股定理可计算出AE＝6，通过Rt△ABE≌△EHF得∠AEF＝90°，然后利用图中阴影部分的面积＝S正方形ABCD+S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF进行计算．解：作FH⊥BC于H，连接AE，如图，∵点E为BC的中点，点F为半圆的中点，∴BE＝CE＝CH＝FH＝6，AE＝＝6，易得Rt△ABE≌△EHF，∴∠AEB＝∠EFH，而∠EFH+∠FEH＝90°，∴∠AEB+∠FEH＝90°，∴∠AEF＝90°，∴图中阴影部分的面积＝S正方形ABCD+S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF＝12×12+•π•62﹣×12×6﹣•6×6＝18+18π．故答案为：18+18π．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）18．计算：．【分析】原式利用绝对值的代数意义，二次根式性质，特殊角的三角函数值，以及负整数指数幂法则计算即可求出值．解：原式＝﹣2+2×+3＝﹣2++3＝3．19．先化简再求值：，其中a＝﹣2．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．解：当a＝﹣2时，原式＝＝．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°．（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．【分析】（1）利用尺规作∠ABC的平分线BF交AC于D．（2）根据∠BDC＝∠ABD+∠A，求出∠ABD以及∠A即可解决问题．解：（1）如图，∠ABC的平分线如图所示．（2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝70°，∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝35°，∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝35°+40°＝75°．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有60人，条形统计图中m的值为10；（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为96°；（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为1020人；（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）用360°乘以扇形统计图中“了解很少”部分所占的比例即可；（3）用总人数1800乘以达到“非常了解”和“基本了解”程度的人数所占的比例即可；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果数，然后利用概率公式求解．解：（1）接受问卷调查的学生共有30÷50%＝60（人），m＝60﹣4﹣30﹣16＝10；故答案为：60，10；（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数＝360°×＝96°；故答案为：96°；（3）该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为：1800×＝1020（人）；故答案为：1020；（4）由题意列树状图：由树状图可知，所有等可能的结果有12 种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．22．如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD＝600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得∠ADB＝45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED＝500米，作EM⊥AC与M，测得∠MEC＝53°，求隧道BC长．（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）【分析】先解Rt△ABD，得出AB＝AD＝600，再证明四边形ADEM是平行四边形，根据平行四边形对边相等得到AD＝ME＝600，AM＝DE＝500，那么BM＝AB﹣AM＝100，再解Rt△CEM，由tan53°＝，求出CM＝800，然后根据BC＝CM﹣BM即可得到结论．解：∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ADB＝45°，∴AB＝AD＝600，∵AD⊥BC，EM⊥AC，∴AD∥ME，又∵DE∥AC，∴四边形ADEM是平行四边形，∴AD＝ME＝600，AM＝DE＝500，∴BM＝AB﹣AM＝600﹣500＝100，在Rt△CEM中，tan53°＝＝＝，∴CM＝800，∴BC＝CM﹣BM＝800﹣100＝700（米）．答：隧道BC长为700米．23．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．（1）第一批饮料进货单价多少元？（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？【分析】（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，根据单价＝总价÷单价结合第二批饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设销售单价为m元，根据获利不少于1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．解：（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，根据题意得：3•＝，解得：x＝8，经检验，x＝8是分式方程的解．答：第一批饮料进货单价为8元．（2）设销售单价为m元，根据题意得：200（m﹣8）+600（m﹣10）≥1200，解得：m≥11．答：销售单价至少为11元．五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．如图，AB是⊙O的直径，弦AC与BD交于点E，且AC＝BD，连接AD，BC．（1）求证：△ADB≌△BCA；（2）若OD⊥AC，AB＝4，求弦AC的长；（3）在（2）的条件下，延长AB至点P，使BP＝2，连接PC．求证：PC是⊙O的切线．【分析】（1）可证∠ACB＝∠ADB＝90°，则由HL定理可证明结论；（2）可证AD＝BC＝DC，则∠AOD＝∠ABC＝60°，由直角三角形的性质可求出AC 的长；（3）可得出BC＝BP＝2，∠BCP＝30°，连接OC，可证出∠OCP＝90°，则结论得证．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵AB＝AB，∴△ADB≌△BCA（HL）；（2）解：如图，连接DC，∵OD⊥AC，∴，∴AD＝DC，∵△ADB≌△BCA，∴AD＝BC，∴AD＝DC＝BC，∴∠AOD＝∠ABC＝60°，∵AB＝4，∴；（3）证明：如图，连接OC，∵BC＝BP＝2∴∠BCP＝∠P，∵∠ABC＝60°，∴∠BCP＝30°，∵OC＝OB，∠ABC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB＝60°，∴∠OCP＝∠OCB+∠BCP＝60°+30°＝90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（﹣7，0），顶点D 坐标为（﹣3，），点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．过顶点D作DD1⊥x轴于点D1．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：四边形BFCE是平行四边形．（3）点P是抛物线上一动点，当P在B点左侧时，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，请问是否存在P点使得△PAM与△DD1A相似，如果存在，请写出点P的横坐标．【分析】（1）根据题意可设函数解析式为y＝a（x﹣1）（x+7），把点D的坐标代入求出a的值即可；（2）欲证明四边形BFCE是平行四边形，只需推知EC∥BF且EC＝BF即可；（3）利用相似三角形的对应边成比例求得点P的横坐标，没有指明相似三角形的对应边（角），需要分类讨论．【解答】解（1）设函数解析式为y＝a（x﹣1）（x+7），把D（﹣3，）带入可得a＝，所以；（2）证明：∵DD1⊥x轴于点D1，∴∠COF＝∠DD1F＝90°，又∵∠D1FD＝∠OFC，∴△DD1F∽△COF，∴，∵D（﹣3，﹣2），∴D1D＝2，OD1＝3，∵AC＝CF，CO⊥AF，∴OF＝OA＝1（三线合一），AF＝2，∴D1F＝D1O﹣OF＝3﹣1＝2，∴，解得OC＝，在Rt△AOC中，AC＝∴AC＝CF＝FA＝2，∴△ACF是等边三角形，∴∠AFC＝∠ACF＝60°，∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，即∠ACF＝∠ECF＝60°，∴∠ECF＝∠AFC＝60°，∴EC∥BF，由距离公式得EC＝DC＝＝6，BF＝6，∴EC＝BF，∴四边形BFCE是平行四边形；（3）存在．∵点P是抛物线上一动点，∴设P点（x，x2+x﹣），当点P在B点的左侧时，∵△PAM与△DD1A相似，∴或，∴或，解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣11或x1＝1（不合题意舍去）x2＝；∴P点横坐标为﹣11或．。