cos(t) x 1
A2
t π 或 5π
33
由旋转矢量图可知 t π
3
v A sint
A
o A Ax
2
0.26m s1
（负号表示速度沿 Ox轴负方向）
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（3）如果物体在 x 0.05m 处时速度不等于零，而是具有 向右的初速度 v0 0.30m s，1 求其运动方程.
A
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
由图看出：速度超前位移 π 加速度超前速度 2
位移与加速度 Δ π 称两振动反相
若 0 称两振动同相
8、 在谐振动的合成中，用旋转矢量非常方便。
总之20，19/6旋/11 转矢量法在大学物重庆理邮电，大电学理路学院分析，等学科中有广泛15应用
例4.2.4 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度
22
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418
例4.2.5、一作简谐振动的物体，其振动曲
x/m
线如图所示。试写出该振动的表达式。
解：振动方程为 x Acos(t )
0.01
由振动曲线可知，振幅为 A 0.02 m
t = 0 时，
x0

A 2

0.01m
O
1
t/s
且其初始速度 v0 0
0.02
y
作旋转矢量图，如右图。

)
2
0 a v
(t )
2
v Asin(t )
x an r 2 A2
a

an
i
(t ) an i cos
x Acos(t )
a A2 cos(t )
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（6）、 所在的象限：
x Acos(t )
所以，P点的运动为简谐振动。
M t 0 A
x
P点的速度和加速度分别代表着简谐振动的速度和加速度。
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旋转矢量 A与谐振动的对应关系
旋转矢量
A
简谐振动
符号或表达式

模 AA 角速度
振幅
A
角频率
A
t
o

x
0
解： 平衡位置： , 3
22
t



6

7
(s)
6

A 2
60o
A
A 2
A
⑶、用旋转矢量根据初始条件很直观求出振幅
x0
A
t 0
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由图中几何关系可知

o
x
A2 2 x02 2 v02
v0
A x0 重庆邮电大学理学院
x02

v02
2
10
A
例4.2.3：一个质点沿x轴作简谐运动，振幅A=0.06m，周期T=2s， 初始时刻质点位于x0=0.03m处且向x轴正方向运动。求：（1）初 相位；（2）在x=-0.03m处且向x轴负方向运动时物体回到平衡位 置所需要的最短时间。
解：（1）用旋转矢量法，则初相位在第四象限

3
（2）从x=-0.03m处且向向x轴负方向运动到平衡位置，意味着 旋转矢量从M1点转到M2点，因而所需要的最短时间满足
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二、简谐振动的旋转矢量图示法
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规定： 旋转矢量 A ： 逆时针转动，匀速转动
A 在x（振动方向）轴上的投影 谐振动方程.
x Acos(t )
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1、简谐振动的旋转矢量图示法
tan v0 x
0
tan 0 : 在一、三象限
x0 0；v0 0 x0 0；v0 0
一象限 三象限
tan 0 : 在二、四象限
x0 0；v0 0 二象限
x0 0；v0 0 四象限
x0 v0
x0 v0
x0 y vm v 0
例4.2.1：t = 0 时谐振子在-A/2处沿正向运动，求初相。
解： ①函数法： x Acos(t )
t 0 时，x Acos A
cos 1 2 或 42
2
33
t 0 时， A sin 0 <<2
②用旋转矢量法：
(t2 ) (t1 )
t t2 t1
xa Ab
A2
o
A
v
π
3
tb

t
x
A 0 A ta A
t π 3 T 1 T 2 2π 6
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例4.2.2：质点在x轴上作简谐振动，求其从平衡位置先运动到+A/2 再到-A/2的最短时间是多少。不合题意，舍去
§4.2简谐振动的图示法
一、简谐振动的振动曲线图示法
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1
x
A1
A2
0
- A2
x
x1 同相
A1
x2
A2
T
0
t
- A2
x1 反相
T
t x2
-A1
-A1
意义：反映某质点位移随时间变化规律 由振动曲线可知
周期T. 振幅A 初相 0
某时刻质点
v
其方向参看下一时刻状况
解：不妨设第一个振动的振幅。根据题意可作出旋转矢量关系图：
A

A2 300
x
o
A1
由旋转矢量关系图可知：
2


2
,
1
2

0

2


2
A2

Asin 300

A 2
10cm
作业P172：4.1 ；4.3 ；4.4 ；4.7；4.8；4.9 ；4.10
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已知A、 (或 T 或 ) 、 振动表达式 2. 曲线法
已知振动曲线 A、 (或 T 或 )、
已知 A、 (或 T 或 )、 振动曲线
3. 旋转矢量法
A
t

x
t+
t=0 A

o
0 x x0 X -A
= /2
t
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2、应用： ⑴. 求初相位。（它就是矢量与x轴的夹角）
x
t=0时，A 与ox夹角
初相
0
旋转周期
t时刻，A与ox夹角
A 在 ox 上的投影
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振动周期 T=2/
相位
t+ 0
位移
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x =Acos(t+ 0)
6
简谐振动的描述方法小结：
1. 解析法 x=Acos( t+ )
已知振动表达式 A、 (或 T 或 )、
2 s，当 t = 0 时，质点对平衡位置的位移 x0 = 0.06m ，此时向x 轴正向运动。求：(1)此振动的表达式。 (2)从初始时刻开始第
一次通过平衡位置的时间。
解 (1)取平衡位置为坐标原点。
设振动方程为： x Acos(t )
A
O x0 2 v0

x
利用旋转矢量法求解，根据初始条件就可画
0
v

x
x0
v0
x Acos(t )
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（7）、 比较两个振动，哪一个超前，哪一个落后。
x Acos t
A cos t π

2
a A 2cos t π
A
2A

3
T T T T 5T T 12 6 4 3 12 2
tT O
2
t(s)
T
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12
12
（5）、确定振动的速度和加速度
t
y vm t π

2
an A

vm v
r
vmx
vm
A
i
vm i cos
vm cos(t
系数 k 0.72N m1，物体的质量m 20g .
（1）把物体从平衡位置向右拉到 x 0.05m 处停下后再释放，
求简谐运动方程；
x/m
o 解（1）
F

ma

kx
m
d2x dt 2
0.05
d
2
x

k
x

0
dt 2 m
k 0.72N m1 6.0s1
出振幅矢量的初始位置，从而得到：

(2)

3
2
T
x 0.12cos
由旋转矢量图可知，从起始时刻到第
( t



3
)
一次质点通过原点，旋转矢量转过的角度为： A
t
232
5
6
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