２01５年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题（本大题共有8小题,每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6分,共4８分）1．“a＝2，b=”是“曲线C：22221(,,0)x ya b R aba b+=∈≠经过点)”的（A)．A．充分不必要条件 B.必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A.解答:当a=2, b=曲线C:22221x ya b+=经过)；当曲线Ｃ：22221x ya b+=经过点)时,即有22211a b+=,显然2,a b=-=也满足上式。

所以“a＝2, b=”是“曲线C：22221x ya b+=经过点)”的充分不必要条件。

２.已知一个角大于１20º的三角形的三边长分别为,1,2m m m++，则实数m的取值范围为( Ｂ)．Ａ．1m>B．312m<<C．332m<< D.3m>答案：B.解答:由题意可知：222(1)2(2)(1)(1)m m mm m m m m++>+⎧⎨+>++++⎩解得312m<<。

3．如图,在正方体ABCD-A1B１C1D1中，Ｍ为BB1的中点,则二面角M－CD1－A的余弦值为( C )．A．B.12Ｃ．D答案:Ｃ.解答：以D为坐标原点,1,,DA DC DD所在的直线分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系,则11(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,)2D A C D M,且平面1ACD的法向量为1n=(1,1,1),平面1MCD法向量为2(1,2,2)n=-。

因此123cos,n n<>=即二面角M-CD第3题图1A1１-A。

４.若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b ++的最大值为 ( Ｃ ).A ． 1 Ｂ. 54 C ． 75Ｄ. 2 答案：C.解答：由,a b 满足的条件知13b a ≤≤,所以2372252a b b a b a+=-≤++,当13(,)(,)22a b =取等号。

５. 已知等腰直角△ＰQ Ｒ的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上,记△ＰQ Ｒ,△ＡBC 的面积分别为Ｓ△PQ Ｒ,S △ＡBC ,则PQR ABCS S ∆∆的最小值为( D ).A. 12B. 13 C ． 14 Ｄ． 15 参考答案:Ｄ．解答：如图5－1所示,图5－1 图5-２(１)当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的斜边上，则,,,P C Q R 四点共圆，180,APR CQR BQR ∠=∠=-∠所以sin sin .APR BQR ∠=∠在,APR BQR ∆∆中分别应用正弦定理得,sin sin sin sin PR AR QR BRA APRB BQR==．又45,A B ∠=∠=故PR QR =,故AR BR =即R 为AB 的中点.AB P H过R 作RH AC ⊥于H ，则12PR RH BC ≥=,所以22221()124PQR ABC BC S PR S BC BC ∆∆=≥=,此时PQR ABCS S ∆∆的最大值为14. (2)当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的直角边上，如图5－２所示，设1,(01),(0)2BC CR x x BRQ παα==≤≤∠=<<,则90.CPR PRC BRQ α∠=-∠=∠=在Rt CPR ∆中,,sin sin CR xPR αα== 在BRQ ∆中,31,,sin 4x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=+, 由正弦定理， 1sin 3sin sin sin sin()44xPQ RB xB PQB αππα-=⇔=⇔∠+1sin cos 2sin x ααα=+,因此2221111()()22sin 2cos 2sin PQR x S PR ααα∆===+． 这样,PQR ABCS S ∆∆2222111()cos 2sin (12)(cos sin )5αααα=≥=+++,当且仅当arctan 2α=取等号，此时PQR ABCS S ∆∆的最小值为15．6. 已知数列{}n a 的通项(1)(21)(1)n nxa x x nx =+++ ,*n N ∈，若1220151a a a +++<，则实数x 等于（ D ).A.32-B.512- C ．940- D.1160-答案：D.(1)111(1)(21)(1)(1)(21)[(1)1](1)(21)(1)n nx a x x nx x x n x x x nx +-==-+++++-++++则20151111(1)(21)(20151)0(1)(21)(20151)k k a x x x x x x ==-<⇔+++>+++∑,所以111111(1,)(,)(,)(,)234201320142015x ∈--⋃--⋃⋃--⋃-+∞，经检验只有1160x =-符合题意。

7． 若过点P （1，0),Ｑ(2，0)，R （4，0），Ｓ（８,0)作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能．．．等于 （ C ）． A.1617 B. 365 C. 265Ｄ. 19653答案:C.解答：不妨设四条直线交成的正方形在第一象限,且边长为a ,面积为,S 过P 的直线的倾斜角为(0)2πθθ<<。

