势波的水质点的水平分速u和垂直分速w可由速度势函数导出
V ui wk
V
i
k
x z
u
x
w
z
不可压缩流体连续方程
势波运动的控制方程
u w 0 x z
2 2
x2 z2 0
u w
x
z
或记作 2 0
定解条件 1) 在海底表面，水质点垂直速度应为零，即
w zh 0
0,
z
z= -h
2) 在波面z=η处，应满足两个边界条件. 动力边界条件: 由假设自由水面压力为常数并令p=0， 根据 伯诺里方程有,
t
z
1 2
x
2
z
2
z
g
0
非线性项
自由水面运动学边界条件为
0, z
t x x z
3) 波场上、下两端面边界条件
( x, z, t) ( x ct, z)
三、微幅波解的讨论—— 1 深水波情况
当水深h或kh为无限大，即h, kh→∞时，
tanh( kh) kh 1 tanh( kh) kh 0.9962
水深h大于波长L的一半，或说kh＞π时，可认为 已处于深水情况。这时，波浪弥散方程可以化简为
2 gk
gT 2
L0 2
gT
c0 2
在深水情况下波长和波速与波周期有关，而与水深无关
海 岸 动 力 学11
第一章 波浪理论
第一节、概述 第二节、微幅波理论 第三节、有限振幅斯托克斯波理论 第四节、浅水非线性波理论 第五节、各种波理论的适用范围 第六节、随机波理论简介
第一章 波浪理论
第一节 概 一、海洋波动概念和波浪分类 1、按波浪所受的干扰力和周期分类
第一章 波浪理论
第一节 概 一、海洋波动概念和波浪分类
2
当水深与波长相比很小时，kh 0 tanh( kh) kh
Kh=π/10
0.3042 tanh( kh) kh 0.3142
kh＜π/10或 h＜L/20时，属于浅水，弥散方程简化为
2 gk 2h Ls T gh cs gh
1、按波浪所受的干扰力和周期分类
表面张力波: 其波长小于1.7cm，最大波高为1至2mm
重力波: 周期1～30s的波浪，其主要干扰力是风，
重力是它的恢复力。
长周期波: 风暴潮；海啸。 Nhomakorabea潮波:
其周期最长。
2、按波浪形态分类 规则波:离开风区后自由传播时的涌浪接近于规则波。 不规则波:大洋中的风浪。
3、按波浪传播海域的水深分类 深水波 : h/L≥0.5 有限水深波 0.5＞h/L＞0.05。 浅水波 h/L≤0.05 其中h为水深，L为波长,
4、按波浪运动状态分类 振荡波 (推进波, 立波) 推移波
5、按波浪破碎与否分类 破碎波，未破碎波和破后波
此外根据波浪运动的运动学和动力学处理方法，还 可以把波浪分为微小振幅波(线性波)和有限振幅波(非 线性波)
二、波浪运动的描述方法和控制方程
1、波浪运动的描述方法
欧拉法:亦称局部法，它是以空间某一固定点为研究 对象，研究任一质点流过固定点的运动特性欧氏法研究 的是某一流场的变化，它能给出某一固定时刻空间各点 的速度大小和方向，亦即给出流线(Stream line)。
c2 g tanh( kh) k
c gT tanh( kh)
2
L gT 2 tanh( kh)
2
当水深给定时，波的周期愈长，波长亦愈长，波速也 将愈大，这样就使不同波长的波在传播过程中逐渐分离开 来。这种不同波长(或周期)的波以不同速度进行传播最后 导致波的分散现象称为波的弥散(或色散)现象。
微幅波理论控制方程和定解条件可综合写成如下
2 0
0,
z
z= -h
2
t 2 g z 0,
z0
1 , z 0
g t
( x, z, t) ( x ct, z)
u w (流速场) x z
2 gk tanh( kh)
波面
p gz
t
p (压力场)
二、微幅波理论解——
分离变量法求解
势函数的解
gH
2
coshkz h
coshkh sin(kx
t)
自由水面波面 H cos(kx t)
2
弥散关系 2 gk tanh( kh)
tanh-双曲正切函数, cosh-双曲余弦，sinh-双曲余弦 σ--角频率、 k--波数, h--水深
弥散方程等价关系式
2 gk tanh( kh)
非线性 项
波动定解问题
2 0
0,
z
z=-h
t
z
1 2
x
2
z
2
z
g
0
0, z
t x x z
( x, z, t) ( x ct, z)
p
gz
1
2
2
t 2 x z
u
x
w z
(流速场)
p (压力场)
两个困难
1) 2) 自由水面位移η在边界上的值是未知的，即边界条件 不是确定的。
要求得上述波动方程的边值解，最简单的方法是先将
第二节
一、微幅波控制方程和定解条件
波动问题线性化 假设波动的振幅a远小于波长L或水深h， 首先由艾利1845年提出， 非线性项与线性项之比是小量，可略去，
t
z
1
2
2
2 x z
z g 0
g 0, z 0 t
0, z t x x z
0, z 0 z t
微幅波理论。 艾利波理论。 线性波理论。
1 , z 0 g t
2 t2 g z 0, z 0
t
z
1 2
x
2
z
2
z
g
0
g 0, z 0
t
1 , z 0
g t
0,
z
t x x z
0, z 0
z t
2
t2 g z 0, z 0
非线性波
2
沿正x方向以波速c向前传播的二维运动的自由振荡推进波， x轴位于静水面上，z轴竖直向上为正。波浪在xz平面内运动。
简单波理论假设： 流体是均质和不可压缩的； 流体是无粘性的理想流体； 自由水面的压力是均匀的且为常数； 水流运动是无旋的； 海底水平、不透水； 流体上的质量力仅为重力； 波浪属于平面运动，即在xz平面内作二维运动。
拉格朗日法:亦称全面法，它以空间某一质点为研究对 象，研究该质点相对于初始条件的各个不同时间的位置、 速度和加速度等。拉氏法研究的是某一质点的位置变化，
(Path line).
描述规则波浪运动的理论 微幅波理论( Airy ,1845)
有限振幅波理论 ( Stokes,1847) 椭圆余弦波理论 孤立波