当前位置:文档之家› 中考专题:最短路径问题

中考专题:最短路径问题

中考压轴专题(三):最短路线问题
考查知识点----“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”。

原型----“饮马问题”,“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”,出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路----找点关于线的对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”
等变式问题考查。

以下主要对09中考“饮马问题”试题进行汇编,希望能对即将中考的同学们有所帮助。

1、(2009年达州)在边长为2㎝的正方形ABCD 中,点Q 为BC 边的中点,点P 为对角线AC 上一动点,连接PB 、PQ ,则△PBQ 周长的最小值为____________㎝(结果不取近似值).
2、(2009年抚顺市)如图所示,正方形A B C D 的面积为12,A B E △是等边三角形,点E 在正方形A B C D 内,在对角线A C 上有一点P ,使PD PE 的和最小,则这个最小值为( )
A
. B
. C .3 D
3、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ⊥BC ,AD =2,BC =DC =5,点P 在BC 上移动,则当PA +PD 取最小值时,△APD 中边AP 上的高为( ) A 、17
17
2
B 、
17
17
4
C 、 17
17
8
D 、3
(动点,作A 关于BC 的对称点A ',连A 'D 交BC 于P ,涉及勾股定理,相似) 4、(2007南通)已知等腰三角形ABC 的两个顶点分别是A(0,1)、B(0,3),第三个顶点C
在x 轴的正半轴上.关于y 轴对称的抛物线y =ax 2
+bx +c 经过A 、D(3,-2)、P 三点,且点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上.
(1)求直线BC 的解析式;
(2)求抛物线y =ax 2+bx +c 的解析式及点P 的坐标;
(3)设M 是y 轴上的一个动点,求PM +CM 的取值范围.
A D E
P
B
C
C
5、(09年新疆乌鲁木齐市)如图,在矩形O A B C 中,已知A 、C 两点的坐标分别为
(40)(02)A C ,、,,D 为O A 的中点.设点P 是A O C ∠平分线上的一个动点(不与点O 重
合).
(1)试证明:无论点P 运动到何处,P C 总造桥与P D 相等;
(2)当点P 运动到与点B 的距离最小时,试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式; (3)设点E 是(2)中所确定抛物线的顶点,当点P 运动到何处时,P D E △的周长最小?求出此时点P 的坐标和P D E △的周长;
(4)设点N 是矩形O A B C 的对称中心,是否存在点P ,使90C P N ∠=°?若存在,请直接写出点P 的坐标.
6、(09湖北荆门)一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A (2,0),B (0,4). (1)求该函数的解析式;
(2)O 为坐标原点,设OA 、AB 的中点分别为C 、D ,P 为OB 上一动点,求PC +PD 的最小值,并求取得最小值时P 点坐标.
7、(2009年济南)已知:抛物线的对称轴为与x 轴交于A B ,两点,与y 轴交于点C ,其中
()30A -,、()02C -,.
(1)求这条抛物线的函数表达式.
(2)已知在对称轴上存在一点P ,使得P B C △的周长最小.请求出点P 的坐标. (3)若点D 是线段O C 上的一个动点(不与点O 、点C 重合).过点D 作D E P C ∥交x 轴于点E .连接P D 、P E .设C D 的长为m ,P D E △的面积为S .求S 与m 之间的函数关系式.试说明S 是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.
8、、(2009年衢州市)
如图,已知点A (-4,8)和点B (2,n )在抛物线2
y ax =上.
(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标,并在x 轴上找一点Q ,使得AQ +QB 最短,求出点Q 的坐
标;
(2) 平移抛物线2y ax =,记平移后点A 的对应点为A ′,点B 的对应点为B ′,点C (-2,0)和点D (-4,0)是x 轴上的两个定点.
① 当抛物线向左平移到某个位置时,A ′C +CB ′ 最
短,求此时抛物线的函数解析式; ② 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A ′B ′CD 的周长最短?若存
在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由. 提示:
第(2)问,是“饮马问题”的变式运用,涉及到抛物线左移。

答案见参考图。

① 方法一,A ′关于x 轴对称点A 〞,要使 A ′C+CB ′最短,点C 应在直线A 〞B ′上;
方法二,由(1)知,此时事实上,点Q 移到点C 位置,求CQ=14/5, 即抛物线左移14/5单位;
② 设抛物线左移b 个单位,则A '(-4-b,8)、B '(2-b,2)。


CD=2,∴B '左移③ 2个单位得到B ″(-b,2)位置,要使A ′D+C B '最短,只要A ′D+DB ″最短。

则只有点D 在直线A ″B ″上。

9、(2009年北京市)如图,在平面直角坐标系xOy 中,△ABC 三个顶点的坐标分别为
()6,0A -,()6,0B ,(0,C ,延长AC 到点D,使CD=
12
A C ,过点D 作DE ∥A
B 交
BC 的延长线于点E. (1)求D 点的坐标;
(2)作C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF ,若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式;
(3)设G 为y 轴上一点,点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出发,先沿y 轴到达G 点,再沿GA 到达A 点,若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍,试确定G 点的位置,使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。

(要求:简述确定G 点位置的方法,但不要求证明)
提示:第(2)问,平分周长时,直线过菱形的中心; 第(3)问,“确定G 点的位置,使P 点按照上述要求
到达A 点所用的时间最短”转化为点G到A的距离加G到(2)中直线的距离和最小是“饮马问题”的变式运用;发现(2)中直线与x轴夹角为60°很关键. 10、(2009恩施市)
恩施州自然风光无限,特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧,50km A B A =,、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ,向A 、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案,图(1)是方案一的示意图(A P 与直线X 垂直,垂足为P ),P 到A 、B 的距离之和1S PA PB =+,图(2)是方案二的示意图(点A 关于直线X 的对称点是A ',连接B A '交直线X 于点P ),P 到A 、B 的距离之和
2S PA PB =+.
(1)求1S 、2S ,并比较它们的大小; (2)请你说明2S PA PB =+的值为最小;
(3)拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直,建立如图(3)所示的直角坐标系,B 到直线Y 的距离为30km ,请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ,使P 、A 、
B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.
提示:涉及勾股定理、点对称、设计方案。

第(3)问是“三折线”转“直”问题 。

再思考-------设计路线要根据需要设计,是P 处分别往A 、B 两处送呢,还是可以先送到A 接着送到B 。

本题是对所给方案进行分析,似乎还容易一些,若要你设计方案,还需考虑一个方案路线,P →A →B 。

11、(09陕西) 如图,在锐角△ABC 中,AB =4
2
,∠BAC =45°,∠BAC
的平分线交BC 于点D ,M 、N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM+MN 的最小值是____.
12、(2009年浙江省绍兴市)定义一种变换:平移抛物线1F 得到抛物线2F ,使2F 经过1F 的顶点A .设2F 的对称轴分别交12F F ,于点D B ,,点C 是点A 关于直线B D 的对称点. (1)如图1,若1F :2y x =,经过变换后,得到2F :2
y x bx =+,点C 的坐标为(20),,则①b 的值等于______________;
②四边形A B C D 为( ) A .平行四边形 B .矩形 C .菱形 D .正方形 (2)如图2,若1F :2
y ax c =+,经过变换后,点B 的坐标为(21)c -,,求ABD △的面积;
(3)如图3,若1F :2
12733
3
y x x =
-
+
,经过变换后,AC =P 是直线A C 上
P
图(1)
图(3)
图(2)
的动点,求点P到点D的距离和到直线A D的距离之和的最小值.。

相关主题