2017年普通高等学校招生全国统一考试山东卷 文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的． 1．设集合{}11M x x =-<，{}2N x x =<，则M N = （）A ．(1,1)-B ．(1,2)-C ．(0,2)D ．(1,2)【答案】C ，交集，绝对值不等式2．已知i 是虚数单位，若复数满足1zi i =+，则2z =（）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．2【答案】A ，复数运算，由1zi i =+得22()(1)zi i =+，即22z i -=，故22z i =-3．已知,x y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值是（）A ．3-B ．1-C ．1D ．3【答案】D ，简单线性规划 4．已知3cos 4x =，则cos 2x =（） A ．14-B ．14C ．18-D ．18【答案】D ，倍角公式5．已知命题:p x ∃∈R ，210x x -+≥；命题:q 若22a b <，则a b <．下列命题为真命题的是（） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝【答案】B ，复合命题，p 真，q 假6．执行右侧的程序框图，当输入的x 值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为（） A ．3x >B ．4x >C ．4x ≤D ．5x ≤【答案】B ，程序框图-条件分支，由于输入x 为4，要想输出y 为2，则程序经过2log y x =的运算7．函数cos2y x x =+最小正周期为（）A ．2π B ．23π C ．π D ．2π【答案】C ，两角和差的三角函数，三角函数周期性8．如图所示的茎叶图记录了甲乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（） A ．3，5B ．5，5C ．3，7D ．5，7【答案】A ，茎叶图-中位数，平均数9．设1()2(1),1x f x x x <<=-≥⎪⎩，若()(1)f a f a =+，则1()f a =（） A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C ，分段函数，无理方程，由()(+1)f a f a =，2(11)a =+-，解得14a =，则1()(4)6f f a==10．若函数()xe f x （ 2.71828e = 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是（）A ．()2x f x -=B ．2()f x x =C ．()3x f x -=D ．()cos f x x =【答案】A ，指数运算，指数函数单调性，看选项A ，得()x e f x 2x xe -=⋅2xe ⎛⎫= ⎪⎝⎭，单调递增．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量(2,6)a = ，(1,)b λ=-，若//a b ，则λ=__________．【答案】3-，向量共线 12．若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则2a b +的最小值为__________． 【答案】8，均值不等式求最值-逆代法，∵121a b +=，∴2a b +12(2)()a b a b =++44b a a b =++4≥+8= 13．由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为__________．【答案】22π+，三视图，长方体、圆柱体积，【解析】该几何体的体积为21V 112211242ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+． 14．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)(2)f x f x +=-．若当[3,0]x ∈-时，()6x f x -=，则(919)f =__________．【答案】6，函数的奇偶性，函数的周期性，∵(4)(2)f x f x +=-，∴()f x 的周期6T =，∴(919)f (16153)(1)(1)6f f f =+⨯==-=15．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线22x py =(0)p >交于,A B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为____________．【答案】2y x =±，双曲线性质，抛物线定义，曲线交点， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2222212x y a b x py⎧-=⎪⎨⎪=⎩，得2221210p y y b a -+=，∴21222b p y y a +=， 由||||4||AF BF OF +=，得12222p py y p +++=，即12y y p +=， ∴2212b a =，即b a =． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．（本小题满分12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家123,,A A A 和3个欧洲国家123,,B B B 中选择2个国家去旅游。

（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中个任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．【解】【古典概型，文科枚举法（略），理科排列组合】（Ⅰ）设：从这6个国家中任选2个，这2个国家都是亚洲国家的事件为A ，∴232631()155C P A C ===；（Ⅱ）设：从亚洲国家和欧洲国家中个任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的事件为B ，∴111211332()9C C P B C C ==． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3b =，6AB AC ⋅=-，3ABC S ∆=，求A 和a ．【解】【向量数量积，三角形面积，解方程，特殊角三角函数值，余弦定理】∵6AB AC ⋅=- ，∴cos 6bc A =-，∵3ABC S ∆=，∴1sin 32bc A =，又∵3b =，∴3cos 613sin 32c A c A =-⎧⎪⎨⨯=⎪⎩，∴tan 1A =-，∵(0,)A π∈，∴34A π=，∴3(6c ⋅⋅=-，∴c =∴2222cos 9823(292a b c bc A =+-=+-⋅⋅-=，即a = 18．