直线与圆锥曲线位置关系一、基础知识：（一）直线与椭圆位置关系1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，下面以直线y kx m =+和椭圆：()222210x y a b a b+=>>为例（1）联立直线与椭圆方程：222222y kx mb x a y a b=+⎧⎨+=⎩ （2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：()222222b x akx m a b ++=，整理可得：()22222222220a kb x a kxm a m a b +++-=（3）通过计算判别式∆的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与椭圆相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与椭圆相切 ③ 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与椭圆相离3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交 （二）直线与双曲线位置关系1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定以直线y kx m =+和椭圆：()222210x y a b a b-=>>为例：（1）联立直线与双曲线方程：222222y kx m b x a y a b=+⎧⎨-=⎩，消元代入后可得：()()22222222220ba k x a kxm a m ab ---+=（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2220a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为222b a k -，有可能为零。

所以要分情况进行讨论当2220bb a k k a-=⇒=±且0m ≠时，方程变为一次方程，有一个根。

此时直线与双曲线相交，只有一个公共点 当2220b bb a k k a a ->⇒-<<时，常数项为()22220a m a b -+<，所以0∆>恒成立，此时直线与双曲线相交 当2220b b a k k a -<⇒>或bk a<-时，直线与双曲线的公共点个数需要用∆判断： ① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与双曲线相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与双曲线相切 ③ 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与双曲线相离注：对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置。

尤其是直线与双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；如果是通过二次方程解出相同的根，则为相切（3）直线与双曲线交点的位置判定：因为双曲线上的点横坐标的范围为(][),,a a -∞-+∞U ，所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：当x a ≥时，点位于双曲线的右支；当x a ≤时，点位于双曲线的左支。

对于方程：()()22222222220ba k x a kxm a m ab ---+=，设两个根为12,x x① 当2220b bb a k k a a->⇒-<<时，则2222122220a m a b x x b a k +=-<-，所以12,x x 异号，即交点分别位于双曲线的左，右支② 当2220b b a k k a -<⇒>或bk a<-，且0∆>时，2222122220a m a b x x b a k +=->-，所以12,x x 同号，即交点位于同一支上（4）直线与双曲线位置关系的几何解释：通过（2）可发现直线与双曲线的位置关系与直线的斜率相关，其分界点ba±刚好与双曲线的渐近线斜率相同。

所以可通过数形结合得到位置关系的判定 ① bk a=±且0m ≠时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平移过程中与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一个交点② b bk a a-<<时，直线的斜率介于两条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如何平移直线，直线均与双曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，右支上。

③ 2220b b a k k a -<⇒>或bk a<-时，此时直线比渐近线“更陡”，通过平移观察可得：直线不一定与双曲线有公共点（与∆的符号对应），可能相离，相切，相交，如果相交则交点位于双曲线同一支上。

（三）直线与抛物线位置关系：相交，相切，相离1、位置关系的判定：以直线y kx m =+和抛物线：()220y px p =>为例联立方程：()2222y kx m kx m px y px=+⎧⇒+=⎨=⎩，整理后可得：()222220k x km p x m +-+=（1）当0k =时，此时方程为关于x 的一次方程，所以有一个实根。

此时直线为水平线，与抛物线相交（2）当0k ≠时，则方程为关于x 的二次方程，可通过判别式进行判定 ① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与抛物线相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与抛物线相切 ③ 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与抛物线相离 2、焦点弦问题：设抛物线方程：22y px =， 过焦点的直线:2p l y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（斜率存在且0k ≠），对应倾斜角为θ，与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y联立方程：2222222y px p k x px p y k x ⎧=⎪⎛⎫⇒-=⎨⎛⎫ ⎪=-⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎩，整理可得： ()22222204k p k x k p p x -++=（1）2124p x x ⋅= 212y y p =-（2）2212222222121k p p k p p AB x x p p p k k k ++⎛⎫=++=+==+ ⎪⎝⎭22221cos 22121tan sin sin p p p θθθθ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （3）()221112sin sin 2222sin 2sin AOBO l p p p S d AB OF AB θθθθ-=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=V （四）圆锥曲线问题的解决思路与常用公式： 1、直线与圆锥曲线问题的特点：（1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角，早晚利用条件消掉），（2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设()()1122,,,A x y B x y ，至于,A B 坐标是否需要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂（3）通过联立方程消元，可得到关于x （或y ）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而不需求出1212,,,x x y y （所谓“设而不求”）（4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。

