4. 若 X () ~ N p (, ) ，（ 1,2,, n ）且相互独立，则样本均值向量 X 服
从的分布是
N
p
(
,
n
)
．
5.设 Xi Np (, ),i 1, 2, ,16 ， X 和 A 分别是正态总体的样本均值和样本离差 阵，则T 2 15[4(X )]A1[4(X )] 服从 T 2 (15, p)或 15 p F ( p, n p) 16 p
1 6
1
8.
设 X (X1, X2)
N2 (, ),
，
其
中
(1,
2
),
2
1
1
，
则
Cov(X1 X ,2X 1X ) 20
9 设 X,Y 是来自均值向量为 ，协差阵为 的总体 G 的两个样品，则 X，Y 间的马氏平
方距离 d 2 (X ,Y ) (X Y )1(X Y ) 10 设 X,Y 是来自均值向量为 ，协差阵为 的总体 G 的两个样品，则 X 与总体 G 的马 氏平方距离 d 2 (X ,G) = (X )1( X )
三、简答题（答案见平时习题）
1 简述多元统计的主要内容与方法（10 分） 可对比一元统计列出多元统计的主要内容与方法 （从随机变量及其分布、数字特征、四大分布（正态分布密度（1 分）、 2 (n) 与威沙特分布Wp (n, ) （1 分）、t 分布与 HotelingT 2 分布（1 分）、F 分布 与威尔克斯分布 ( p, n1, n2 )（1 分））、抽样分布定理、参数估计和假设检验、 统计方法（2 分）
一、判断题 （ 对 ）1 X (X1, X2, , X p ) 的协差阵一定是对称的半正定阵 （ 对 ）2 标准化随机向量的协差阵与原变量的相关系数阵相同。 （ 对）3 典型相关分析是识别并量化两组变量间的关系，将两组变量的相关关系
的研究转化为一组变量的线性组合与另一组变量的线性组合间的相关关系的研究。 （ 对 ）4 多维标度法是以空间分布的形式在低维空间中再现研究对象间关系的数据 分析方法。
11 设随机向量 X ( X1, X2, X3) 的相关系数矩阵通过因子分析分解为
1
R
1 3
2 3
1 3 1
0
2
3
0.934
0
0.417 0.835
1
0
0.894 0.447
0.934 0
0.417 0.894
0.128
0.835 0.447
0.027
0.103
（ 错）7 因子载荷经正交旋转后，各变量的共性方差和各因子的贡献都 发生了变化 （ 对）8 因子载荷阵 A (aij ) 中的 aij 表示第 i 个变量在第 j 个公因子上 的相对重要性。 （ 对 ）9 判别分析中，若两个总体的协差阵相等，则 Fisher 判别与距离判别等价。
（对）10 距离判别法要求两总体分布的协差阵相等，Fisher 判别法对总体的分布无特 定的要求。
10
6 设 Xi N3(, ),i 1, 2, ,10 ，则W ( Xi )( Xi ) 服从W3(10, ) i 1
4 4 3
7. 设 随 机 向量
X
(X1,
X2,
X 3 )
，且协差阵
4
9
2 ， 则 其 相 关矩 阵
3 2 1 6
1
R=
2 3
3
8
2 3
1
1 6

3 8
-2-
则 X1 的共性方差 h12 0.9342 =0.872 ，其统计意义是：描述了全部公因子对变量 X1
的总方差所作的贡献，称为变量 X1 的共同度，反映了公共因子对变量 X1 的影响程度。
标准化变量 X1 的方差为 1，公因子 f1 对 X 的贡献 g12 0.9342+0.4172+0.8352=1.743
二、填空题 1、多元统计中常用的统计量有：样本均值向量、样本协差阵、样本离差阵、 样本相关系数矩阵． 2、设 是总体 X (X1, , Xm ) 的协方差阵， 的特征根 i (i 1, , m) 与相应的单
位 正 交 化 特 征 向 量 i (ai1, ai2, , aim ) ， 则 第 一 主 成 分 的 表 达 式 是
y1 a11X1 a12 X 2 a1m X m ，方差为 1 。
3 设 是总体 X ( X1, X2, X3, X4 ) 的协方差阵， 的特征根和标准正交特征向量分别
为： 1 2.920 U1' (0.1485, 0.5735, 0.5577, 0.5814)
2 1.024 U2' (0.9544, 0.0984, 0.2695, 0.0824)
（ 错）5 X (X1, X 2 ,, X p ) ~ N p (, ) ， X , S 分别是样本均值和样本离 差阵，则 X , S 分别是 , 的无偏估计。
n （ 对）6 X (X1, X 2 ,, X p ) ~ N p (, ) ， X 作为样本均值 的估计，是
无偏的、有效的、一致的。
3 0.049 U3' (0.2516, 0.7733, 0.5589, 0.1624)
4 0.007U4' (0.0612, 0.2519, 0.5513, 0.7930) ，则其第二个主成分的表达式是
-1-
y2 0.9544X1 0.0984X2 0.2695X3 0.0824X4 ，方差为 1.024
12. 对应分析是将 Q 型因子分析 和 R 型因子分析 结合起来进行的统计分析方法
13 典型相关分析是研究两组变量间 相关关系 的一种多元统计方法 14. 聚类分析中，Q 型聚类是指对 样本 进行聚类，R 型聚类是指对 指标 进 行聚类。 15 Spss for windows 中 主 成 分 分 析 由 Data Reduction->Factor Analysis 过程实现。
16 设Uk ,Vk 是第 k 对典型变量则 D(Uk ) 1, D(Vk ) 1 (k 1, 2, , r)
Cov(Ui ,U j ) 0, Cov(Vi ,Vj ) 0 (i j)
i 0 (i j,i 1, 2, , r)
Cov(Ui ,Vj ) 0
(i j)
0
( j r)
17. 在多维标度分析中，当 D 是欧几里得距离阵时，X 是 D 的一个构图