2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）1．“a =2， 2b =”是“曲线C ：22221(,,0)x y a b R ab a b+=∈≠经过点()2,1”的( A )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A.解答：当a =2， 2b =曲线C ：22221x y a b+=经过()2,1；当曲线C ：22221x y a b+=经过点()2,1时，即有22211a b+=，显然2,2a b =-=-也满足上式。

所以“a =2， 2b =”是“曲线C ：22221x y a b+=经过点()2,1”的充分不必要条件。

2．已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为,1,2m m m ++，则实数m 的取值范围为( B )．A ． 1m >B ． 312m <<C ．332m << D ．3m > 答案：B.解答：由题意可知：222(1)2(2)(1)(1)m m m m m m m m ++>+⎧⎨+>++++⎩解得312m <<。

3． 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1的中点， 则二面角M -CD 1-A 的余弦值为( C )．A ．36 B ． 12 C ． 33 D ．63 答案：C.解答：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,)2D A C D M ，且平面1ACD 的法向量为1n = (1,1,1)，平面1MCD 法向量为2(1,2,2)n =- 。

因此123cos ,3n n <>= ，即二面角第3题图MC 1B 1D 1A 1C D ABM -CD 1-A 的余弦值为33。

4．若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b ++的最大值为 ( C )．A ． 1B ． 54C ． 75D ． 2 答案：C.解答：由,a b 满足的条件知13b a ≤≤，所以2372252a b b a b a+=-≤++，当13(,)(,)22a b =取等号。

5． 已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上，记△PQR ，△ABC 的面积分别为S △PQR ，S △ABC ，则PQR ABCS S ∆∆的最小值为( D )．A ． 12B ． 13C ． 14D ． 15 参考答案：D.解答：如图5-1所示，图5-1 图5-2（1）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的斜边上，则,,,P C Q R 四点共圆，180,APR CQR BQR ∠=∠=-∠ 所以sin sin .APR BQR ∠=∠在,APR BQR ∆∆中分别应用正弦定理得,sin sin sin sin PR AR QR BR A APR B BQR==.又45,A B ∠=∠=故PR QR =,故AR BR =即R 为AB 的中点.AB CP QRHABCP RQ过R 作RH AC ⊥于H ，则12PR RH BC ≥=,所以22221()124PQR ABC BC S PR S BC BC ∆∆=≥=,此时PQR ABCS S ∆∆的最大值为14. （2）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的直角边上，如图5-2所示，设1,(01),(0)2BC CR x x BRQ παα==≤≤∠=<<,则90.CPR PRC BRQ α∠=-∠=∠=在Rt CPR ∆中，,sin sin CR xPR αα== 在BRQ ∆中，31,,sin 4x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=+, 由正弦定理, 1sin 3sin sin sin sin()44xPQ RB xB PQB αππα-=⇔=⇔∠+1sin cos 2sin x ααα=+，因此2221111()()22sin 2cos 2sin PQR x S PR ααα∆===+.这样，PQR ABCS S ∆∆2222111()cos 2sin (12)(cos sin )5αααα=≥=+++，当且仅当arctan 2α=取等号，此时PQR ABCS S ∆∆的最小值为15.6. 已知数列{}n a 的通项(1)(21)(1)n nxa x x nx =+++ ，*n N ∈，若1220151a a a +++< ，则实数x 等于（ D )．A ．32-B ．512-C ．940-D ．1160- 答案：D.(1)111(1)(21)(1)(1)(21)[(1)1](1)(21)(1)n nx a x x nx x x n x x x nx +-==-+++++-++++则20151111(1)(21)(20151)0(1)(21)(20151)k k a x x x x x x ==-<⇔+++>+++∑ ，所以111111(1,)(,)(,)(,)234201320142015x ∈--⋃--⋃⋃--⋃-+∞ ，经检验只有1160x =-符合题意。

7． 若过点P （1，0），Q （2，0），R （4，0），S （8，0）作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能．．．等于 ( C )． A ．1617 B ． 365 C ． 265 D ． 19653 答案：C.解答：不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，且边长为a ，面积为,S 过P 的直线的倾斜角为(0)2πθθ<<。

当过点,P Q 的直线为正方形的对边所在的直线时，4sin cos sin 4cos sin 17PQ a RS θθθθθ==⇔=⇔=，此时正方形的面积216(sin )17S PQ θ==。

