∂ρ ′ ∂ρ ′ ∂ρ ′ ∂ρ ∂ρ ′ +u +v +w +w =0 ∂t ∂x ∂y ∂z ∂z
(2.15)
3
运动幅度较小时，非线性项 u∂ρ ′ / ∂x ，v∂ρ ′ / ∂y 和 w∂ρ ′ / ∂z 可忽略。因此，方程(2.15) 可简化为
∂ρ ′ ∂ρ +w =0 ∂z ∂t
(2.16)
(4.40)
1 ∂ 2ρ ′ ∂ 2ρ ′ ∂ 2w = ωmw0 cos(kx + ly + mz − ωt ) − ( 2 + 2 )= ρ ∂x ∂y ∂t∂z
图1
波数空间的坐标系
其表明扰动压力 p′ 由下式给出
p′ = −
ωmw0 ρ0
(k 2 + l 2 )1 2
cos( kx + ly + mz − ωt )
∂ 2u ∂ 2v ∂ 2w + + =0 ∂t∂x ∂t∂y ∂t∂z
其次，我们分别对方程(2.17)~(2.19)中 x, y 和 t 求导数，得
(2.20)
ρ
∂ 2u ∂ 2ρ ′ =− 2 ∂x∂t ∂x
(2.21)
ρ
∂ 2v ∂ 2ρ ′ =− 2 ∂y∂t ∂y
(2.22)
ρ
∂ 2w ∂ 2ρ ′ ∂ρ ′ = − −g 2 ∂t∂z ∂t ∂t
(4.41)
从方程式(2.16)，我们有扰动密度 ρ ′ ，由下式给出
⎛ N2 ⎞ ρ ′ = −⎜ ⎟ ρ0ω0 sin (kx + ly + mz − ωt ) ⎜ ωg ⎟ ⎠ ⎝
垂直速度分量由方程(2.17)和(2.18)得出
(4.42)
(u, v ) = −(k , l )(k 2 + l 2 )−1 mω0 cos(kx + ly + mz − ωt )
(2.25)
4
第三，我们将算子
∂2 ∂2 + 应用于方程(2.25)，得 ∂x 2 ∂y 2
(2.26)
ρ
∂ρ ⎛ ∂ 2ω ∂ 2ω ⎞ ∂ 2 ⎛ ∂ 2ω ∂ 2ω ⎞ ∂ 2 ⎛ ∂ 2p′ ∂ 2p′ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 + 2⎟ ⎜ ⎟ + g + + = − 2 2 ∂y 2 ⎟ ∂z ⎜ ∂y ⎟ ∂x 2 ⎜ ∂y 2 ⎟ ∂t∂z ⎜ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎠
因此，群速度的幅度为 r sin φ ，它的方向与垂直面成 φ 角，如图 3 所示。
现在考虑随着 φ 从 0 逐渐增加到 π / 2 时解的变化情况。当 φ = 0 ，粒子的垂直线一起运 动，象纵向振动的刚性杆。当粒子的垂直线从它的平衡位置移动，浮力回复力将会起作用， 粒子线象是一根弹簧，产生频率为 N 的振荡。不断增加的 φ 的解对应于一起移动的粒子线，
8
该线与垂直方向呈 φ 角。每单位位移的回复力 cosφdρ ′ / dz 小于当 φ = 0 时的情况，因此， 振动频率也小。当 φ 趋于 π / 2 时，振动频率趋于 0。当 φ = π / 2 时，不是内波，但是其表 示经常观察到的波动的重要形式。例如，这在航空旅游时很常见，可以看到非常平和非常广 阔的厚云层。每层云在它自己的水平面运动，但不同的云层之间彼此有相对运动。 4.1 频散影响 实际上，内重力波从来没有由方程(4.35)给出的精确平面波形式，因此必须考虑这些波 的叠加。由频散影响变得明显，因不同频率的波有不同的相位和群速度，该结果将在本节给 出。对于内波，在波数空间中常频率表面为锥状，φ = 常数。相速度平行于波数向量，并且 取决于常相位的锥体。它 cos(φ ) k k
(4.45)
群速度 C g 是波数空间中频率 ω 的梯度。因此群速度垂直于常频率 ω 的表面。得出群速度与 波数向量成直角。当群速度有一个朝上的分量，相速度就有一个朝下的分量，反之亦然。群 速度向量为
N C g = r sin φ (sin φ cos θ , sin φ sin θ ,− cos φ ) k
= (k , l )(ωρ0 ) p′
−1
(4.43) (4.44)
以上压力和速度波动之间的关系对于从一固定点通过观察推导出波的特性十分有用。 举 例，如果测量得到前进波的水平速度分量和扰动压力，波数向量的水平分量可从式(4.44)推
7
导得出。 图 2 给出了在垂直平面中平面前进内波的特性，包括波数向量。粒子沿着波峰运动。在 这个方向没有压力梯度。因此，在运动方向，离子的回复力只有重力分量 g cosφ 。回复力 也与该方向的密度变化分量成正比，该变化分量为每单位位移的 φ
2 密度不可压缩的分层流体的控制方程
