2 xy
(
f
)
来表示，其定义为，
2 xy
(
f
)
| Sxy( f ) |2 Sx( f )Sy ( f
)
0
2 xy
(
f
)
1
当相干函数为 1 时，表示输出信号与输入信号完全相干，相干函数为 0 时，表示
输出信号与输入信号完全不相干。
特别，对于线性系统：
2 xy
(
f
)
| Sxy( f ) |2 Sx( f )Sy ( f
2.1 随机信号的时域及幅值域分析
随机信号是从一个做随机运动的随机信源产生的。每一个记录是随机信号 的一个实现，称为它的一个样本函数。所有时间连续的样本函数的总集组成连续 随机信号{x(t)} {x(i) (t), i 1,2,3,}。对连续随机信号做等时距采样可得到离散随 机信号 x(n) {, x(1) (n), x(2) (n), x(3) (n),}。
2
图 2-1 连续随机信号和离散随机信号
求出一些时域量或频域量的统计平均值，由此把握离散随机信号所遵循的统 计规律。
平稳随机信号：概率统计平均值是与时间无关的。 遍历性信号： 平稳随机信号中全部样本序列在某一个时刻上的集合平均与 某一个样本序列在整个时间轴上平均结果是一致的。
2.1.1 随机信号的幅域分析
IFFT 得到脉冲响应函数 ，将 与输入信号 作卷积计算，即求得输出函
数 。实测与计算相结合，谱分析技术为结构动力学分析开辟了一条新的途径，
为结构动力优化设计提供了有利条件。它在航天、航空、汽车和机床等领域已广 泛应用，大大缩短了设计周期和提高了产品的可靠性。
(5)相干分析（即凝聚分析） 相干函数用来评价测试系统的输入信号与输出信号之间的因果性，即输出信 号的功率谱中有多少是所测试输入量所引起的响应，这个指标通常用相干函数
根据是否满足平稳随机过程的条件，又可以分为平稳随机信号和非平稳随机 信号。平稳随机信号又可分为各态历经和非各态历经两类。若随机过程的统计特 征参数不随时间变化，则称之为平稳随机信号。如果平稳随机过程的任一个样本 函数的时间统计特征均相同，且等于总体统计特征，则该信号称为各态历经过程。
2.随机信号的分析与处理
x
Px(x,t)= p(x)dt
对于在时间和幅度上均已量化的离散随机信号,概率分布函数为
x
Px( x, t) p( x)
（2） 联合概率密度函数
对随机序列中的任意 N 个随机变量，N 维联合概率分布函数为
Px1, (x , x2,..xn 1 n1; x2, n2;...xN, nN) 概率[Xn1 x1, Xn2 x2,..., XnN xN ]
于是 p(x1, x2, m) p(x1) p(x2) 这种随机信号常称为纯随机信号。
2.1.2 随机信号的时域分析
平稳随机信号的统计平均特征量有：均值、均方差、方差等。 （1） 均值 ｛ Xn}的均值定义为其随机变量 Xn 的数学期望：
mx E[Xn] x p(x)dx
均值是随机变量的一阶矩，可理解为信号的自流分量。
)
| H ( f )Sx ( f ) |2 Sx( f )Sy ( f )
Sy ( f )Sx( f ) Sx( f )Sy ( f )
1
上式表明：对于线性系统，输出完全是由输入引起的。
第二部分：振动系统动态特性的描述
描述系统的动态特性有两种方法，一种是在频域内用“频率响应函数”描述； 另一种是在时域内用“脉冲响应函数”描述。它们之间存在着互为傅里叶变换的 关系。
自功率谱密度函数为该随机信号自相关函数的傅里叶变换，记为 Sx ( f ) ，即
Sx ( f )
Rx
(
)e
j 2f
d
(2)互功率谱密度函数
7
两随机信号的互功率谱密度函数为：
Sxy ( f )
Rxy
(
)e
j
2f
d
(3)功率谱密度的物理意义
对于式 Rx ( )
Sx (
f
)e j 2ft df
x0
Re{H ()}
函数的相位角。
(2)脉冲响应函数
若系统在初始时受到单位脉冲 (t) 的激励，则产生的响应 h(t)称为脉冲响
应函数。 工程上的脉冲函数定义为:
(t
)Leabharlann 0 (t 0), (t 0),
且有
(t)dt 1
由于脉冲函数的傅里叶变换为 1，所以有性质
F[h(t)] H ()
即，通过求系统脉冲响应函数的傅里叶变换即可得到系统的频率响应函数。 进而可得
轴的分布，故又称 Sx ( f ) 为功率谱密度函数。用同样的方法，可以解释互谱密
度函数 Sxy( f ) 。
(4)谱分析技术在系统分析和响应计算中的应用
