习题八8-1 电量都是q的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点.试问:(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?解: 如题8-1图示(1) 以A处点电荷为研究对象,由力平衡知:q'为负电荷2220)33(π4130cosπ412aq qaq'=︒εε解得qq33-='(2)与三角形边长无关.题8-1图题8-2图8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环,电荷线密度为λ,求环心处O点的场强.解: 如8-7图在圆上取ϕRddl=题8-7图ϕλλddd Rlq==,它在O点产生场强大小为20π4d d RR E εϕλ=方向沿半径向外 则 ϕϕελϕd sin π4sin d d 0RE E x ==ϕϕελϕπd cos π4)cos(d d 0RE E y -=-=积分RR E x 000π2d sin π4ελϕϕελπ==⎰0d cos π400=-=⎰ϕϕελπRE y∴ RE E x 0π2ελ==,方向沿x 轴正向.8-11 半径为1R 和2R (2R >1R )的两无限长同轴圆柱面,单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r <1R ;(2) 1R <r <2R ;(3) r >2R 处各点的场强.解: 高斯定理0d ε∑⎰=⋅q S E s取同轴圆柱形高斯面,侧面积rl S π2= 则 rl E S E Sπ2d =⋅⎰对(1) 1R r <0,0==∑E q(2) 21R r R << λl q =∑∴ rE 0π2ελ=沿径向向外(3) 2R r >=∑q∴ 0=E题8-12图8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电,电荷的面密度分别为1σ和2σ,试求空间各处场强.解: 如题8-12图示,两带电平面均匀带电,电荷面密度分别为1σ与2σ,两面间, n E)(21210σσε-= 1σ面外, n E )(21210σσε+-= 2σ面外, n E)(21210σσε+= n:垂直于两平面由1σ面指为2σ面.题8-16图8-16 如题8-16图所示,在A ,B 两点处放有电量分别为+q ,-q 的点电荷,AB 间距离为2R ,现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点,求移动过程中电场力作的功. 解: 如题8-16图示0π41ε=O U 0)(=-RqR q 0π41ε=O U )3(R qR q -Rq 0π6ε-= ∴ Rqq U U q A o C O 00π6)(ε=-=8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R .试求环中心O 点处的场强和电势. 解: (1)由于电荷均匀分布与对称性,AB 和CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消,取θd d R l =则θλd d R q =产生O 点Ed 如图,由于对称性,O 点场强沿y 轴负方向题8-17图θεθλππcos π4d d 2220⎰⎰-==R R E E yR 0π4ελ=[)2sin(π-2sin π-]R0π2ελ-=(2) AB 电荷在O 点产生电势,以0=∞U⎰⎰===AB200012ln π4π4d π4d R R x x x x U ελελελ同理CD 产生 2ln π402ελ=U 半圆环产生 0034π4πελελ==R R U∴ 0032142ln π2ελελ+=++=U U U U O 8-22 三个平行金属板A ,B 和C 的面积都是200cm 2,A 和B 相距4.0mm ,A与C 相距2.0 mm .B ,C 都接地,如题8-22图所示.如果使A 板带正电3.0×10-7C ,略去边缘效应,问B 板和C 板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零,则A 板的电势是多少?