量子力学考研参考试题（一）一. （见1997年第二题）证明：（1） 若一个算符与角动量算符J ˆ 的两个分量对易，则其必与J ˆ 的另一个分量对易；（2） 在2ˆJ 与z J ˆ的共同本征态JM 下，x J ˆ与y J ˆ的平均值为零，且当JM 时，测量x J ˆ与y J ˆ的不确定性为最小。

证明：（1） 设算符Fˆ与角动量算符x J ˆ及y J ˆ皆对易，即ˆ,ˆˆ,ˆ yxJ F J F则0ˆˆ,ˆi 1ˆˆ,ˆi 1ˆ,ˆ,ˆi 1ˆ,ˆ x y y x y x z J J F J J F J J F J F同理可知，若算符F ˆ与角动量算符x J ˆ及z J ˆ皆对易，则算符F ˆ必与y J ˆ对易；若算符Fˆ与角动量算符yJ ˆ及z J ˆ皆对易，则算符F ˆ必与x J ˆ对易，于是，问题得证。

（2）在2ˆJ 与z J ˆ的共同本征态JM 下，x J ˆ与y J ˆ的平均值为JM J J JM JM J JM x ˆˆ21ˆ由升降算符的修正可知1)1()1(ˆJM M M J J JM J于是有0ˆ JM J JM x同理可证，算符yJ ˆ在JM下的平均值也未零。

在JM态上，22222)1(21ˆˆ21ˆˆˆˆ41ˆˆˆˆ41ˆMJJJMJJJMJMJJJJJMJMJJJJJMJMJJMx同理可得222)1(21ˆMJJJMJJMy故有42222)1(41MJJJJxx或者写为22)1(21MJJJJyx显然，当JM 时，上式取最小值2min2JJJyx二. （见2001年第二题）粒子作一维运动，当总能量算符为x VpH2ˆˆ2时，能级是nE，如果总能量算符变成pHHˆˆˆ（为实参数），求粒子能级的严格解nE。

解：视为参变量，则有pHˆˆ利用费曼-海尔曼定理可知n pn n H n E n ˆ1ˆ又知p p p x H x t x ˆ1ˆ2ˆ,i 1ˆ,i 1d d 2在任何束缚态n下，均有0ˆˆi 1ˆ,i 1d d n x H H x n n H x n n t x n所以，n pn ˆ进而得到能量本征值满足的微分方程n E对上式作积分，得到cE n 22利用0 时，0ˆˆH H ，定出积分常数0n E c最后，得到Hˆ的本征值为22nn E E三. 一维谐振子的哈密顿算符为222212ˆˆx m m p H引入无量纲算符，x m Qˆ；p m Pˆ1ˆ；P Qaˆi ˆ21ˆ ；P Qaˆi ˆ21ˆ（1） 计算P Qˆ,ˆ，a a ˆ,ˆ， a a a ˆˆ,ˆ，a aa ˆˆ,ˆ；（2） 将H ˆ用a ˆ与 a ˆ表示，并求出全部能级。

解：（1）计算对易关系i ˆ,1ˆ1,ˆ,ˆ p x pm x m P Q1ˆ,ˆi 21ˆi ,ˆ21ˆi ˆ21,ˆi ˆ21ˆ,ˆQ P P Q P Q P Q a aa a a a a a a a a a ˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆa a a a a a a a a a ˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆ（2）改写哈密顿算符22222ˆˆ21212ˆˆQ P x m m p H而1ˆˆ21ˆ,ˆ2i ˆˆ21ˆi ˆ21ˆi ˆ21ˆˆ2222P Q P Q P Q P Q P Q a a所以，有21ˆˆˆa aH 下面求解上述哈密顿算符满足的本征方程。

对任何态矢，均有ˆˆ2a a a因此，21ˆ H若是哈密顿算符的本征态E，则E H E E ˆ，即21E上式说明能量的下限为21。

用aH ˆˆ作用H ˆ的任意一个本征态'E上，利用a a a a Ha ˆˆˆ,ˆˆ,ˆ可知'''ˆˆ ˆˆˆˆ'E E E aE a H a a H若0ˆ' E a，则其为哈密顿算符的另一个本征态，相应的本征值为 E。

重复这个推理的过程，得到,2,,'''E E E 都是哈密顿算符的本征值，由于，本征值不能小于21，此数列必须终止于某个最小值0E ，即 0E 不再是能量本征值，其条件为0ˆ0 E a因此，0002121ˆˆˆE E E a aH于是可知E相应当能量本征值210 E类似前面的做法，利用H a a Hˆˆˆˆ可知''ˆˆˆ'E E a E a H说明'ˆE a也是能量的本征态，相应的能量本征值为 'E ，重复此过程可知，,2,,''' E E E 都是能量本征值。

最后，得到能量本征值的表达式为21n E n四. 有一定域电子（作为近似模型，可以不考虑轨道运动）受到均匀磁场B 的作用，磁场B指向x 轴电正方向，磁作用为x x c eB s c eB H ˆ 2ˆ ˆ 。

设0 t 时，电子的自旋向上，即2z s ，求0 t 时s ˆ 的平均值。

解：哈密顿算符可以改写为0110ˆ 2ˆ x c eB H其中，c eB2在泡利表象中，设0 t 时体系的波函数为t b t a t b t a t 则其应满足010ˆd d i t H t t于是有t a t b t b t a t d d i 此即，t a t t b t b t t a i d d i d d上式可以化为t b t a t t b t a t b t a t t b t a i d d i d d解之得到t d t b t a t c t b t a i exp i exp利用初始条件10 a ； 00 b可知1 d c于是，t t b t t a sin i cos0 t 时的波函数为t t t isin cos 而t t t s t t t s t t s z z y y x x 2cos 2ˆ2 2sin 2ˆ20ˆ2五.（第一问见1998年第五题）有一量子体系由哈密顿量W H H ˆˆˆ0 描述，其中，0ˆ,ˆi ˆH A W 可视为微扰，B A ˆ,ˆ是厄米特算符，且有A B C ˆ,ˆi ˆ 。

（1）若算符C B Aˆ,ˆ,ˆ在0ˆH 的非简并基态上的平均值已知，且分别记为000,,C B A ，求B ˆ在微扰后的非简并基态上的平均值，准确到 量级。

（2） 将上述结果用在如下三维问题上，312220212ˆˆi i i x m m p H3ˆx W 计算在微扰后非简并基态上i x 3,2,1 i 的平均值，准确到 量级。

解：（1）设0ˆH 满足n E n H n00ˆ则哈密顿算符W H H ˆˆˆ0 的基态波函数的一级近似为0ˆi 00ˆ00i 0ˆi 00ˆi 00ˆˆˆi 00ˆ00000000001A A A A n n A n n E E A H H A n n E E Wn n nn n nn n利用归一化条件2022110ˆ0100A A若准确到量级，则一级近似波函数已经归一化。

在微扰后的基态的一级近似之下计算Bˆ的平均值，得到202000110ˆˆˆˆ0i 0ˆˆ00ˆˆ0i 0ˆ0 O B A A BB O B A A A A B B B再利用A B C ˆ,ˆi ˆ ，并略去 的二次项，0110ˆ0C B B（2）取23ˆˆ m p A使得323223021,ˆi ˆ,ˆi ˆx x m m p H A W当1ˆx B 时，0ˆ,i ˆ,ˆi ˆ231 m p x A B C000001111 x x同理可知，00002121 x x当取3ˆx B 时，22331ˆ,i ˆ,ˆi ˆ m m p x A B C2213100000m C x x。