同理，当过点,P R 的直线为正方形的对边所在的直线时，365S =；当过点,P S 的直线为正方形的对边所在的直线时，19653S =. 8．若集合{}2015*(,)(1)(2)()10,,A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈ ，则集合A中的元素个数为( B )．A ．4030B ．4032C ． 20152D ． 20162 答案：B.解答：由已知得20162015(21)25n n m ++=，因为,21n n m ++一奇一偶，所以,21n n m ++两者之一为偶数，即为2016201620162201620152,25,25,,25 共有2016种情况，交换顺序又得到2016种情形，所以集合A 共有4032个元素.二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9-14每题7分，15题8分，共50分）9．已知函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，(2)(2)0f x f x +--=，且2()13f =，则1000()3f = ．答案：1-.解答：(2)(2)[1(1)][1(1)()(4)()f x f x f x f x f x f x f x +=-=--=-+-=-⇒+=，所以100044112()(332)()(1)(1)() 1.333333f f f f f f =+==+=--=-=-10．若数列{}n a 的前n 项和nS =32n n -，*n N ∈，则20151182i i a i =+-∑= ．答案：20156048. 解答：1211352,nn n i i i i a a a n n -===-=-+∑∑又10a =，故2*352()n a n n n N =-+∈, 20152015201511111111()823(1)31i i i i a i i i i i =====-=+-++∑∑∑20156048. 11． 已知F 为抛物线25y x =的焦点，点A (3，1)， M 是抛物线上的动点．当取最小值时，点M 的坐标为 ． 点M 的坐标为 ． 答案：1(,1)5. 解答：设抛物线的准线为5:4l x =-.过M 作l 的垂线，垂足为,H 则 AM MF AM MH AH +=+≥,当,,A M H 三点共线时取等号，此时M 的坐标为1(,1)5。

12．若22sin cos 161610xx +=，则cos 4x = .答案：12-. 解答:设2sin 16,116x tt =≤≤，则22cos 1sin 161616x x t-==，代入方程得16102,t t t +=⇒=或8t =，即21sin 4x =或34，所以cos 4x =12-。

13. 设函数2()min{1,1,1}f x x x x =-+-+，其中min{,,}x y z 表示,,x y z 中的最小者．若(2)()f a f a +>，则实数a 的取值范围为 ．答案：(,2)(1,0)-∞-⋃-.解答：当21a +≤-时，21,a a <+≤-此时有()(2)f a f a <+；当120a <+<时，32,a -<<-此时有()(2)1(2)f a f f a ≤-=-<+； 当021a ≤+≤时，21,a -≤<-此时有()(2)f a f a ≥+；当122a <+<时，10,a -<<此时有()(2)f a f a <+；当22a +≥时，0,a ≥此时有()(2)f a f a ≥+。

14． 已知向量,a b 的夹角为3π， 5a b -= ，向量c a - ，c b - 的夹角为23π，23c a -=，则a c ⋅的最大值为 ．答案：24.解答：,,OA a OB b OC c === ，则23, 5.AC c a AB a b =-==-=又2,,33AOB ACB ππ∠=∠=此时,,,O A C B 共圆，由正弦定理得3sin 5ABC ∠=，则4cos 5ABC ∠=。