解: 如题8-22图示,令A 板左侧面电荷面密度为1σ,右侧面电荷面密度为2σ题8-22图(1)∵ AB AC U U =,即 ∴ AB AB AC AC E E d d = ∴2d d 21===ACABAB AC E E σσ 且 1σ+2σSq A=得 ,32S q A =σ Sq A 321=σ而 7110232-⨯-=-=-=A C q S q σC C10172-⨯-=-=S q B σ(2) 301103.2d d ⨯===AC AC AC A E U εσV 8-23 两个半径分别为1R 和2R (1R <2R )的同心薄金属球壳,现给内球壳带电+q ,试计算:(1)外球壳上的电荷分布及电势大小;(2)先把外球壳接地,然后断开接地线重新绝缘,此时外球壳的电荷分布及电势;*(3)再使内球壳接地,此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量.解: (1)内球带电q +;球壳内表面带电则为q -,外表面带电为q +,且均匀分布,其电势题8-23图⎰⎰∞∞==⋅=22020π4π4d d R R R qrr q r E U εε (2)外壳接地时,外表面电荷q +入地,外表面不带电,内表面电荷仍为q -.所以球壳电势由内球q +与内表面q -产生:0π4π42020=-=R q R q U εε8-27 在半径为1R 的金属球之外包有一层外半径为2R 的均匀电介质球壳,介质相对介电常数为r ε,金属球带电Q .试求: (1)电介质内、外的场强; (2)电介质层内、外的电势;(3)金属球的电势.解: 利用有介质时的高斯定理∑⎰=⋅q S D Sd(1)介质内)(21R r R <<场强303π4,π4rrQ E r r Q D r εε ==内; 介质外)(2R r <场强303π4,π4r r Q E r Qr D ε ==外(2)介质外)(2R r >电势rQE U 0rπ4r d ε=⋅=⎰∞外 介质内)(21R r R <<电势2020π4)11(π4R Q R r qr εεε+-=)11(π420R r Qr r -+=εεε(3)金属球的电势r d r d 221⋅+⋅=⎰⎰∞R R R E E U 外内⎰⎰∞+=22220π44πdr R R Rr r Qdrr Q εεε)11(π4210R R Qr r-+=εεε 8-28 如题8-28图所示,在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为rd r d ⋅+⋅=⎰⎰∞∞rrE E U 外内r ε的电介质.试求:在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值.解: 如题8-28图所示,充满电介质部分场强为2E ,真空部分场强为1E,自由电荷面密度分别为2σ与1σ 由∑⎰=⋅0d q S D得11σ=D ,22σ=D而 101E D ε=,202E D r εε=d21U E E == ∴r D D εσσ==1212题8-28图 题8-29图8-29 两个同轴的圆柱面,长度均为l ,半径分别为1R 和2R (2R >1R ),且l >>2R -1R ,两柱面之间充有介电常数ε的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q 和-Q 时,求:(1)在半径r 处(1R <r <2R =,厚度为dr ,长为l 的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量;(2)电介质中的总电场能量; (3)圆柱形电容器的电容.解: 取半径为r 的同轴圆柱面)(S则 rlD S D S π2d )(=⋅⎰当)(21R r R <<时,Q q =∑∴ rlQD π2=(1)电场能量密度 22222π82l r Q D w εε== 薄壳中 rlrQ rl r l r Q w W εευπ4d d π2π8d d 22222=== (2)电介质中总电场能量⎰⎰===211222ln π4π4d d R R VR R l Q rl r Q W W εε (3)电容:∵ CQ W 22=∴ )/ln(π22122R R lW Q C ε== 习题九9-8 在真空中,有两根互相平行的无限长直导线1L 和2L ,相距0.1m ,通有方向相反的电流,1I =20A,2I =10A ,如题9-8图所示.A ,B 两点与导线在同一平面内.这两点与导线2L 的距离均为5.0cm .试求A ,B 两点处的磁感应强度,以及磁感应强度为零的点的位置.