用系统输入与输出的互谱
和输入自谱 之比可得到系统的频率特
8
性。输入 经 FFT 分析可得到输入谱，用系统频率特性与输入谱相乘就得到输
出响应谱，再经 IFFT 还可求得系统的时间响应。同样，系统的频率特性 经
以振动量的幅值为横坐标来描述振动的特征。其主要信息有：概率分布函数、 概率密度函数。
（1）概率密度函数 对于只经时间离散化而未作幅度量化的离散随机序列，其中随机变量 Xn 的 概率分布函数为：
Px(x,t)=概率[X（t）≤x] 其概率密度函数定义为 ：
p(x)=d[Px(x,t)]/dx
3
显然 ,
，当τ=0 时，有
Rx (0) Sx ( f )df
根据相关函数的定义，当τ=0 时，有
Rx
( 0)
lim
T
1 T
T
x(t)x(t 0)dt
lim
1
0
T T
T x2 (t)dt lim
T x2 (t) dt
0
T T 0
比较以上两式可得
Sx ( f )df
lim T
T 0
(1)频率响应函数 系统在单位幅值正弦激励 x(t)作用下，响应 y(t)的幅值称为系统的频率响 应函数，用 H（ω）表示。在一般情况下，H（ω）为一个复数，即
H () | H () | ei ()
9
其中| H () | y0 称为频率响应函数的模； () tg 1 Im{ H ()} 称为频率响应
（2）均方值
｛Xn}的均方值定义为其随机变量 Xn 模的平方的数学期望：
x E[ Xn ]2
2
p(x)dx
5
均方值是随机变量的二阶矩，可理解为信号的平均功率,表达了信号的强度。
(3)方差
｛Xn｝的方差定义为
Var ( Xn)
x2
E[
Xn
mx 2]
x mx 2
p(x)dx
方差是随机变量的二阶中心矩，可理解为信号中交流分量（体现随机性的实 质部分）的平均功率。容易证明上述三个一维统计平均特征量之间存在如下关系。 方差反映了信号绕均值的波动程度。
其 N 维联合概率密度函数定义为
pxn1,
xn2,...,xnN(x1, n1;
x2, n2;...;xN, nN)
NP ,xn1 xn2,...xnN( x1,n1;x2.n2;...;xN,nN) x1x 2. . .xN
若知道了随机序列各个时间点上随机变量的概率密度函数和它们之间的联 合概率密度函数，则在统计意义上对该随机序列已获得充分了解和明白描述。
（3） 严格平稳随机信号
若随机序列的概率密度函数与时间无关，联合概率密度函数与时间的起点无 关而只与时间差有关，则称为严格平稳随机信号。
对于严格平稳随机信号用二维联合概率密度函数便可充分描述。其概率密度 函数可简化为 pxn(x,n)=p(x)。
其二维联合概率密度函数可简化为 Pxn1xn2(x1, n1; x2, n2) p(x1, x2, m) 。其中
由于测试系统内部和外部各种因素的影响，必然在输出信号中混有噪声，所 以必须对所得的信号进行必要地分析和处理，才能准确地提取它所包含的有用信 息。信号分析和处理的目的是：（1）、剔除信号中的噪声和干扰，即提高信噪比； （2）、消除测量系统误差，修正畸变的波形；（3）、强化、突出有用信息，消弱 信号中的无用部分；（4）、将信号加工、处理、变换，以便更容易识别和分析信 号的特征，解释被测对象所变现的各种物理现象。
m=n2-n1 ，是 xn1 和 xn2 的时间或空间的位置差，通常简称为时差。 对于平稳随机信号，由二维联合概率密度函数可求得概率密度函数：
4
p(x1) p(x1, x2, m)dx2 -
另外，由贝叶斯公式有 ：
p(x1, x2,m) p(x1) p(x2 x1,m)
其中 p(x2 x1, m) 为条件概率密度函数，它说明了 Xn1 和 Xn2 之间的相关性。 当 Xn1 与 Xn2 统计独立时，有 p(x2 x1, m) p(x2)
(1)响应的均值
10
my H (0)mx
其中，H(0)为频响函数 H () 在 =0 时的值， mx 为输入的平均值。
(2)响应的均方值
y2 E[ y2 ] yy(0)
或 (3)响应的自相关函数
y2
|
H
()
|2S
xx()d
yy ( ) h(1)h(2 )xx( 2 1)d1d2
自相关函数 Rx ( ) 的定义式为：
Rx
(
)
lim
T
1 T
T 0
x(t)x(t
)dt
6
(2)互相关函数
对于各态历经随机过程，两个随机信号 x(t)和 y(t)的互相关函数 Rxy( ) 定 义为：
Rxy
(