几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等边三角形（包含费马点）特殊角旋转变换对角互补模型一般角特殊角角含半角模型一般角等线段变换（与圆相关）【练1】 （2013北京中考）在ABC △中，AB AC =，BAC α∠=（060α︒<<︒），将线段BC绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD ．（1）如图1，直接写出ABD ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，15060BCE ABE ∠=︒∠=︒，，判断ABE △的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若45DEC ∠=︒，求α的值．真题演练知识关联图【练2】 （2012年北京中考）在ABC △中，BA BC BAC α=∠=，，M 是AC 的中点，P 是线段上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．（1）若α=60︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数；（2）在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．例题精讲考点1：手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）【例1】 （14年海淀期末）已知四边形和四边形都是正方形 ，且．（1）如图，连接、．求证：；（2）如图，如果正方形，将正方形绕着点旋转到某一位置时恰好使得，． ①求的度数；②请直接写出正方形的边长的值．ABCD CEFG AB CE >1BG DG BG DE =2ABCD CEFG C CG BD ∥BG BD =BDE ∠CEFG【例2】 （2014年西城一模） 四边形ABCD 是正方形，BEF ∆是等腰直角三角形，90BEF ∠=︒，BE EF =，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG ，CG ，EC 。

（1）如图24-1，若点E 在CB 边的延长线上，直接写出EG 与GC 的位置关系及ECGC的值；（2）将图24-1中的BEF ∆绕点B 顺时针旋转至图24-2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；图图【例3】 （2015年海淀九上期末）如图1，在ABC △ 中，4BC =，以线段AB 为边作ABD △，使得AD BD =， 连接DC ，再以DC 为边作CDE △，使得DC DE =，CDE ADB α∠=∠=．（1）如图2 ，当45ABC ∠=︒且90α=︒时，用等式表示线段AD DE ，之间的数量关系；（2）将线段CB 沿着射线CE 的方向平移，得到线段EF ，连接BF AF ，．若 90α=︒，依题意补全图3， 求线段AF 的长；请直接写出线段AF 的长（用含α的式子表示）．图2 图3 备用图BBBB图1【例4】 （13年房山一模）（1）如图1，ABC △和CDE △都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线，联结AD 、BE 相交于点P ，求证：BE AD =．（2）如图2，在BCD △中，120BCD ∠<，分别以BC 、CD 和BD 为边在BCD △外部作等边ABC △、等边CDE △和等边BDF △，联结AD 、BE 和CF 交于点P ，下列结论中正确的是_______（只填序号即可）①AD BE CF ==；②BEC ADC ∠=∠；③60DPE EPC CPA ∠=∠=∠=；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB PC PD BE ++=．图2AFAB 图1考点2： 角含半角模型：全等秘籍：角含半角要旋转：构造两次全等【例1】 （2012年西城期末）已知：如图，正方形ABCD 的边长为a ，BM ，DN 分别平分正方形的两个外角，且满足45MAN ∠=︒，连结MC ，NC ，MN ．猜想线段BM ，DN 和MN 之间的等量关系并证明你的结论．FED CBA G FED CBA AB CDEFFED CBA GABCDEFGACD E ACD EF【例2】 （2014年平谷一模）（1）如图1，点分别是正方形的边上的点，，连接， 则之间的数量关系是：．连结，交于点，且 满足，请证明这个等量关系；（2）在ABC △中， ，点分别为边上的两点．①如图2，当，时，应满足的等量关系是__________________；②如图3，当，，时，应满足的等量关系是____________________．