题9-8图解:如题9-8图所示,A B方向垂直纸面向里42010102.105.02)05.01.0(2-⨯=⨯+-=πμπμI I B A T(2)设0=B在2L 外侧距离2L 为r 处则02)1.0(220=-+rI r Iπμπμ 解得 1.0=r mT9-11 氢原子处在基态时,它的电子可看作是在半径a =0.52×10-8cm 的轨道上作匀速圆周运动,速率v =2.2×108cm ·s -1.求电子在轨道中心所产生的磁感应强度和电子磁矩的值.解:电子在轨道中心产生的磁感应强度3004aav e B πμ ⨯= 如题9-11图,方向垂直向里,大小为134200==a evB πμ T 电子磁矩m P在图中也是垂直向里,大小为242102.92-⨯===eva a T e P m π 2m A ⋅ 题9-11图 题9-12图9-12 两平行长直导线相距d =40cm ,每根导线载有电流1I =2I =20A ,如题9-12图所示.求:(1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点A 处的磁感应强度;(2)通过图中斜线所示面积的磁通量.(1r=3r =10cm,l=25cm).解:(1) 5210104)2(2)2(2-⨯=+=dIdIBAπμπμT方向⊥纸面向外(2)取面元rlS dd=6121110102.23ln31ln23ln2])(22[1211-+⨯=πμ=πμ-πμ=-πμ+πμ=⎰l Il Il IldrrdIrIrrrΦWb9-13 一根很长的铜导线载有电流10A,设电流均匀分布.在导线内部作一平面S,如题9-13图所示.试计算通过S平面的磁通量(沿导线长度方向取长为1m的一段作计算).铜的磁导率μμ=.解:由安培环路定律求距圆导线轴为r处的磁感应强度⎰∑μ=⋅lIlBd222RIrrBμπ=∴22RIrBπμ=题 9-13 图磁通量602)(1042-===⋅=Φ⎰⎰πμπμIdrRIrS dB RsmWb题9-15图9-15 题9-15图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面,内、外半径分别为a ,b ,导体内载有沿轴线方向的电流I ,且I 均匀地分布在管的横截面上.设导体的磁导率0μμ≈,试证明导体内部各点)(b r a << 的磁感应强度的大小由下式给出:r a r a b IB 22220)(2--=πμ解:取闭合回路r l π2= )(b r a <<则 ⎰π=⋅lr B l B 2d2222)(a b Ia r I ππππ--=∑∴ )(2)(22220a b r a r I B --=πμ 9-16 一根很长的同轴电缆,由一导体圆柱(半径为a )和一同轴的导体圆管(内、外半径分别为b ,c )构成,如题9-16图所示.使用时,电流I 从一导体流去,从另一导体流回.设电流都是均匀地分布在导体的横截面上,求:(1)导体圆柱内(r <a ),(2)两导体之间(a <r <b ),(3)导体圆筒内(b <r <c )以及(4)电缆外(r >c )各点处磁感应强度的大小解: ⎰∑μ=⋅LI l B 0d(1)a r < 2202RIr r B μπ=202R IrB πμ=(2) b r a << I r B 02μπ=rIB πμ20=(3)c r b << I bc b r I r B 0222202μμπ+---= )(2)(22220b c r r c I B --=πμ (4)c r > 02=r B π0=B题9-16图题9-17图题9-21图9-21 边长为l =0.1m 的正三角形线圈放在磁感应强度B =1T 的均匀磁场中,线圈平面与磁场方向平行.如题9-21图所示,使线圈通以电流I =10A ,求: (1)线圈每边所受的安培力; (2)对O O '轴的磁力矩大小;(3)从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功.解: (1) 0=⨯=B l I F bcB l I F ab⨯= 方向⊥纸面向外,大小为866.0120sin ==︒IlB F ab NB l I F ca⨯=方向⊥纸面向里,大小866.0120sin ==︒IlB F ca N(2)IS P m =B P M m⨯= 沿O O '方向,大小为221033.443-⨯===B l I ISB M m N ⋅(3)磁力功 )(12ΦΦ-=I A∵ 01=Φ B l 2243=Φ ∴221033.443-⨯==B l IA J9习题十10-1 一半径r =10cm 的圆形回路放在B =0.8T 的均匀磁场中.