第四章 傅里叶变换
引言
§4.1 信号分解为正交函数
§4.2 周期信号的频谱分析 §4.3 典型周期信号的频谱
§4.4 非周期信号的频谱分析
§4.5 典型非周期信号的频谱
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频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的， 这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交 分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。
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傅里叶生平
1768年生于法国
1807年提出“任何周 期信号都可用正弦函数 级数表示”
1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件
拉格朗日反对发表
1822年首次发表在 “热的分析理论”一书 中
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傅里叶 ( Jean Baptise Joseph Fourier 1768～1830 )
法国数学家。1768年3月21日生于奥塞 尔，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴 黎综合工科学校任讲师。 1798年随拿破仑远 征埃及，当过埃及学院的秘书。1801年回法 国，又任伊泽尔地区的行政长官。1817年傅 里叶被选为科学院院士，并于1822年成为科 学院的终身秘书。1827年又当选为法兰西学 院院士。
宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经 J.-
L.拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于 文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的 观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文 从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并 发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种 方式出现在"热的分析理论"这本书中。这本书出版于1822年,也即 比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书
“非周期信号都可用正弦信号的 加权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
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变换域分析：
频域分析：－－傅里叶变换
自变量为 Байду номын сангаас
复频域分析：－－拉氏变换
自变量为 S = +j
Z域分析：－－Z 变换 自变量为z
z e sT e( j)T
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§4.1 信号分解为正交函数
扩及纯粹数学的其他领域。
傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具， 并且认
为“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。” 这一见解已
成为数学史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点
。
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傅立叶的两个最主要的贡献——
“周期信号都可表示为谐波关系的 正弦信号的加权和” ——傅里叶的第一个主要论点
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主要内容
•本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅 里叶变换，建立信号频谱的概念。 •通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌 握傅里叶分析方法的应用。 •对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里 叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅 里叶变换的一种特殊表达形式。 •本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。
在十八世纪中期,是否有用信号都能用复指数的线性组合来表 示这个问题曾是激烈争论的主题。1753年,D.伯努利曾声称一根弦 的实际运动都可以用正弦振荡模的线性组合来表示,但他没有继续 从数202学0/8/上9 深入探求下去;后来欧拉本人也抛弃了三角级数的想6 法。
在1759年拉格朗日(grange)表示不可能用三角级数来表 示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在 这种多少有些敌对和怀疑的处境下,傅里叶约于半个世纪后提出了 他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研 究，1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中
）都可以展开成三角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函
数的这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完整
的证明。
傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本
的求解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的
发展，特别是数学物理等应用数学的发展； 其次，傅里叶级数
拓广了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还
已成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学 思想和数学成就。
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书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用
三角级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅里叶
级数和傅里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断
言：“任意”函数（实际上要满足 一定的条件,例如分段单调
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频 率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导 出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。
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发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了 “热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了 傅里叶级数的理论基础。 •泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 •19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 •进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为 正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优 点。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
V1V2 cos
V2
V1.V2 V2
c12
V1.V2 V22
c12 表示 V1 和 V2 互相接近的程度
当V1 、 V2完全重合，则 0, c12 1
正交矢量 正交函数 正交函数集 用完备正交集表示信号
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一、正交矢量
矢量：V1 和 V2 参加如下运算， Ve 是它们的差， 如下式：
V1 c12V2 Ve
V1 Ve
V2
c12 V2
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V1 Ve
V2
c12 V2
V1 Ve
V2
c12 V2
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c12V2
V1 cos