则可简化运算的过程这几点归纳起来就是“以一个（或两个）核心变量为中心，以交点()()1122,,,A x y B x y 为两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式（12121212,,,x x x x y y y y ++，坚持数形结合，坚持整体代入。

直至解决解析几何问题“2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系。

进而在思路上就想利用韦达定理，绕开繁杂的求根结果，通过整体代入的方式得到答案。

所以说，解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代入的思想，并不是每一道解析题必备的良方。

如果二次方程的根易于表示（优先求点，以应对更复杂的运算），或者所求的问题与两根和，乘积无关，则韦达定理毫无用武之地。

3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式：（1）斜截式：y kx m =+，此直线不能表示竖直线。

联立方程如果消去y 则此形式比较好用，且斜率在直线方程中能够体现，在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是否符合条件（2）x my b =+，此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。

经常在联立方程后消去x 时使用，多用于抛物线22y px =（消元后的二次方程形式简单）。

此直线不能直接体现斜率，当0m ≠时，斜率1k m=4、弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线:l y kx m =+，l 上两点()()1122,,,A x y B x y ，所以12AB x =-或12AB y y =-（1）证明：因为()()1122,,,A x y B x y 在直线l 上，所以1122y kx my kx m=+⎧⎨=+⎩AB ∴=1122y kx m y kx m =+⎧⎨=+⎩可得：AB ==12x ==-同理可证得12AB y y =-（2）弦长公式的适用范围为直线上的任意两点，但如果,A B 为直线与曲线的交点（即AB 为曲线上的弦），则12x x -（或12y y -）可进行变形：12x x -==5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。

不妨以椭圆方程()222210x y a b a b+=>>为例，设直线y kx m =+与椭圆交于()()1122,,,A x y B x y 两点，则该两点满足椭圆方程，有：22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩考虑两个方程左右分别作差，并利用平方差公式进行分解，则可得到两个量之间的联系：()()2222121222110x x y y a b -+-= ① ()()()()1212121222110x x x x y y y y a b⇒-++-+= ()()()()121212122211022x x y y x x y y a b ++⇒-+-= ② 由等式可知：其中直线AB 的斜率1212y y k x x -=-，AB 中点的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，这些要素均在②式中有所体现。

所以通过“点差法”可得到关于直线AB 的斜率与AB 中点的联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时。

同时由①可得在涉及,A B 坐标的平方差问题中也可使用点差法。

二、典型例题例1：不论k 为何值，直线1y kx =+与椭圆2217x y m+=有公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A. ()0,1B. [)1,+∞C. [)()1,77,+∞UD. ()0,7 思路一：可通过联立方程，消去变量（如消去y ），得到关于x 的二次方程，因为直线与椭圆有公共点，所以0∆≥在x R ∈恒成立，从而将问题转化为恒成立问题，解出m 即可 解：()2222171777y kx mx kx m mx y m=+⎧⇒++=⎨+=⎩，整理可得：()22714770m k xkx m +++-=()()()221447770k m k m ∴∆=-+-≥即2217071m k m k -++≥⇒≥-+()2max711m k ∴≥-+=7m ≠Q [)()1,77,m ∴∈+∞U思路二：从所给含参直线1y kx =+入手可知直线过定点()0,1，所以若过定点的直线均与椭圆有公共点，则该点位于椭圆的内部或椭圆上，所以代入()0,1后2217x y m+≤，即2111m m≤⇒≥，因为是椭圆，所以7m ≠，故m 的取值范围是[)()1,77,+∞U 答案：C小炼有话说：（1）比较两种思路，第一种思路比较传统，通过根的个数来确定直线与椭圆位置关系，进而将问题转化为不等式恒成立问题求解；第二种思路是抓住点与椭圆位置关系的特点，即若点在封闭曲线内，则过该点的直线必与椭圆相交，从而以定点为突破口巧妙解决问题。