回路平面与B垂直.当回路半径以恒定速率tr d d =80cm ·s -1收缩时,求回路中感应电动势的大小.解: 回路磁通 2πr B BS m ==Φ感应电动势大小40.0d d π2)π(d d d d 2====trr B r B t t m Φε V 10-2 一对互相垂直的相等的半圆形导线构成回路,半径R =5cm ,如题10-2图所示.均匀磁场B =80×10-3T ,B 的方向与两半圆的公共直径(在Oz 轴上)垂直,且与两个半圆构成相等的角α 当磁场在5ms 内均匀降为零时,求回路中的感应电动势的大小及方向.解: 取半圆形cba 法向为i, 题10-2图则 αΦcos 2π21B R m =同理,半圆形adc 法向为j,则αΦcos 2π22B R m=∵ B 与i 夹角和B 与j夹角相等,∴ ︒=45α则 αΦcos π2R B m =221089.8d d cos πd d -⨯-=-=Φ-=tBR t m αεV方向与cbadc 相反,即顺时针方向.题10-4图10-4 如题10-4图所示,载有电流I 的长直导线附近,放一导体半圆环MeN 与长直导线共面,且端点MN 的连线与长直导线垂直.半圆环的半径为b ,环心O 与导线相距a .设半圆环以速度v 平行导线平移.求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN 两端的电压 N M U U -.解: 作辅助线MN ,则在MeNM 回路中,沿v方向运动时0d =m Φ ∴ 0=MeNM ε 即 MN MeN εε= 又∵ 0cos d ln 02a bMN a bIv a bvB l a bμεππ+--==<+⎰所以MeN ε沿NeM 方向,大小为ba ba Iv -+ln20πμ M 点电势高于N 点电势,即ba ba Iv U U N M -+=-ln20πμ 题10-5图10-5如题10-5所示,在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈.两导线中的电流方向相反、大小相等,且电流以tId d 的变化率增大,求: (1)任一时刻线圈内所通过的磁通量;(2)线圈中的感应电动势. 解: 以向外磁通为正则 (1)]ln [lnπ2d π2d π2000dad b a b Ilr l r Ir l r Iab b ad d m +-+=-=⎰⎰++μμμΦ(2) tIb a b d a d l t d d ]ln [ln π2d d 0+-+=-=μΦε10-6 如题10-6图所示,用一根硬导线弯成半径为r 的一个半圆.令这半圆形导线在磁场中以频率f 绕图中半圆的直径旋转.整个电路的电阻为R .求:感应电流的最大值.题10-6图解: )cos(2π02ϕωΦ+=⋅=t r B S B m∴ Bfr f r B r B t r B t m m i 222202ππ22π2π)sin(2πd d ===+=-=ωεϕωωΦε ∴ RBfr R I m22π==ε 10-7 如题10-7图所示,长直导线通以电流I =5A ,在其右方放一长方形线圈,两者共面.线圈长b =0.06m ,宽a =0.04m ,线圈以速度v =0.03m ·s -1垂直于直线平移远离.求:d =0.05m 时线圈中感应电动势的大小和方向.题10-7图解: AB 、CD 运动速度v方向与磁力线平行,不产生感应电动势. DA 产生电动势⎰==⋅⨯=AD I vb vBb l B v d2d )(01πμεBC 产生电动势)(π2d )(02d a Ivbl B v CB+-=⋅⨯=⎰με∴回路中总感应电动势8021106.1)11(π2-⨯=+-=+=ad d Ibv μεεε V 方向沿顺时针.10-8 长度为l 的金属杆ab 以速率v 在导电轨道abcd 上平行移动.已知导轨处于均匀磁场B 中,B 的方向与回路的法线成60°角(如题10-8图所示),B的大小为B =kt (k 为正常).设t =0时杆位于cd 处,求:任一时刻t 导线回路中感应电动势的大小和方向.解: ⎰==︒=⋅=22212160cos d klvt lvkt Blvt S B mΦ∴ klvt tm-=-=d d Φε 即沿abcd 方向顺时针方向.