我们将推导连续密度分层的不可压缩流体中的波动控制方程组。 在此， 将使用 x, y 和 z 笛卡尔坐标系，坐标轴 z 垂直朝上。在 x, y 和 z 轴正向上的速度分量表示为 u, v 和 ω 。流体 粒子必须满足连续方程
1 Dρ ∂u ∂v ∂w + + + =0 ρ Dt ∂x ∂y ∂z
下面，我们应用方程(2.24)消去方程(2.26)中的 p′ ，其给出了下列 ω 的偏微分方程
2 ∂ 2 ⎛ ∂ 2ω ∂ 2ω 1 ∂ ⎡ ∂ω ⎤ ⎞ ∂ 2w ⎞ 2⎛ ∂ w ⎜ ⎟ ⎜ N + + + + ρ 2 ⎥⎟ ⎜ ∂x 2 ∂y 2 ⎟ ⎟=0 ∂t 2 ⎜ ∂y 2 ρ ∂z ⎢ ⎣ ∂z ⎦ ⎠ ⎝ ∂x ⎝ ⎠
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I-校园计划 流体力学的学校项目 流体中的波的模块 T.R. Akylas & C.C. Mei
第七章
1 简介
层状流体中的内波
由于温度、成份和压力的变化，大气和海洋是连续分层的。海洋和大气中的这些变化可 能导致垂直方向流体密度的重大变化。举例来说，来自河流的淡水可能浮在海水上面。并由 于扩散程度小，密度差异会保留很长时间。密度分层使得出现流体振荡。产生振荡的回复力 是浮力。与这种振荡有关的波动现象称为内波，将在这章讨论。
dρ ζ dz
(3.31)
并且该值为负数。将牛顿定理应用于单位体积的流体块中，我们有
5
ρ
或
∂ 2ζ dρ =g ζ 2 ∂t dz
(3.32)
∂ 2ζ + N 2ζ = 0 ∂t 2
其中
(3.33)
N 2 (z ) = −
g dρ ρ dz
(3.34)
该式称为浮力频率或 Brunt-Vaisala 频率。 这一基本考虑显示一旦流体从它的平衡位置产生移 动，重力和密度梯度产生回复力使其振荡。
(2.27)
其中，我们定义
N 2 ( z) = −
g ∂ρ ρ ∂z
(2.28)
其有频率的单位(rad/sec)，并称为 Brunt-Vaisala 频率或浮力频率。如果假设 ω 相对 z 的变化 远快于 ρ ( z ) ，则
1 ∂ ∂ ∂ 2ω ( ρ )w ~ 2 ρ ∂z ∂z ∂z
并且(2.27)可利用该方程近似
(2.23)
如将方程(2.21)和(2.22)代入方程(2.20)，得
−
1 ∂ 2ρ ′ ∂ 2ρ ′ ∂ 2w ( + )+ =0 ∂t∂z ρ ∂x 2 ∂y 2
(2.24)
我们可利用方程(2.16)，消去方程(2.23)中的 ρ ′ ，得
ρ
∂ 2ω ∂ 2p′ ∂ρ ω = − +g 2 ∂t ∂t∂z ∂z
r k = k cos(φ ) cos(θ ) r l = k cos(φ ) cos(θ ) r m = k sin(φ )
图 1 给出了波数空间的坐标系。
(4.37) (4.38) (4.39)
6
式(4.36)给出的频散关系可缩减为
ω 2 = N cos(φ )
现在，我们写出量 p′, ρ ′, u 和 v 的表达式。由式(2.20)，我们可写为
其表示在某点由背景密度分布的垂直对流产生的密度扰动。不可压缩流体的连续方程(2.7) 保持不变，但是动量方程(2.9)~(2.11)假定为
ρ
ρ
ρ
∂u ∂p′ =− ∂t ∂x
∂v ∂p′ =− ∂t ∂y
(2.17)
(2.18)
∂w ∂p′ − gρ ′ =− ∂y ∂t
(2.19)
我们欲将方程组(2.7)，(2.16)和(2.17)~(2.19)缩减为单一偏微分方程。实现如下。我们首先对 连续方程求时间导数得
3 浮力频率(Brunt-Vaisala 频率)
考虑一静止的分层流体，其静态密度分布为 ρ ( z ) ，随高度 z 的增加而下降。如果流体 块从水平 z 上移到 z + ζ ，周围充满着密度为 ρ ( z + ζ ) 的更轻流体。单位体积的向上浮力为
g[ ρ ( z + ζ ) − ρ ] ≈ g
ρ = ρ (θ , q )
(2.5)
假设产生的运动是等熵的并没有相位的变化，因而对于材料单元来说， θ 和 q 是常数，
2
因此
Dρ ∂ρ Dθ ∂ρ Dq = + =0 Dt ∂θ Dt ∂q Dt
(2.6)
换句话说，对于材料单元来说， ρ 只依赖于 θ 和 q ，因此 ρ 是常数。也就是说这样的流体 是不可压缩的，并根据式(2.6)，连续方程(2.1)变为
dρ 倍。 dz
图 2 在内重力波中速度，压力和浮力扰动的瞬态分布。这是 x, z 平面视图。沿着斜线，阴 影区和实线，波的相位为常数。沿着实线，速度和压力扰动有极值。沿着实线，浮力扰动为 0。浮力扰动有极值。沿着阴影区，速度和压力扰动为 0。小箭头表示扰动速度，其总是平 行于常相位线。大粗箭头表示相位传播和群速度的方向。