当过点,P Q 的直线为正方形的对边所在的直线时，sin cos sin 4cos sinPQ a RS θθθθθ==⇔=⇔=，此时正方形的面积216(sin )17S PQ θ==。

同理，当过点,P R 的直线为正方形的对边所在的直线时,365S =；当过点,P S 的直线为正方形的对边所在的直线时,19653S =. ８.若集合{}2015*(,)(1)(2)()10,,A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈，则集合A中的元素个数为( Ｂ ).A ．4030 Ｂ．4032 Ｃ． 2015２ D. ２０１６２答案:Ｂ．解答:由已知得20162015(21)25n n m ++=,因为,21n n m ++一奇一偶,所以,21n n m ++两者之一为偶数,即为2016201620162201620152,25,25,,25共有2016种情况，交换顺序又得到201６种情形,所以集合A 共有４0３2个元素．二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上,9-1４每题7分,1５题8分,共50分)９.已知函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=,(2)(2)0f x f x +--=,且2()13f =，则1000()3f = ．答案：1-.解答：(2)(2)[1(1)][1(1)()(4)()f x f x f x f x f x f x f x +=-=--=-+-=-⇒+=,所以100044112()(332)()(1)(1)() 1.333333f f f f f f =+==+=--=-=-10.若数列{}n a 的前n 项和nS =32n n -，*n N ∈，则20151182i i a i =+-∑= .答案:20156048. 解答:1211352,nn n i i i i a a a n n -===-=-+∑∑又10a =,故2*352()n a n n n N =-+∈, 20152015201511111111()823(1)31i i i i a i i i i i =====-=+-++∑∑∑20156048． 11． 已知F 为抛物线25y x =的焦点,点Ａ (3,1), M 是抛物线上的动点．当||||MA MF +取最小值时,点M 的坐标为 ． 答案:1(,1)5. 解答：设抛物线的准线为5:4l x =-．过M 作l 的垂线,垂足为,H 则 AM MF AM MH AH +=+≥,当,,A M H 三点共线时取等号，此时Ｍ的坐标为1(,1)5。

12.若22sin cos 161610xx +=,则cos 4x = ．答案:12-． 解答：设2sin 16,116x tt =≤≤,则22cos 1sin 161616x x t-==,代入方程得16102,t t t +=⇒=或8t =,即21sin 4x =或34,所以cos 4x =12-。

13. 设函数2()min{1,1,1}f x x x x =-+-+，其中min{,,}x y z 表示,,x y z 中的最小者.若(2)()f a f a +>,则实数a 的取值范围为 .答案:(,2)(1,0)-∞-⋃-.解答：当21a +≤-时，21,a a <+≤-此时有()(2)f a f a <+；当120a <+<时,32,a -<<-此时有()(2)1(2)f a f f a ≤-=-<+;当021a ≤+≤时,21,a -≤<-此时有()(2)f a f a ≥+； 当122a <+<时，10,a -<<此时有()(2)f a f a <+;当22a +≥时,0,a ≥此时有()(2)f a f a ≥+。

1４. 已知向量,a b 的夹角为3π,5a b -=,向量c a -,c b -的夹角为23π,23c a -=，则a c ⋅的最大值为 . 答案:24.解答:,,OA a OB b OC c ===，则23, 5.AC c a AB a b =-==-=又2,,33AOB ACB ππ∠=∠=此时,,,O A C B 共圆，由正弦定理得3sin 5ABC ∠=,则4cos 5ABC ∠=。