题10-8图10-9 一矩形导线框以恒定的加速度向右穿过一均匀磁场区,B的方向如题10-9图所示.取逆时针方向为电流正方向,画出线框中电流与时间的关系(设导线框刚进入磁场区时t =0).解: 如图逆时针为矩形导线框正向,则进入时0d d <Φt,0>ε; 题10-9图(a)题10-9图(b) 在磁场中时0d d =tΦ,0=ε; 出场时0d d >tΦ,0<ε,故t I -曲线如题10-9图(b)所示. 题10-10图10-10 导线ab 长为l ,绕过O 点的垂直轴以匀角速ω转动,aO =3l磁感应强度B 平行于转轴,如图10-10所示.试求: (1)ab 两端的电势差; (2)b a ,两端哪一点电势高?解: (1)在Ob 上取dr r r +→一小段 则 ⎰==320292d l Ob l B r rB ωωε 同理 ⎰==302181d l Oa l B r rB ωωε ∴ 2261)92181(l B l B Ob aO ab ωωεεε=+-=+= (2)∵ 0>ab ε 即0<-b a U U ∴b 点电势高.题10-11图10-11 如题10-11图所示,长度为b 2的金属杆位于两无限长直导线所在平面的正中间,并以速度v平行于两直导线运动.两直导线通以大小相等、方向相反的电流I ,两导线相距2a .试求:金属杆两端的电势差及其方向. 解:在金属杆上取r d 距左边直导线为r ,则ba b a Iv r r a r Iv l B v ba ba BAAB -+-=-+-=⋅⨯=⎰⎰+-ln d )211(2d )(00πμπμε∵ 0<AB ε ∴实际上感应电动势方向从A B →,即从图中从右向左, ∴ ba ba Iv U AB -+=ln0πμ 题10-12图10-12 磁感应强度为B的均匀磁场充满一半径为R 的圆柱形空间,一金属杆放在题10-12图中位置,杆长为2R ,其中一半位于磁场内、另一半在磁场外.当tBd d >0时,求:杆两端的感应电动势的大小和方向.解: ∵ bc ab ac εεε+=tBR B R t t ab d d 43]43[d d d d 21=--=-=Φε=-=tabd d 2Φεt BR B R t d d 12π]12π[d d 22=-- ∴ tB R R acd d ]12π43[22+=ε∵0d d >tB∴ 0>ac ε即ε从c a →10-13 半径为R 的直螺线管中,有dtdB>0的磁场,一任意闭合导线abca ,一部分在螺线管内绷直成ab 弦,a ,b 两点与螺线管绝缘,如题10-13图所示.设ab =R ,试求:闭合导线中的感应电动势. 解:如图,闭合导线abca 内磁通量)436π(22R R B S B m -=⋅= Φ∴ tB R R i d d )436π(22--=ε ∵0d d >tB∴0<i ε,即感应电动势沿acba ,逆时针方向.题10-13图题10-14图∴ 题10-15图 10-15 一无限长的直导线和一正方形的线圈如题10-15图所示放置(导线与线圈接触处绝缘).求:线圈与导线间的互感系数.解: 设长直电流为I ,其磁场通过正方形线圈的互感磁通为⎰==32300122ln π2d π2aaIa r r Ia μμΦ∴ 2ln π2012aI M μΦ==10-16 一矩形线圈长为a =20cm ,宽为b =10cm ,由100匝表面绝缘的导线绕成,放在一无限长导线的旁边且与线圈共面.求:题10-16图中(a)和(b)两种情况下,线圈与长直导线间的互感.解:(a)见题10-16图(a),设长直电流为I ,它产生的磁场通过矩形线圈的磁通为2ln π2d 2πd 020)(12Ia r r Ia S B bb S μμΦ⎰⎰==⋅= ∴ 6012108.22ln π2-⨯===a N I N M μΦ H (b)∵长直电流磁场通过矩形线圈的磁通012=Φ,见题10-16图(b) ∴ 0=M题10-16图题10-17图10-20 一无限长圆柱形直导线,其截面各处的电流密度相等,总电流为I .求:导线内部单位长度上所储存的磁能.解:在R r <时 20π2R I B r μ=∴ 4222002π82Rr I B w m μμ== 取 r r V d π2d =(∵导线长1=l )则 ⎰⎰===R R m I R r r I r r w W 00204320π16π4d d 2μμπ。