【参考：】E F 、ABCD BC CD 、45EAF ∠=︒EF EF BE FD 、、EF BE FD =+BD AE AF 、M N 、MN BM DN 、、222DN BM MN +=AB AC =D E 、BC 60BAC ∠=︒30DAE ∠=︒BD DE EC 、、BAC ∠=α(0︒<α90)<︒DAE ∠=α21BD DE EC 、、1cos sin 22=+ααA B CD EF 图1B C DE 图2AB CDE 图3AMN考点3：对角互补模型常和角平分线性质一起考，一般有两种解题方法（全等型—90°）（全等型—120°） （全等型—任意角）【例1】 四边形被对角线分为等腰直角三角形和直角三角形，其中和都是直角，另一条对角线的长度为，求四边形的面积．OABCE DNOM A BCE DαOEDCBA OFEDCBA OEDCBAABCD BD ABD CBD A ∠C ∠AC 2ABCD DCB A【例2】 已知：点是的平分线上的一动点，射线交射线于点，将射线绕点逆时针旋转交射线于点，且使． （1）利用图1，求证：PA PB =；（2）如图1，若点是与的交点，当时，求PB 与PC 的比值；图1 图2P MON ∠PA OM A PAP ON B 180APB MON ∠+∠=C AB OP 3POB PCB S S ∆∆=CAOPBMNTTNM BP OAC【例3】 (初二期末)已知：如图，在ABC △中，AB AC =，BAC ∠=α，且60120α︒<<︒．P为ABC △内部一点，且PC AC =，120PCA α∠=︒-．（1）用含α的代数式表示APC ∠，得APC ∠ =_______________________； （2）求证：BAP PCB ∠=∠； （3）求PBC ∠的度数．BCPA（【练1】 （2015年昌平九上期末）如图，已知ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =．连接BD 交AE 于M ,连接CE 交AB于N ，BD 与CE 交点为F ，连接AF ． （1）如图1，求证：BD CE ⊥；（2）如图1，求证：AF 是CFD ∠的平分线； （3）如图2，当2AC =，15BCE ∠=︒时，求CF 的长.FEDCBA图1NM图2ABCDEF MN全能突破【练2】 （2014西城九上期末）已知：ABC △，DEF △都是等边三角形，M 是BC 与EF的中点，连接AD ，BE .（1）如图1，当EF 与BC 在同一条直线上时，直接写出AD 与BE 的数量关系和位置关系；（2）ABC △固定不动，将图1中的DEF 绕点M 顺时针旋转α（o 0≤α≤o 90）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；（3）△ABC 固定不动，将图1中的DEF 绕点M 旋转α（≤α≤）角，作DH BC ⊥于点H ．设 BH x ＝，线段AB ，BE ，ED ，DA 所围成的图形面积为S ．当6AB ＝，2DE ＝时，求S 关于x 的函数关系式，并写出相应的x 的取值范围．o 0o 90图2备用图图1【练3】 （2014年朝阳一模24题）在ABC △中，AC BC =，在AED △中，AD ED =，点D 、E 分别在CA 、AB 上，（1）图①，若90ACB ADE ∠=∠=︒，则CD 与BE 的数量关系是______________； （2）若120ACB ADE ∠=∠=︒，将AED △绕点A 旋转至如图②所示的位置，则CD 与BE 的数量关系是______________；（3）若2(090)ACB ADE αα∠=∠=<<︒，将AED △绕点A 旋转至如图③所示的位置，探究线段CD 与BE 的数量关系，并加以证明（用含α的式子表示）【练4】 （2015年燕山九上期末）小辉遇到这样一个问题：如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠︒＝，AB AC ＝，点，E 在边BC 上，45DAE ∠︒＝．若3BD ＝，1CE ＝，求DE 的长．D小辉发现，将绕点A 按逆时针方向旋转90º，得到ACF ，连接EF （如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及45DAE ∠︒＝，可证FAE DAE ≌，得FE DE ＝．解FCE ，可求得EF (即DE )的长．请回答：在图2中，FCE ∠的度数是__________，DE 的长为_______Rt ABC ____． 参考小辉思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形中，AB AD ＝，180B D ∠∠︒＋＝．E F ，分别是边BC CD ，上的点，且12EAF BAD ∠∠＝．猜想线段BE EF FD ，，之间的数量关系并说明理由．