本章内容
3.1 数系的扩充和复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算
第三章 小结
3.2
复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加减运算及几何意义 3.2.2 复数代数形式的乘除运算
3.2.1 复数代数形式的加减运算
及几何意义
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1. 怎样进行复数的加减法运算? 2. 复数加减法的几何意义是什么?
1 i
=
i i2
=
-i.
(3)
7+i 3+ 4i
=
(7+ i)(3- 4i) (3+ 4i)(3- 4i)
=
21-
28i + 3i 9+16
-
4i2
=
25- 25i 25
=1-i.
3. 计算:
(1)
1+ 1-
i i
;
(2) 1i ;
(3)
7+i 3+ 4i
;
(4)
(-1+ i)(2 -i
+
i)
.
解:
解: (1) (7-6i)(-3i) = -21i+18i2 = -18-21i.
(2) (3+4i)(-2-3i) = -6-9i-8i-12i2= 6-17i. (3) (1+2i)(3-4i)(-2-i) = (3-4i+6i-8i2)(-2-i)
= (11+2i)(-2-i) = -22-11i-4i-2i2 = -20-15i.
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
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1. 复数怎样进行乘法运算? 2. 什么是共轭复数? 怎样用共轭复数进 行复数的除法运算?
1. 复数的乘法法则 规定: 设 z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数, 那么 (a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi2 = (ac-bd)+(ad+bc)i.
a + bi c+ di
=
(a + bi)(c -di) (c + di)(c -di)
=
ac- adi + bci - bdi2 c2 +d2
=
(ac
+
bd ) + (bc c2 +d2
-
ad )i
=
ac c2
+ +
bd d2
+
bc c2 +
ad d2
i.
(实部) (虚部)
例4. 计算 (1+2i)(3-4i).
(3) i(2-i)(1-2i) = i(2-4i-i+2i2) = i(-5i)= 5.
3. 计算:
(1)
1+ 1-
i i
;
(2) 1i ;
(3)
7+i 3+ 4i
;
(4)
(-1+ i)(2 -i
+
i)
.
解:
(1)
1+ i 1- i
=
(1+ i)2 (1- i)(1+ i)
=
2i 2
=
i.
(2)
解: (5-6i)+(-2-i)-(3+4i) = (5-2-3)+(-6-1-4)i = -11i.
练习: (课本109页) 第 1、2 题.
练习: (课本109页)
1. 计算:
(1) (2+4i)+(3-4i);
(2) 5-(3+2i);
(3) (-3-4i)+(2+i)-(1-5i); (4) (2-i)-(2+3i)+4i.
解: (4) (0.5+1.3i)-(1.2+0.7i)+(1-0.4i)
= (0.5-1.2+1)+(1.3-0.7-0.4)i
= 0.3+0.2i.
2. 在复平面内, 复数 6+5i 与 -3+4i 对应的向量 分别是 OA与OB, 其中 O 是原点, 求向量 AB, BA 对 应的复数.
解: 由向量 OA表示 6+5i 得 A(6, 5), 由向量 OB 表示 -3+4i 得 B(-3, 4),
y Z2
O
Z1
x Z
OZ1 -OZ2 = (a -c, b-d) =(a-c)+(b-d)i. 向量减法的几何运算:
OZ1 -OZ2 = Z2Z1 =(a, b)-(c, d)=(a-c, b-d). 则 z1 - z2 = OZ1 -OZ2 = Z2Z1 = OZ.
例1. 计算 (5-6i)+(-2-i)-(3+4i).
2. 如图的向量 OZ 对应的复数是 z, 试作出下列 运算的结果对应的向量:
(1) z+1; (2) z-i; (3) z+(-2+i).
解: (1) z +1= OZ1. (2) z - i = z +(-i)= OZ2. (3) z +(-2+ i)= OZ3.
Z3
y
Z Z1
Z2
O1
x
【课时小结】
= a2-2abi+(bi)2 = a2-b2-2abi.
法公式, 其中 i2= -1.
例3. 计算: (1) (3+4i)(3-4i); (2) (1+i)2.
解: (1) (3+4i)(3-4i) = 9-(4i)2= 9+16 =25. 此题中 3+4i 与 3-4i 称为共轭复数. 当两个复数的实部相等, 虚部互为相反数时, 这 两个复数叫做互为共轭复数. 复数 z 的共轭复数记着
Z2
Z
几何形式: OZ1 +OZ2 = OZ, 则点 Z 的坐标为 (a+c, b+d).
Z1
所以向量 OZ也表示复数 z1+z2. O
x
问题1. 复数可用向量表示, 还记得向量的加法 吗? 与我们规定的复数的加法是否一致?
复数加法的几何意义:
复数的加法在复平面上可以表示为向量的加法.
z1=a+bi 用向量 OZ1 表示, z2=c+di 用向量 OZ2 表示,
解: (1) (2+4i)+(3-4i) = (2+3)+(4-4)i = 5. (2) 5-(3+2i) = (5-3)+(0-2)i =2-2i. (3) (-3-4i)+(2+i)-(1-5i) =(-3+2-1)+(-4+1+5)i = -2+2i. (4) (2-i)-(2+3i)+4i = (2-2)+(-1-3+4)i = 0.
2. 计算: (1) ( 3 + 2i)(- 3 + 2i); (2) (1-i)2; (3) i(2-i)(1-2i).
解: (1) ( 3 + 2i)(- 3 + 2i)= ( 2i + 3)( 2i - 3) = ( 2i)2 -( 3)2 = -2-3 = -5.
(2) (1-i)2= 1-2i+i2= -2i.
i)-
(
1 2
+
3 4
i);
(4) (0.5+1.3i)-(1.2+0.7i)+(1-0.4i).
解: (1) (6-5i)+(3+2i) = (6+3)+(-5+2)i=9-3i.
(2) 5i-(2+2i) = (0-2)+(5-2)i = -2+3i.
(3)
(
2 3
+
i)+
(1-
2 3
i)
- ( 12
的复数. 解: 如图,
BD= BA+ BC = (1-0, 3+1)+(2-0, 1+1) = (1, 4)+(2, 2) = (3, 6),
y
D
A
C
O
x
B
因为点 B 的坐标为 (0, -1),
设点 D 的坐标为 (a, b), 则
(3, 6)=(a-0, b+1),
得 a=3, b=5,
所以点 D 对应的复数为 3+5i.
类似于实数的二项式与二项式相乘, 其中 i2= -1.
如: (3-2i)(-1+5i) = -3 +15i+2i -10i2 = 7+17i.
3i(-5-i) = -15i -3i2 = 3-15i. 复数的乘法也满足交换律、结合律和分配律.
例2. 计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i). 解: (1-2i)(3+4i)(-2+i)
实部相减得实部, 虚部相减得虚部.
问题2. 复数减法的几何意义是什么?
复数可用向量表示, 其减法运算也可用向量表示.
设: z1=a+bi, z2=c+di, 复数减法: z1-z2=(a-c)+(b-d)i. 用向量表示复数:
z1 = OZ1 = (a, b), z2 = OZ2 = (c, d), 向量减法的代数运算:
z 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫共轭虚数.
一对共轭复数的积是一个实数.
(a+bi)(a-bi)=a2+b2.
例3. 计算: (1) (3+4i)(3-4i); (2) (1+i)2.