一、填空题（共
10题，每题2分，共20分）。
1．多项式可整除任意多项式。
2．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个条件。
3．在n 阶行列式D 中，0的个数多于个是0D =。
4．若A 是n 阶方阵，且秩1A n =-，则秩A *
=。
5．实数域上不可约多项式的类型有种。
6．若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则()p x 是(1)
()k f x -的重因式。
7．写出行列式展开定理及推论公式。
8．当排列12
n i i i 是奇排列时，则12n i i i 可经过数次对换变成12
n 。
9．方程组12312322232
121x x x ax bx cx d a x b x c x d ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩，当满足条件时，有唯一解，唯一解为。
10．若2
4
2
(1)1x ax bx -∣
++，则a =，b =。
二、判断题（共10题，每题1分，共10分）。
1．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。
（） 2．两个多项式互素当且仅当它们无公共根。
（）
3．设12n ααα是n P 中n 个向量，若n P β∀∈，有12,n αααβ线性相关，则12n ααα线性相关。
（）
4.设α是某一方程组的解向量，k 为某一常数，则k α也为该方程组的解向量。
（）5．若一整系数多项式
()f x 有有理根，则()f x 在有理数域上可约。
（）
6秩()A B +＝秩
A ，当且仅当秩0
B =。
（）
7．向量α线性相关⇔它是任一向量组的线性组合。
（） 8．若
(),()f x g x P x ∈，且((),()f x g x =，则(()(),
()f x g x f x g x +=。
（）
9．(),()[]f x g x Z x ∈，且()g x 为本原多项式，若()()()f x g x h x =则()[]h x Z x ∈。
（）
10．若,,,n n
A B C D P
⨯∈，则
A B AD BC C D
=-。
（）
三、选择题（共5题，每题2分，共10分）。
1．A 为方阵，则3A =（）
A.3
A B.A C.3n A D.3n A
2.若既约分数
r
s
是整系数多项式()f x 的根，则下面结论那个正确（） A.(1),(1)s r
f s r f +∣-∣- B.(1),(1)s r f s r f +∣+∣- C.(1),(1)s r
f s r f +∣--∣ D.(1),(1)s r f s r f +∣-+∣- 3.n 阶行列式D ，当n 取怎样的数时，次对角线上各元素乘积的项带正号（） A.4k 或42k + B.4k 或41k + C.4k 或43k + D.41k +或42k +
4．含n 有个未知量1n +个方程的线性方程组1111221111221,111,22
1,1
n n n n nn n n
n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++++++=⎛
+++= +++=⎝有解的（）条件是行列
式
11
1211121,11,2
1,1
0n n n nn n n n n n
n a a a b a a a b a a a b ++++=。
A.充要
B.必要
C.充分必要
D.不充分不必要 5．1
110()[]n
n n n f x a x a x a x a Z x --=++
++∈，若既约分数
p
q
是()f x 的有理根，则下列结论正确的是（）
A.0,n p a q a ∣∣
B.,n n p a q a ∣∣
C.0,n p a q a ∣∣
D.00,p a q a ∣∣ 四、计算题（共4题，每题7分，共28分）。
1．设432()343f x x x x x =+---，32()31023g x x x x =++-
求((),())f x g x ，并求(),()u x v x 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+。
2．计算下列n 阶行列式
3．求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并写出它的通解。
4．设012114210A ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，判断A 是否可逆，若可逆，求1
A -
五、证明题（共4题，每题8分，共32分）。
1．设,A B 为n n ⨯矩阵，如果0AB =，那么秩()A ＋秩()B n ≤。
2．如果a 是()f x '''的一个k 重根，证明a 是
()[()()]()()2
x a
g x f x f a f x f a -''=
+-+的一个3k +重根。
3．证明：cos 1000012cos 10000
12cos 000
cos 0002cos 1000012cos 10
00
1
2cos n
D n ααααααα
=
= 4．设向量组12,,
,(1)s ααα
的秩分别为123,,r r r ，证明12312max{,}r r r r r ≤≤+。
答案
一．1．零次2.充分3.2n n - 4.15.26.单
7．11220i j i j in jn D i j
a A a A a A i j
=⎧++
+=⎨
≠⎩8.奇 9.,,a b c 互不相同10.1,2a b = =- 二．1－5√⨯⨯⨯⨯6－10⨯√√√⨯ 三．C C B B C
四．1．((),())3f x g x x =+；23
12()1,()555
u x x v x x x =- =-+
2．1112121()()203n a b n D a a b b n n - =⎧⎪
=-- = ⎨⎪ ≥⎩
3．一般解为134********
x x x x x x ⎧=--⎪⎪ ⎨
⎪=-⎪⎩，34,x x 为自由未知量。
基础解系为1327210η⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，21201η-⎛⎫ ⎪- ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭。
4．A 可逆，且12114
2131122A -⎛⎫
⎪
-
⎪
=- ⎪ ⎪-- ⎪
⎝⎭
五．1．证：令12(,,,)n B B B B =，
0,1,2,,i AB i n ∴= =i B ∴是0AX =的解。
∴秩12(,,
,)n B B B ＝秩B n ≤-秩A 。
∴秩A ＋秩B n ≤。
2．证：()()()0g a g a g a '''===且a 是()g x ''的1k +重根，a ∴是()g x 的3k +重根。
3．提示：n D 按最后一行展开，得证。
4．提示：取极大无关组，得证。