（本小题满分12分）由四棱柱1111ABCD A BC D -截去三棱锥111C B CD -后得到的几何体如图所示，四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，1A E ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）证明：1//AO 平面11B CD ； （Ⅱ）设M 是OD 的中点，证明：平面1A EM ⊥平面11B CD ．【解】【线面平行判定，线面垂直性质，线面垂直判定，面面垂直判定，三角形中位线性质】（Ⅰ）取11B D 中点F ，连结1A F ，CF ，∵1111ABCD A BC D -为四棱柱，∴1//A F OC =，∴1A FCO 为平行四边形，∴1//AO CF ， 又∵CF ⊂平面11B CD ，∴1//AO 平面11B CD ； （Ⅱ）∵E 为AD 的中点，M 是OD 的中点，∴//EM AO ， ∵ABCD 为正方形，∴AO BD ⊥， 又∵1A E ⊥平面ABCD ，ABCD1D 1A 1B OEMFABCD1D 1A 1B OEM∴1A E BD ⊥，1A E EM E = ，∴BD ⊥平面1A EM ， ∵11//BD B D ，∴11B D ⊥平面1A EM ，又∵11B D ⊂平面11B CD ， ∴平面1A EM ⊥平面11B CD ． 19．（本小题满分12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且126a a +=，123a a a =． （Ⅰ）求数列{}n a 通项公式；（Ⅱ）{}n b 为各项非零的等差数列，其前n 项和为n S ，已知211n n n S b b ++=，求数列{}nnb a 的前n 项和n T ．【解】【等比通项，等差通项，等比求和，等差求和，数列求和-错位相减】（Ⅰ）由题意得1122116a a q a q a q +=⎧⎨=⎩，解得2q =或3q =-（舍去），∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =； （Ⅱ）由已知21n S +121(21)()2n n b b +++=1(21)n n b +=+，又∵211n n n S b b ++=，∴21n b n =+，∴nnb a 1(21)()2n n =+，∴211135()(21)()222n n T n =⨯+⨯+++ ……①， 23111113()5()(21)()2222n n T n +=⨯+⨯+++ ……②， ①－②得23111111132()2()2()(21)()222222n n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯-+即01211113()()()(21)()2222n nn T n -=++++-+ 111()123(21)()1212n nn --=+-+-15(25)()2n n =-+．20．（本小题满分13分）已知函数3211()32f x x ax =-,a ∈R ． （Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【解】【导数的几何意义，求导函数，导数判定函数单调性，求极值，分类讨论】 （Ⅰ）由题意得2'()2f x x x =-，∴'(3)3k f ==，又(3)0f =， ∴所求切线为3(3)y x =-，即390x y --=； （Ⅱ）由题意3211()()cos sin 32g x x ax x a x x =-+--， 2'()()sin g x x ax x a x =-+-()(sin )x a x x =--，设()sin h x x x =-，'()1cos h x x =-0≥，∴()h x 在R 上单调递增， ∵(0)0h =，∴当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <， ①当0a =时，'()0g x ≥恒成立，∴()g x 在R 上单调递增，无极值； ②当0a <时，令'()0g x >，解得x a <或0x >， ∴()g x 在(,)a -∞，(0,)+∞单调递增，在[,0]a 单调递减， ∴()g x 的极大值为31()sin 6g a a a =-，极小值为(0)g a =-； ③当0a >时，令'()0g x >，解得0x <或x a >， ∴()g x 在(,0)-∞，(,)a +∞单调递增，在[0,]a 单调递减， ∴()g x 的极大值为(0)g a =-，极小值为31()sin 6g a a a =- 21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为2，椭圆C 截直线1y =所得线段的长度为 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）动直线:l y kx m =+(0)m ≠交椭圆C 于,A B 两点，交y 轴于点M ．点N 是M 关于O 的对称点，圆N 的半径为||NO ．设D 为AB 的中点，,DE DF 与圆N 分别相切于点,E F，求∠EDF的最小值．【解】【椭圆离心率，待定系数法，两点间距离公式，直线与椭圆-韦达定理，切线夹角最小值问题转化为三角函数最小值进一步转化为线段比值的最小最，换元思想，拆添项构成，求最值-二次函数，求最值-函数单调性，多项式计算（难点）】（Ⅰ）∵cea==，∴222a b=，∵椭圆C截直线1y=所得线段的长度为∴椭圆C过点，代入222212x yb b+=，解得22b=，∴椭圆方程为：22142x y+=；（Ⅱ）由题意可知(0,)M m，(0,)N m-，设11(,)A x y，22(,)B x y，则1212(,)22x x y yD++，由2224x yy kx m⎧+=⎨=+⎩，得222(21)4240k x kmx m+++-=，∴122421kmx xk-+=+，121222()221my y k x x mk+=++=+，∴222(,)2121km mDk k-++，若要∠EDF的最小，只需∠NDF最小，||sin||NFNDFDN∠=，其中||||NF m=，||ND==||m（或写成|m = 换元方法一：∴sin NDF∠== 设221t k =+，则1t ≥，∴sin NDF∠==，当1t =，即0k =时，sin NDF ∠取得最小值12，此时(m ∈ ， 即∠EDF 取得最小值3π； 换元方法二：∴sin NDF∠===， 设283k t +=，则3t ≥，∴sin NDF∠=∵9()f t t t=-在[3,)t ∈+∞单调递增（需证明过程）， ∴当3t =，即0k =时，sin NDF ∠取得最小值12，此时(m ∈ ，即∠EDF 取得最小值3π； 换元方法三：1sin NDF∠== 设283k t +=，则3t ≥，21214t k ++=，∴1sin NDF∠= ∵1()f t t t=+在[3,)t ∈+∞单调递增（需证明过程）， ∴当3t =，即0k =时，1sin NDF ∠取得最大值2，即sin NDF ∠取得最小值12，此时(m ∈ ，即∠EDF取得最小值；3。