阶段性测试题五(平面向量)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2020～2020·重庆市期末)已知a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，若a 与a －b 共线，则实数x ＝( )A ．－12B.12 C ．1 D ．2[答案] B[解析] a －b ＝(1－x,1)，∵a 与a －b 共线，∴2(1－x )－1＝0，∴x ＝12.(理)(2020～2020·厦门市质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( )A ．－2B ．－13C ．－1D ．－23[答案] C[解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa ＋b 与c 共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.2．(2020～2020·黄冈市期末)若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 [答案] B[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形．3．(2020～2020·北京石景山区期末)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－1B ．－ 3C ．－3D ．1[答案] C[解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3， 3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0， ∴k ＝－3.4．(2020～2020·浙江宁波市期末)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD →|的最小值是( )A.12B.32C. 2D.22[答案] D[解析] ∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1， ∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1， ∴|AB →|·|AC →|＝2，∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝4， ∵D 为BC 边的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12， ∴|AD →|≥22.5．(2020～2020·泉州五中模拟)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( )A.12B.13 C.14 D.15[答案] A [解析] ∵|a －b |＝32，∴|a |2＋|b |2－2a ·b ＝34， ∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°，设|b |＝x ，则1＋x 2－x ＝34，∵x >0，∴x ＝12.6．(2020～2020·开封市二模)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA→＋λCB →，则λ＝( )A ．－13B ．－23C. 13D.23[答案] D[解析] ∵AD →＝2DB →，∴AD →＝23AB →，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.7．(文)(2020·山东淄博一模)在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6 [答案] B[解析] CM →·CB →＝(CA →＋AM →)·CB → ＝(CA →＋13AB →)·CB →＝CA →·CB →＋13AB →·CB →＝13|AB →|·|CB →|·cos45°＝13×32×3×22＝3. (理)若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19[答案] D[解析] 据已知得cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，故AB →·BC →＝|AB →|×|BC →|×(－cos B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19. 8．(2020～2020·吉林延吉市质检)若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x＋3y的最小值为( )A ．12B ．2 3C ．3 2D ．6[答案] D[解析] a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y ≥232x ＋y＝6，等号在x＝12，y ＝1时成立． 9．(2020～2020·安徽东至县一模)若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数x 使得x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，实数x 为( )A ．－1B ．0 C.－1＋52D.1＋52[答案] A[解析] x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，∴x 2OA →＋(x －1)OB →＋OC →＝0，由向量共线的充要条件及A 、B 、C 共线知，1－x －x 2＝1，∴x ＝0或－1，当x ＝0时，BC →＝0，与条件矛盾，∴x ＝－1.10．(2020～2020·天津五县区期末)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( )A ．最大值为8B ．最小值为2C ．是定值6D ．与P 的位置有关[答案] C[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC →＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，设P (x,0)，－1≤x ≤1，则AP →＝(x ，－3)，∴AP →·(AB →＋AC →)＝(x ，－3)·(0，－23)＝6，故选C.11．(2020～2020·辽宁本溪一中、庄河高中联考)如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E 、F 两点，且交其对角线于K ，其中AE →＝13AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.15 B.14 C.13 D.12[答案] A[解析] 如图，取CD 的三等分点M 、N ，BC 的中点Q ，则EF ∥DG ∥BM ∥NQ ，易知AK →＝15AC →，∴λ＝15.12．(2020～2020·大庆铁人中学期末)设O 是坐标原点，A (1,1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2.则OA →·OB →取得最小值时，点B 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个[答案] B[解析] 点B (x ，y )所在的平面区域为图中阴影部分，设OA →与OB →夹角为θ，过B 作BC ⊥OP ，垂足为G ，则OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos θ＝2|OG |，显然当点B 在E 、F 位置时，OA →·OB→取最小值，故这样的点B 有两个．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2020～2020·大庆铁人中学期末)设向量a ＝(4sin α，3)，b ＝(2,3cos α)，且a ∥b ，则锐角α为________．[答案]π4[解析] ∵a ∥b ，∴12sin αcos α－6＝0，∴sin2α＝1，∵α为锐角，∴α＝π4. 14．(文)(2020～2020·安徽东至县一模)已知向量a ＝(3,4)，b ＝(－2,1)，则a 在b 方向上的投影等于________．[答案] －255[解析] a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－25＝－255. (理)(2020～2020·江苏无锡辅仁中学模拟)已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝________.