排列组合公式及恒等式推导、证明（word版）说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件，不管是word还是pps附带公式编辑经常是出错用不了。
下载此word版的，记得下载MathType公式编辑器哦，否则乱码一堆。
如果想偷懒可下截同名的截图版。
另外，还有PPt课件（包含了排列组合的精典解题方法和精典试题）供学友们下载。
一、排列数公式：
推导：把n个不同的元素任选m个排次序或n个全排序，按计数原理分步进行：
第一步，排第一位：有 n 种选法；
第二步，排第二位：有（n-1）种选法；
第三步，排第三位：有（n-2）种选法；
┋
第m步，排第m位：有（n-m+1）种选法；
┋
最后一步，排最后一位：有 1 种选法。
根据分步乘法原理，得出上述公式。
二、组合数公式：
推导：把n个不同的元素任选m个不排序，按计数原理分步进行：第一步，取第一个：有 n 种取法；
第二步，取第二个：有（n-1）种取法；
第三步，取第三个：有（n-2）种取法；
┋
第m步，取第m个：有（n-m+1）种取法；
┋
最后一步，取最后一个：有 1 种取法。
上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m 个，就有m!种排排法，选n 个就有n!种排法。
故取m 个的取法应当除以m!,取n 个的取法应当除以n!。
遂得出上述公式。
证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。
将部分排列问题m n A 分解为两个步骤：
第一步，就是从n 个球中抽m 个出来，先不排序，此即定义的组合数问题m n C ；
第二步，则是把这m 个被抽出来的球全部排序，即全排列m
m A 。
根据乘法原理，m m m n n m A C A = 即：
组合公式也适用于全组合的情况，即求?C(n,?n)的问题。
根据上述公式，
C(n,?n)?=?n!/n!(n-n)!?=?n!?/?n!0!?=?1。
这一结果是完全合理的，因为从n 个球中抽取所有n 个出来，当然只有1种方法。
?
三、重复组合数公式：
重复组合定义:从n 个不同的元素中每次取一个，放回后再取下一个，如此连续m 次所得的组合。
重复组合数公式：1m m n n m R C +-= （m 可小于、大于、等于n,n ≥1） 推导：可以把该过程看作是一个“放球模型”：
n 个不同的元素看作是n 个格子，其间一共有（n-1）块相同的隔板，用m 个相同的小球代表取m 次；则原问题可以简化为将m
个不加区别的小球放进n个格子里面，问有多少种放法；这相当
于m个相同的小球和（n-1）块相同的隔板先进行全排列：一共有（m+n-1）！种排法，再由于m个小球和（n-1）块隔板是分别不加以区分的，所以除以重复的情况：m！*（n-1）！
左边=右边
1m m
n n n A A n m
-=- 证明：右边=(1)!(1)!
()!m
n
n n n A n m n m n m -?
=----
左边=右边
证明：右边
=(1)!!()!()!
m n
n n n
A n m n m -==--
左边=右边
11n n n
n n n nA A A ++=-
证明：右边
=11(1)!!(1)!!!n n n
n n n A A n n n n n n n nA ++-=+-=+-==g g
右边=左边
证明：右边
=1
!!(1)!!(1)!
()!
(1)!(1)!(1)!m n n n n m n m n n m
A n m n m n m n m +-+-++===--+-+-+g
1!22!33!!(1)!1n n n +??+?+-L
证明：左边=(2-1)1！+（3-1）2！+（4-1）3!+…（n+1-1）n!
=2!-1!+3!-2!+4!-3!…(n+1)!-n! =(n+1)!-1！ =右边 六、组合恒等式的证明
首先明弄清组合的两个性质公式：
②
③
④
⑤
⑥
1
1m m m n n n C C C -+=+ 要么含有新
根据分类计数原理:要么含有新加元素要么不含新加元素
证明：
111(1)!!
()(1)!(1)!!()!
11!!
(1)!(1)!!()!m m
n n m m
n n m m n n C C n m n m m n m m n m n m n m n n C C m m m n m m n m +-++===--+----+-+===--+-g
!
!()!
m
n n C m n m =
=-
证明：
右边= (1)!!(1)!()!!()!m
n
n n n C m m n m m n m -==---g
=左边
证明：根据组合性质，左边各式可写成： 左右两边相加即得： 证明：
用数学归纳法证明。
1）当n=1时，0111122C C +==所以等式成立。
2）假设n=k 时，（k≥1，k∈N*）时等式成立。
⑤
11
2
1
r
r r r r r r r n
n C C C
C
C
++++++++=L ⑥ 0
12
n n
n
n
n
C C
C
+++=L
即：0122k
k k k k k C C C C ++++=L
当n=k+1时，
0121
11111
001121111
0120121
()()()()()222k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C ++++++-+++++++++=++++++++=+++++++++==L L L L g
∴等式也成立
由1)、2)得，等式对n∈N*都成立。
也可用二项式定理证明（略）
证明：用归纳法同上（略）
也可利用上述结论证明（略） 本课件尽量避开用二项式定理，但这比较简单，暂且用一下： 设
135
24n n n n
n
n
a C C C
b C C C =+++=+++L
L
由（1+1）n 可得：a+b=2n =2×2n-1 由（1-1）n 可得a-b=0 ∴a=b=2n-1 (不懂的去学学二项式定理)
证明：
由11m m m n n C nC --=可得:（还记得这个恒等式吗，不记得就回过头去看③的证明） 左边
注：同时利用了⑥的结论。
⑦ 1350241
2
n n n n n n n
C C C C C C -++=++=L L ⑧ 1231
232
n n n n n n C C C nC n -++++=L g ⑨ 0110r r r r m n m n m n n m
C C C C C C C
-+++++=L
用二项式定理证明太麻烦了。
能偷懒就不要太勤快了。
观察左边的每一项，发现均是分别从m 个不同素和n 个不同元素中取r 个元素的一个组合，其各项之和就是所有取法，即所有组合数。
其所有组合数当然等于右边。
还是用偷懒法：
根据第⑨的结论并结合组合的互补性质，若r=m=n 即得些结论。
r ≤min{m,n} ⑩ 021222()()()n n
n n n n C C C C +++=L。