在ACO ∆中，AOC ABC ∠=∠,由余弦定理得2222cos AC a c a c AOC =+-∠ ,即8122305a c a c a c ≥-⇒≤ ，所以cos 24a c a c AOC ⋅=∠≤ ，当14arctan 423ACO π∠=+时取“=”，因此a c ⋅ 的最大值为24.15．设,a b Z ∈，若对任意0x ≤，都有2(2)(2)0ax x b ++≤，则______a =,_______.b = 答案：1,2ab ==-.解答：首先令0,x =知0b ≤.其次考虑过定点（0,2）的直线2y ax =+，与开口向上的抛物线22y x b =+，满足对任意0x ≤所对应图象上的点不在x 轴同侧，因此22b a--=.又,a b Z ∈，故1,2ab ==-.三、解答题（本大题共有3小题，16题16分，17、18每题18分，共52分）16． 设,a b R ∈，函数2()(1)2f x ax b x =++-．若对任意实数b ，方程()f x x =有两个相异的实根，求实数a 的取值范围． 参考答案：因为方程()f x x =有两个相异的实根，即方程2(1)20ax b x b +-+-=有两个相异的实数根，所以{20,(1)4(2)0x a b a b ≠∆=---> ………………………………4分即{202(12)810a b a b a ≠-+++>对任意实数b 恒成立，所以{204(12)4(81)0b a a a ≠∆=+-+<，…………………………………………………12分解得01a <<.…………………………………………………………………………16分17．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，右焦点为圆222:(3)7C x y -+=的圆心．(I)求椭圆1C 的方程；(II)若直线l 与曲线C 1，C 2都只有一个公共点，记直线l 与圆C 2的公共点为A ，求点A 的坐标．参考答案：（Ⅰ）设椭圆1C 的半焦距长为c ，则332c c a⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得{21a b ==，所以椭圆方程为2214x y +=.………………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意.当直线l 的率存在时，可设直线l 的方程为(,)y kx m k m R =+∈，点A 的坐标为(,)A A x y ，其中231A km y k-=-+. 联立方程2214x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=…………（1） 所以22116(41)0,k m ∆=-+=即22410k m -+=……………………（2）……………………………………………8分联立方程22(3)7x y y kx m⎧-+=⎪⎨=+⎪⎩消去y 得222(1)2(3)40k x km x m ++-+-= (3)所以22216(4237)0,k m mk ∆=--+=即2242370k m mk --+=……………………………（4）…………………………12分（2）-（4）得3km = (5)（5）代入（3）得2301A km x k -=-=+………………（6）…………………………16分（6）代入222:(3)7C x y -+=得2A y =±.经检验(0,2),A 或(0,2)A -符合题意，这样点A 的坐标为(0,2),(0,2)-.…………18分18．已知数列{}{},n n a b 满足1*1111,0,0,,1n n nn n n a a b a b n N b b a ++⎧=+⎪⎪>>∈⎨=+⎪⎪⎩．证明:505020a b +>． 参考答案：证明：因为22221122112()n n n n n n n n n na b a b a b a b b a +++=+++++， 所以 49492222505011221111()2()i i i i i i i i a b a b a b a b b a ==+=+++++∑∑221122111122494449200.a b a b >++++⨯⨯≥+⨯=……………………8分 又1112n n n n n na b a b a b ++=++， 所以49505011111111124998100i i ia b a b a b a b a b ==++⨯>++≥∑.……………………16分 所以222505050505050()2200200400a b a b a b +=++>+=.因此505020a b +>……18分四、附加题（本大题共有2小题，每题25分，共50分）附加1已知数列{}n a 满足11a =，213221n n n a a a +=+-，*n N ∈．(I) 证明：{}n a 是正整数数列；(II) 是否存在*m N ∈，使得2015m a ，并说明理由． 参考答案：（Ⅰ）由213221n n n a a a +=+-得2211640n n n n a a a a +++++=， (1)同理可得 222212640n n n n a a a a +++++++=，………………（2）……………………5分 由（1）（2）可知，2,n n a a +为方程2211640n n x a x a ++-++=的两根，又2n n a a +<，即有216n n n a a a +++=，即216.n n n a a a ++=-因为121,5,a a ==所以n a 为正整数.……………………………………………………10分 （Ⅱ）不存在*m N ∈，使得2015m a .…………………………………………………15分 假设存在*m N ∈，使得2015m a ，则31m a .一方面，2214m m m a a a ++=+，所以21314m a ++,即214(mod 31)m a +≡-，所以301530142(mod 31)m a +≡-≡-.由费马小定理知3021(mod 31)≡，所以3011(mod 31)m a +≡-…………………………20分另一方面，1(,31)1m a +=.事实上，假设1(,31)1m a d +=>，则31d ，即31d =，所以131m a +，而21314m a ++，这样得到314.矛盾.所以，由费马小定理得3011(mod 31)m a +≡.这样得到11(mod 31)≡-.矛盾.所以不存在*m N ∈，使得2015m a .………………25分附加2 设k 为正整数，称数字1~31k +的排列为“N 型”的，如果这些数满足（1）121k x x x +<<< ； （2）1221k k k x x x +++>>> ；（3）212231k k k x x x +++<<< ． 记k d 为所有“N 型”排列的个数．(I)求1d ，2d 的值； (II)证明：对任意正整数k ，k d 均为奇数．参考答案：首先注意到1k x +的值只能取31,3,,21k k k ++ 这些数字，因为必须有2k 个值比它小，而21k x +的值只能取1,2,,1k + 这些数字，因为必须有2k 个值比它大。