[答案] 5[解析] ∵|a |＝5，a ·b ＝10，∴|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝25＋|b |2＝50，∴|b |＝5.15．(2020～2020·青岛市期末)设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________．[答案] 5[解析] 由条件知，i 2＝1，j 2＝1，i ·j ＝0，∴OA →·OB →＝(－2i ＋j )·(4i ＋3j )＝－8＋3＝－5，又OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos〈OA →，OB →〉＝55cos 〈OA →，OB →〉，∴cos 〈OA →，OB →〉＝－55，∴sin 〈OA →，OB →〉＝255，∴S △OAB ＝12|OA →|·|OB →|·sin〈OA →，OB →〉＝12×5×5×255＝5.16．(2020～2020·吉林省延吉市质检)已知：|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ＋)，则m n＝________.[答案] 3[解析] 设mOA →＝OF →，nOB →＝OE →，则OC →＝OF →＋OE →，∵∠AOC ＝30°，∴|OC →|·cos30°＝|OF →|＝m |OA →|＝m ， |OC →|·sin30°＝|OE →|＝n |OB →|＝3n ，两式相除得：m3n ＝|OC →|cos30°|OC →|sin30°＝1tan30°＝3，∴mn ＝3.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2020～2020·安徽东至县一模)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )．(1)若a ⊥b ，求x 的值． (2)若a ∥b ，求|a －b |. [解析] (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0， 整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 则x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2， 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， ∴|a －b |＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)| ＝－22＋02＝2，当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， ∴|a －b |＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)| ＝22＋－42＝2 5.18．(本小题满分12分)(文)(2020～2020·长安一中、西安中学、交大附中、师大附中、高新一中模拟)三角形的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量m ＝(c －a ，b－a )，n ＝(a ＋b ，c )，若m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)若sin A ＋sin C 的取值范围． [解析] (1)由m ∥n 知c －a a ＋b ＝b －ac， 即得b 2＝a 2＋c 2－ac ，据余弦定理知 cos B ＝12，得B ＝π3.(2)sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋sin(A ＋π3)＝sin A ＋12sin A ＋32cos A ＝32sin A ＋32cos A＝3sin(A ＋π6)， ∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3，∴A ∈(0，2π3)， ∴A ＋π6∈(π6，5π6)，∴sin(A ＋π6)∈(12，1]， ∴sin A ＋sin C 的取值范围为(32，3]． (理)(2020～2020·浙江六校联考)在钝角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m ∥n .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos(π3－2B )的值域．[解析] (1)由m ∥n 得(2b －c )cos A －a cos C ＝0， 由正弦定理得2sin B cos A －sin C cos A －sin A cos C ＝0， ∵sin(A ＋C )＝sin B ， ∴2sin B cos A －sin B ＝0，∵B 、A ∈(0，π)，∴sin B ≠0，∴A ＝π3. (2)y ＝1－cos2B ＋12cos2B ＋32sin2B＝1－12cos2B ＋32sin2B ＝sin(2B －π6)＋1，当角B 为钝角时，角C 为锐角，则⎩⎪⎨⎪⎧π2<B <π0<2π3－B <π2⇒π2<B <2π3， ∴5π6<2B －π6<7π6，∴sin(2B －π6)∈(－12，12)， ∴y ∈(12，32)．当角B 为锐角时，角C 为钝角，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0<B <π2π2<2π3－B <π⇒0<B <π6，∴－π6<2B －π6<π6，∴sin(2B －π6)∈(－12，12)，∴y ∈(12，32)，综上，所求函数的值域为(12，32)．19．(本小题满分12分)(2020～2020·陕西师大附中模拟)已知A ，B ，C 分别为△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·CB →＝18，求边c 的长． [解析] (1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )， △ABC 中，A ＋B ＝π－C,0<C <π， ∴sin(A ＋B )＝sin C ， ∴m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin2C ，∴sin2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，得2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b . ∵CA →·CB →＝18，∴ab cos C ＝18，即ab ＝36.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， ∴c 2＝4c 2－3×36，∴c ＝6.20．(本小题满分12分)(2020～2020·滨州市沾化一中期末)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x )，x ∈R .(1)若f (x )＝1－3且x ∈[－π3，π3]，求x ； (2)若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m ，n )(|m |<π2)平移后得到函数y ＝f (x )的图象，求实数m 、n 的值．[解析] (1)依题设，f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋2sin(2x ＋π6)． 由1＋2sin(2x ＋π6)＝1－3，得sin(2x ＋π6)＝－32， ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6，∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4. (2)函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m ，n )平移后得到函数y ＝2sin2(x －m )＋n 的图象， 即函数y ＝f (x )的图象． 由(1)得f (x )＝2sin2(x ＋π12)＋1. ∵|m |<π2，∴m ＝－π12，n ＝1. 21．(本小题满分12分)(2020～2020·豫南九校联考)已知向量OP →＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)，OQ →＝(cos x ，－1)，f (x )＝OP →·OQ →.