中考复习专题1——立体几何中的最短路径问题姓名：
（蚂蚁沿阶梯、正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题）
1、台阶问题如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B
是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，
这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
2、圆柱问题有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B
处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
变式1：有一圆柱形油罐，已知油罐底面圆周长是12m，高AB是5m，要从点A
处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？
变式2：桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。
问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。
3、正方体问题如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B
的最短距离是（）.
（A）3 （B）5（C）2 （D）1
A
B
A
B
A
’
A
B
A
B
c
A
B
A
B
C
A
B
5
3
1
A
B
5
(3+1)×3=12
A
B
C
A
B
C2
1
A B D C D
1C 1
①42
1
AC 1=√42+32=√25;②A B B 1
C A 1C 1412AC 1=√62+12=√37;A 1A B 1
D 1
D 1C 1③42AC 1=√52+22=√29 . 4、长方体问题 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处 （三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
分析：展开图如图所示，372925<<
路线①即为所求。
小结：长、宽、高中，较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边， 斜边长即为最短路线长。
5、圆锥问题 如图，已知O 为圆锥的顶点，MN 为圆锥底面的直径，一只蜗牛从M 点出发，绕圆锥侧面 爬行到N 点时，所爬过的最短路线的痕迹（虚线）在侧面展开图中的位置是（ ）．
练习：
1、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计）， 圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。
2、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱 体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。
3、如图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处， 则它爬行的最短路径是 。
4、如图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块 侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是
5、如图，地面上有一个长方体，一只蜘蛛在这个长方体的顶点
A 处，一滴水珠在这个长方形的顶点C ′处，已知长方体的长
为6m ，宽为5m ，高为3m ，蜘蛛要沿着长方体的表面从A 处爬
到C ′处，则蜘蛛爬行的最短距离为（ ）
A.130
B.8
C.10
D.10米 1A B A 1B 1D
C
D 1
C 124 第1题 A B A B 第2题 第5题
A B C D 第4题 A B 第3题 A C B D
6、如图，有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小
蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（ ）
A 、3米
B 、4 米
C 、5 米
D 、6米
7、如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体
的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）
A 、3
B 、2+2
C 、10
D 、4
8、如图是一个棱长为60cm 的立方体ABCD-EFGH ，一只小虫在棱EF 上且距F 点10cm 的P 处， 它要爬到C 点，则需要爬行的最短距离是（ ）
A 、130
B 、1085
C 、1097
D 、不确定
9、如图，立方体木块ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为3；在棱C 1D 1上有一点E ，EC 1=1．现有一小虫从 E 点出发，爬到A 点，则它所经过的最短路线长为（ ） A. 3+13 B. 20 C. 34 D 、22 10、如图，底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从A 点爬到B 点，则蚂蚁爬行 的最短距离是（ ）
A 、10
B 、8
C 、
5 D 、4
11、如图是一个长8m ，宽6m ，高5m 的仓库，在其内壁的A 处有一只壁虎，B 处有一只蚊子， 则壁虎爬到蚊子处的最短距离为 m ．
12、如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 在棱CD 上，CB=5cm ．一只壁虎 要沿长方休的表面从A 点爬到B 点，需要爬行的最短路径是 cm 。
13、如图，是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF 长为10cm ．母线OE （OF ） 长为10cm ．在母线OF 上的点A 处有一块爆米花残渣，且FA=2cm ，一只蚂蚁从杯口的点E 处沿圆锥表面爬行到A 点．则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm ．
14、如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为6cm 的
等边三角形，点D 是母线AC 的中点，一只蚂蚁从点B 出发沿圆锥的表面
爬行到点D 处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是
15、如图，有一圆柱体高为10 cm ，底面圆的半径为4 cm ，AA 1、BB 1为相对
的两条母线，在AA 1上有一个蜘蛛Q ，QA=3 cm ；在BB 1上有一只苍蝇P ，
PB 1=2 cm ，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，则最短路径长 第6题 第7题 第9题 第8题 第10题 第11题 第12题 第13题 D A B C 第14题 第15题
是 cm （结果用带π和根号的式子表示）
中考真题链接：
1、如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）
A ．A ⇒P ⇒
B B ．A ⇒Q ⇒B
C ．A ⇒R ⇒B
D ．A ⇒S ⇒B 2、（2006•茂名）如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面 爬到点B 的最短路程是 cm
3、正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为
4、如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由 A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。
5、如图，一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂 蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 秒钟．
6、（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果 要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。
7
、如图，长方体的长、宽、高分别为6cm ，8cm ，
4cm ．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点B ．
则蚂蚁爬行的最短路径的长是。
8、如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高
AA 1的端点A 到达A
1，若圆柱底面半径为 6，高为5，
则蚂蚁爬行的最短距离为
9、如图，一圆柱体的底面周长为24cm ，高AB 为9cm ，BC 是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发， 沿着圆柱的侧面爬行到点C ，则蚂蚁爬行的最短路程是
10、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm 、3cm 、2cm ．A 和B 是这个台阶上两个 相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短 路程为 cm
11、如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm ，假若点B 有一蚂蚁只能沿圆锥的表面 爬行，它要想吃到母线AC 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是 .
12、（2006•南充）如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回 到A 点，它爬行的最短路线长是 。
13、如图，圆锥底面半径为3dm ，母线为5dm ，AB 为底面直径，C 为底面圆周上一点，∠COB=150°，D 第5题
第4题 第1题 第2题 第6题 第3题 第11题 第7题 第8题 第9题
第12题
第13题 第10题
为VB上一点，VD= ．现有一只蚂蚁沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是。