空间几何体的表面积与体积专题一、选择题1．棱长为2的正四面体的表面积是(　C )．A. B ．4 C ．4 D ．1633解析　每个面的面积为：×2×2×＝.∴正四面体的表面积为：4.1232332．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 (　B )．A ．2倍B ．2倍 C.倍 D.倍2232解析　由题意知球的半径扩大到原来的倍，则体积V ＝πR 3，知体积扩大到原来的2倍．24323．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为(　B )．A.B.C.142328432803 D.1403解析　根据三视图的知识及特点，可画出多面体的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－××2＝13(12×2×2).28434．某几何体的三视图如下，则它的体积是( A)A ．8－B ．8－C ．8－2πD.2π3π32π3解析 由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V ＝23－×π×2＝8－.132π35．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为(　A)A ．24－π B ．24－ C ．24－π D ．24－32π3π2据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V ＝2×3×4－×π×12×3＝24－.123π26．某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为( C )od A. cm 2 B. cm 2(95－π2)(94－π2)C.cm 2 D. cm 2(94＋π2)(95＋π2)解析 下面是一个四棱柱．上面四棱柱的表面积为2×3×3＋12×1－＝30－；中间部分的表面积为π4π42π××1＝π，下面部分的表面积为122×4×4＋16×2－＝64－.故其表面积是94＋.π4π4π27．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S-3ABC 的体积为( C)．A ．3B ．2 C. D ．1333解析　由题可知AB 一定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过AB 的小圆交直径SC 于D ，设SD ＝x ，则DC ＝4－x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD 和C-ABD ，在△SAD 和△SBD 中，由已知条件可得AD ＝BD ＝x ，又因为SC 为直径，所以∠SBC ＝∠SAC ＝90°，所以∠DCB ＝∠DCA ＝60°，在33△BDC 中 ，BD ＝(4－x )，所以x ＝(4－x )，所以x ＝3，AD ＝BD ＝，所以三角形ABD 为正33333三角形，所以V ＝S △ABD ×4＝.133二、填空题8．三棱锥PABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC 的体积等于________．解析　依题意有，三棱锥PABC 的体积V ＝S △ABC ·|PA |＝××22×3＝3131334.39．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_ 3∶2_______．解析 设圆柱的底面半径是r ，则该圆柱的母线长是2r ，圆柱的侧面积是2πr ·2r ＝4πr 2，设球的半径是R ，则球的表面积是4πR 2，根据已知4πR 2＝4πr 2，所以R ＝r .所以圆柱的体积是πr 2·2r ＝2πr 3，球的体积是πr 3，所以圆柱的体积和球的体积的比是＝3∶2.432πr 343πr 310．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．26解析　由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连32接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V ＝×1×1×＝.2213222611．如图，半径为R 的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是____2πR2____．解析　由球的半径为R ，可知球的表面积为4πR 2.设内接圆柱底面半径为r ，高为2h ，则h 2＋r 2＝R 2.而圆柱的侧面积为2πr ·2h ＝4πrh ≤4π＝2πR 2(当且仅当r ＝h 时等号成立)，即内接圆柱r 2＋h 22的侧面积最大值为2πR 2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2πR 2.12．如图，已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为___13_____cm.解析　根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为＝13 (cm)．52＋122三、解答题13．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH ，下半部分是长方体ABCDEFGH .图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图．(1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积．解析　(1)侧视图同正视图，如图所示：(2)该安全标识墩的体积为V ＝V PEFGH ＋V ABCDEFGH ＝×402×60＋402×20＝64 000(cm 3)．1314 .一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼3成的矩形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的表面积S.解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为，所以V ＝1×1×＝.333(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD ，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，S ＝2×(1×1＋1×＋1×2)＝6＋2.3315．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .解析　由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h 2的等腰三角形，如右图所示．(1)几何体的体积为：V ＝·S 矩形·h ＝×6×8×4＝64.1313(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h 1＝＝5.左、右侧面的底边上的高为：42＋32h 2＝＝4.故几何体的侧面面积为：S ＝2×＝40＋24.42＋422(12×8×5＋12×6×42)21.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）. .解：设展开图的正方形边长为a ，圆柱的底面半径为r ，则2πr =a ，，底面圆的面积是，2ar π=24a π于是全面积与侧面积的比是，2221222a a a πππ++=2．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）.2．解：正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是，于是8个三棱锥的体积是，剩余部分的体积是， 111111()3222248⨯⨯⨯⨯=61653．一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是6cm 和8cm ，高是5cm ，则这个直棱柱的全面积是 。

3．答案：148 cm 2解：底面菱形中，对角线长分别是6cm 和8cm ，所以底面边长是5cm ，侧面面积是4×5×5=100cm 2，两个底面面积是48cm 2，所以棱柱的全面积是148cm 2.4．已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，则它们的高之比为 。

4．答案：2：25解：设圆柱的母线长为l ，因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是和，2π4πh i nb 由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式，得，，2r l πθ=13l r =223lr ==5．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1cm ，2cm ，3cm ，则此棱锥的体积_________5．答案：1cm 3解：转换一个角度来认识这个三棱锥，即把它的两条侧棱(如长度为1cm ，2cm 的两条)确定的侧面看作底面，另一条侧棱作为高，则此三棱锥的底面面积是1，高为3，则它的体积是×1×3=1cm 3.316．矩形两邻边的长为a 、b ，当它分别绕边a 、b 旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为6．答案：ba解：矩形绕a 边旋转，所得几何体的体积是V 1=πb 2a ，矩形绕b 边旋转，所得几何体的体积是V 2=πa 2b ，所以两个几何体的体积的比是2122Vb a b V a b aππ==16．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a .(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．解析　(1)如图，在四面体ABCD 中，设AB ＝BC ＝CD ＝AC ＝BD ＝a ，AD ＝x ，取AD 的中点为P ，BC 的中点为E ，连接BP 、EP 、CP .得到AD ⊥平面BPC ，∴V A-BCD ＝V A-BPC ＋V D-BPC＝·S △BPC ·AP ＋S △BPC ·PD ＝·S △BPC ·AD ＝··a·x ＝1313131312a 2－x 24－a 24a 12 3a 2－x 2 x 2≤·＝a 3(当且仅当x ＝a 时取等号)．∴该四面体的体积的最大值为a 3.a123a 22186218(2)由(1)知，△ABC 和△BCD 都是边长为a 的正三角形，△ABD 和△ACD 是全等的等腰三角形，其腰长为a ，底边长为a ，∴S 表＝2×a 2＋2××a ×62341262a 2－(64a )2＝a 2＋a ×＝a 2＋＝a 2.326210a43215a 2423＋154。