ABCD 图1ABC DE图2FABCDE图3EFDABC【练5】 （11年石景山一模）已知：如图，正方形中，,为对角线，将绕顶点逆时 针旋转()，旋转后角的两边分别交于点、点，交,于点、点，联结、．（1）在的旋转过程中，的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）； （2）探究与的面积的数量关系，写出结论并加以证明．ABCD AC BD BAC∠A α045α<<BD P Q BC CD E F EF EQ BAC ∠AEQ ∠APQ ∆AEF ∆QFC DBAP E【练6】 （2015年延庆九上期末）已知：ABC △是O 的内接三角形，AB AC =，在BAC∠所对弧AC 上，任取一点D ，连接AD BD CD ，，，（1）如图1，，直接写出ADB ∠的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，如果60BAC =︒，求证：BD CD AD +=；（3）如图3，如果120BAC =︒，那么BD CD +与AD 之间的数量关系是什么？写出猜测并加以证明；（4）如果，直接写出BD CD +与AD 之间的数量关系.BAC α∠=∠∠BAC α∠=A图1图2图3【练7】 （1)如图，在四边形中，，分别是边上的点，且．求证：;(2) 如图在四边形中，，分别是边上的点，且， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．(3) 如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．ABCD 90AB AD B D =∠=∠=︒，E F 、BC CD 、12EAF =BAD ∠∠EF BE FD =+ABCD 180AB AD B+D =∠∠=︒，E F 、BC CD 、12EAF BAD ∠=∠ABCD AB AD =180B ADC ∠+∠=︒E F ，BC CD ，12EAF BAD ∠=∠EFDCBAEFD CBAEFDCBA【练8】 小华遇到这样一个问题，如图1,ABC 中，ACB ∠=30º，65BC AC ==，，在ABC内部有一点P ，连接PA PB PC 、、，求PA PB PC ++的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将APC 绕点C 顺时针旋转60º，得到EDC ，连接PD BE 、，则BE 的长即为所求． （1）请你写出图2中，PA PB PC ++的最小值为________； （2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3，菱形ABCD 中，ABC ∠=60º，在菱形ABCD 内部有一点P ，请在图3中画出并指明长度等于PA PB PC ++最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD 的边长为4，请直接写出当PA PB PC ++值最小时PB 的长．B图3B图2B图1【练9】 （2014年西城二模）在ABC ，BAC ∠为锐角，AB AC >，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．（1）如图1，若ABC 是等腰直角三角形，直接写出线段AC ，CD ，AB 之间的数量关系；（2）BC 的垂直平分线交AD 延长线于点E ，交BC 于点F ．①如图2，若60ABE ∠=︒，判断AC ，CE ，AB 之间有怎样的数量关系并加以证明；【练10】 (2014年1月西城八年级期末试题—附加题) 已知：如图，MAN ∠为锐角，AD 平分MAN ∠，点B ，点C 分别在射线AM 和AN 上， AB AC =.（1）若点E 在线段CA 上，线段EC 的垂直平分线交直线AD 于点F ，直线BE 交直线AD 于点G ，求证：EBF CAG ∠=∠；（2）若（1）中的点E 运动到线段CA 的延长线上，（1）中的其它条件不变，猜想EBF∠与CAG ∠的数量关系并证明你的结论.【练11】（2014海淀一模）在ABC △中，AB AC =，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为α，且0180α︒<<︒，连接AD ，BD ．（1）如图1，当100BAC ∠=︒，60α=︒时，CBD ∠的大小为__________； （2）如图2，当100BAC ∠=︒，20α=︒时，求M 的大小；（3）已知BAC ∠的大小为m （60120m ︒<<︒），若M 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小．1、旋转的基本模型特征2、费马点问题3、角平分线和垂直平分线辅助线，中点辅助线4、线段旋转的特点小结与复习图2DCBA图1ABD。