(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最大值及取得最大值时的x 值． [解析] (1)∵OP →＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)，OQ →＝(cos x ，－1)， ∴f (x )＝OP →·OQ →＝(2cos x ＋1)cos x －(cos2x －sin x ＋1) ＝2cos 2x ＋cos x －cos2x ＋sin x －1 ＝cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π4)， ∴函数f (x )最小正周期T ＝2π.(2)∵x ∈[0，π2]，∴x ＋π4∈[π4，3π4]，∴当x ＋π4＝π2，即x ＝π4时，f (x )＝2sin(x ＋π4)取到最大值 2.22．(本小题满分14分)(2020～2020·河北衡水中学调研)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(－1,1)，n ＝(cos B cos C ，sin B sin C －32)，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)现在给出下列三个条件：①a ＝1；②2c －(3＋1)b ＝0；③B ＝45°，试从中选择两个条件以确定△ABC ，求出所确定的△ABC 的面积．(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分)． [解析] (1)因为m ⊥n ， 所以－cos B cos C ＋sin B sin C －32＝0， 即cos B cos C －sin B sin C ＝－32，所以cos(B ＋C )＝－32， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以cos(B ＋C )＝－cos A ， 所以cos A ＝32，A ＝30°. (2)方案一：选择①②，可确定△ABC ， 因为A ＝30°，a ＝1,2c －(3＋1)b ＝0， 由余弦定理得，12＝b 2＋(3＋12b )2－2b ·3＋12b ·32解得b ＝2，所以c ＝6＋22， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12·2·6＋22·12＝3＋14，方案二：选择①③，可确定△ABC ， 因为A ＝30°，a ＝1，B ＝45°，C ＝105°，又sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝6＋24， 由余弦定理c ＝a sin C sin A ＝1·sin105°sin30°＝6＋22， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·6＋22·22＝3＋14.(注意：选择②③不能确定三角形)1．(2020～2020·成都市双流中学月考)已知点O 为坐标原点，A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2x ≤1y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围为( )A ．[－1,0]B ．[－1,2]C ．[0,1]D ．[0,2][答案] D[解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2x ≤1y ≤2表示的平面区域如图，∵OA →·OM →＝|OA →|·|OM→|cos α，其中α为OA →与OM →的夹角，|OA →|＝2，|OM →|cos α表示OM →在OA →上的投影，显然当M 与B 重合时，取最小值0，当M 与C 重合时，取最大值2，∴0≤OA →·OM →≤2.2．(2020～2020·彬州市月考)设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→|·|PF 2→|的值等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8[答案] A[解析] 不妨设F 1、F 2为双曲线的左、右焦点，P 在双曲线右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4 (1)，又c 2＝a 2＋b 2＝4＋1＝5，∴2c ＝25，∵PF 1→·PF 2→＝0， ∴PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝(2c )2＝20， 将(1)式两边平方得：20－2|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1→|·|PF 2→|＝|PF 1|·|PF 2|＝2.3．已知向量a ＝(2cos φ，2sin φ)，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，b ＝(0，－1)，则a 与b 的夹角为( )A.3π2－φ B.π2＋φ C ．φ－π2D ．φ[答案] A[解析] cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－2sin φ2×1＝－sin φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－φ，∵π2<φ<π，∴π2<3π2－φ<π， ∴〈a ，b 〉＝3π2－φ.4．(2020～2020·缓化市质检)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(1,1)，若向量b ⊥(λa ＋b )，则实数λ的值为________．[答案] － 13[解析] λa ＋b ＝(2λ，4λ)＋(1,1)＝(2λ＋1,4λ＋1)，∵b ⊥(λa ＋b )， ∴b ·(λa ＋b )＝(2λ＋1)＋(4λ＋1)＝6λ＋2＝0， ∴λ＝－13.5．(2020～2020·莆田一中质检)如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP →＝a ·OA →＋b ·OB →(a 、b ∈R )，则a 、b 满足的一个等式是________．[答案] a 2＋b 2＝12[解析] 由题意知，|OA →|2＝|OB →|2＝2r 2，|OP →|2＝r 2，∵|OP →|2＝|aOA →＋bOB →|2＝a 2|OA →|2＋b 2|OB →|2＋2abOA →·OB →＝(a 2＋b 2)·2r 2＝r 2，∴a 2＋b 2＝12.6．已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2<θ<π2. (1)若a ⊥b ，求θ； (2)求|a ＋b |的最大值．[解析] (1)若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0， 由此得tan θ＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2，所以θ＝－π4；(2)由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得a ＋b ＝(sin θ＋1,1＋cos θ)，|a ＋b |＝sin θ＋12＋1＋cos θ2＝3＋2sin θ＋cos θ＝3＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4， 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |的最大值为2＋1. 7．(2020～2020·莆田一中期末)已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，又函数f (x )的图象与直线y ＝32相切，相邻切点之间的距离为3π.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f (32α＋π2)＝2336，求sinα＋π4cos 4π＋2α的值．[解析] (1)由题意得m ·n ＝0，所以f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx ) ＝1＋cos2ωx 2＋3sin2ωx 2＝sin(2ωx ＋π6)＋12， 因为函数f (x )的最小正周期为3π，又ω>0，所以ω＝13.(2)由(1)知f (x )＝sin(23x ＋π6)＋12，所以f (32α＋π2)＝sin(α＋π2)＋12＝cos α＋12＝2326，解得cos α＝513，因为α是第一象限角，故sin α＝1213， 所以sin α＋π4cos4π＋2α＝sin α＋π4cos2α＝22cos α－sin α＝－13142.。