在ACO ∆中,AOC ABC ∠=∠，由余弦定理得2222cos AC a c a c AOC =+-∠，即8122305a c a c a c ≥-⇒≤,所以cos 24a c a c AOC ⋅=∠≤，当14arctan 423ACO π∠=+时取“＝”,因此a c ⋅的最大值为24．１5．设,a b Z ∈，若对任意0x ≤,都有2(2)(2)0ax x b ++≤，则______a =,_______.b =答案：1,2ab ==-.解答:首先令0,x =知0b ≤.其次考虑过定点(0,2)的直线2y ax =+，与开口向上的抛物线22y x b =+,满足对任意0x ≤所对应图象上的点不在x 轴同侧,因此2a=．又,a b Z ∈，故1,2a b ==-.三、解答题(本大题共有3小题，16题1６分,17、18每题18分，共5２分)16. 设,a b R ∈,函数2()(1)2f x ax b x =++-.若对任意实数b ，方程()f x x =有两个相异的实根,求实数a 的取值范围.参考答案:因为方程()f x x =有两个相异的实根,即方程2(1)20ax b x b +-+-=有两个相异的实数根,所以{20,(1)4(2)0x a b a b ≠∆=---> ………………………………4分即{202(12)810a b a b a ≠-+++>对任意实数b 恒成立,所以{204(12)4(81)0b a a a ≠∆=+-+<，…………………………………………………12分解得01a <<.…………………………………………………………………………16分17.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为,右焦点为圆222:(7C x y -+=的圆心．（Ｉ)求椭圆1C 的方程;（I Ｉ）若直线l 与曲线Ｃ1，C 2都只有一个公共点,记直线l 与圆Ｃ2的公共点为A ，求点A 的坐标.参考答案:（Ⅰ)设椭圆1C 的半焦距长为c ,则c c a⎧=⎪⎨⎪⎩,解得{21a b ==，所以椭圆方程为2214x y +=.………………………………………………………………………………４分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意.当直线l 的率存在时，可设直线l 的方程为(,)y kx m k m R =+∈，点A 的坐标为(,)A A x y，其中A y =联立方程2214x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=…………(１) 所以22116(41)0,k m ∆=-+=即22410k m -+=……………………（2）……………………………………………8分联立方程22(7x y y kx m⎧-+=⎪⎨=+⎪⎩消去y 得222(1)2(40k x km x m ++-+-= (3)所以22216(47)0,k m ∆=--+=即22470k m --+=……………………………(4）…………………………12分(2)－(4)得km =……………………………… (５)（5）代入（3)得0A x ==………………(6)…………………………１６分 （6)代入222:(7C x y +=得2A y =±．经检验(0,2),A 或(0,2)A -符合题意,这样点A 的坐标为(0,2),(0,2)-．…………1８分18．已知数列{}{},n n a b 满足1*1111,0,0,,1n n nn n n a a b a b n N b b a ++⎧=+⎪⎪>>∈⎨=+⎪⎪⎩.证明:505020a b +>. 参考答案:证明：因为22221122112()n n n n n n n n n na b a b a b a b b a +++=+++++， 所以 49492222505011221111()2()i i i i i i i i a b a b a b a b b a ==+=+++++∑∑221122111122494449200.a b a b >++++⨯⨯≥+⨯=……………………８分 又1112n n n n n na b a b a b ++=++， 所以49505011111111124998100i i i a b a b a b a b a b ==++⨯>++≥∑ (6)所以222505050505050()2200200400a b a b a b +=++>+=.因此505020a b +>……１8分 四、附加题(本大题共有2小题，每题2５分,共５０分）附加1已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=+，*n N ∈.(I) 证明:{}n a 是正整数数列;(I Ｉ） 是否存在*m N ∈,使得2015m a ，并说明理由．参考答案：(Ⅰ)由13n n a a +=+得2211640n n n n a a a a +++++=，……………………………… （１)同理可得 222212640n n n n a a a a +++++++=，………………（2）……………………5分 由（1）(2)可知,2,n n a a +为方程2211640n n x a x a ++-++=的两根,又2n n a a +<,即有216n n n a a a +++=，即216.n n n a a a ++=-因为121,5,a a ==所以n a 为正整数.……………………………………………………１0分 （Ⅱ）不存在*m N ∈，使得2015m a .…………………………………………………1５分 假设存在*m N ∈,使得2015m a ，则31m a .一方面，2214m m m a a a ++=+,所以21314m a ++,即214(mod 31)m a +≡-,所以301530142(mod 31)m a +≡-≡-.由费马小定理知3021(mod 31)≡，所以3011(mod 31)m a +≡-…………………………20分 另一方面,1(,31)1m a +=.事实上,假设1(,31)1m a d +=>,则31d ,即31d =，所以131m a +，而21314m a ++，这样得到314．矛盾.所以,由费马小定理得3011(mod 31)m a +≡.这样得到11(mod 31)≡-．矛盾．所以不存在*m N ∈，使得2015m a .………………25分附加2 设k 为正整数,称数字1~31k +的排列1231,,,k x x x +为“N 型”的，如果这些数满足（1）121k x x x +<<<; (２)1221k k k x x x +++>>>;(３）212231k k k x x x +++<<<．记k d 为所有“Ｎ型”排列的个数.(I)求1d ，2d 的值； (II)证明：对任意正整数k ，k d 均为奇数．参考答案:首先注意到1k x +的值只能取31,3,,21k k k ++这些数字,因为必须有２k 个值比它小,而21k x +的值只能取1,2,,1k +这些数字，因为必须有2k 个值比它大。