2020年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ={x |1≤x ≤3},B ={x |2<x <4},则A ∪B =（）A.{x |2<x ≤3} B.{x |2≤x ≤3} C.{x |1≤x <4} D.{x |1<x <4}2.2i12i-=+（）A.1B.−1C.iD.−i3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A.120种B.90种C.60种D.30种4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（）A.20° B.40° C.50° D.90°5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A.62% B.56% C.46% D.42%6.基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A.()2,6- B.(6,2)- C.(2,4)- D.(4,6)-8.若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A.[)1,1][3,-+∞B.3,1][,[01]--C.[1,0][1,)-+∞ D.[1,0][1,3]- 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知曲线22:1C mx ny +=.（）A.若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若m =n >0，则CC.若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D.若m =0，n >0，则C 是两条直线10.下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=（）A.πsin(3x +B.πsin(2)3x - C.πcos(26x +）D.5πcos(2)6x -11.已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A.2212a b +≥B.122a b-> C.22log log 2a b +≥- D.≤12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑ ，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.（）A.若n =1，则H (X )=0B.若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C.若1(1,2,,)i p i n n== ，则H (X )随着n 的增大而增大D.若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+= ，则H (X )≤H (Y )三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．14.将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，BH DG ∥，EF =12cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．16.已知直四棱柱ABCD –A1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.在①ac =，②sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ∆，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B =，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：2概率；（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820.如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．21.已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．22.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．参考答案一、单选题.1.【答案】C【解析】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U ,故选C.2.【答案】D【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i ----===-++-,故选D.3.【答案】C【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.故选C4.【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD ,根据线面垂直的定义可得AB m ⊥..∵40,//AOC m CD ∠=︒，∴40OAG AOC ∠=∠=︒，∵90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，∴40BAE OAG ∠=∠=︒，∴晷针与点A 处的水平面所成角40BAE ∠=︒.故选B.5.【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，∴()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选C.6.【答案】B【解析】∵0 3.28R =,6T =,01R rT =+，∴ 3.2810.386r -==,∴()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，∴10.382t e =，∴10.38ln 2t =，∴1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选B.7.【答案】A【解析】AB的模为2，根据正六边形的特征，可得AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB方向上的投影的乘积，∴AP AB⋅的取值范围是()2,6-，故选A.8.【答案】D【解析】∵定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减,且(2)0f =，∴()f x 在(0,)+∞上也是单调递减,且(2)0f -=,(0)0f =，∴当(,2)(0,2)x ∈-∞- 时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，∴由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，∴满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]- ，故选D.二、多选题.9.【答案】ACD【解析】对于A，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，∵0m n >>，∴11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C表示圆心在原点，半径为n的圆，故B 不正确；对于C，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确；对于D，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；综上，ACD正确.10【答案】BC【解析】由函数图像可知22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，排除A,当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得()223k k ϕπ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭.故选BC.11【答案】ABD【解析】对于A，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D，因为2112a b =+≤++=，+≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选ABD.12【答案】AC【解析】对于A,若1n =,则11,1i p ==，∴()()21log 10H X =-⨯=，∴A 正确.对于B，若2n =,则1,2i =,211p p =-，∴()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误.对于C，若()11,2,,i p i n n== ，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m j P Y j p p +-==+（1,2,,j m = ）.()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅ .()H Y =()()12222121222111log log m m m m p p p p p p p p --+⋅++⋅+++()1211log m m m m p p p p ++++⋅+ 12221222111log log m m p p p p p p -=⋅+⋅+++212222211211log log m m m mp p p p p p --+⋅+⋅++由于()01,2,,2i p i m >= ，∴2111i i m i p p p +->+，∴222111log log i i m ip p p +->+，∴222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+，∴()()H X H Y >，∴D 选项错误.故选AC三、填空题.13【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点FAB的方程为1)y x =-，代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==∴12116|||||3|33AB x x =-=-=解法二：10036640∆=-=>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=,过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为163.14【答案】232n n-【解析】∵数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，∴这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，6为公差的等差数列，∴{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-，故答案为232n n -.15【答案】542π+【解析】设==OB OA r ，由题意7AM AN ==，12EF =，∴5NF =，∵5AP =,∴45AGP ︒∠=，∵//BH DG ，∴45AHO ︒∠=，∵AG 与圆弧AB 相切于A 点，∴OA AG ⊥，即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，52OQ r =-，72DQ r =-，∵3tan 5OQ ODC DQ ∠==，∴212522r r -=-，解得r =等腰直角OAH △的面积为1142S =⨯=；扇形AOB 的面积(2213324S ππ=⨯⨯=，∴阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+.故答案为542π+.16【答案】2π.【解析】如图，取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，∵BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，∴△111D B C 为等边三角形，∴1D E =111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，∴1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥，∵1111BB B C B = ，∴1D E ⊥侧面11B C CB ，设P 为侧面11B C CB 与球面的交线上的点，则1D E EP ⊥，，1D E =，∴||EP ===，∴侧面11B C CB 与球面的交线上的点到E ，∵||||EF EG ==11B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧 FG，∵114B EF C EG π∠=∠=，∴2FEG π∠=，∴根据弧长公式可得 222FGπ==.答案为22π.四、解答题.17【答案】详见解析【解析】解法一：由sin A B =可得：ab=不妨设(),0a b m m ==>，则2222222cos 322c a b ab C m m m m =+-=+-⨯⨯=，即c m =.选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯==，1m ∴=，此时1c m ==.选择条件②的解析：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-，则sin 2A ==，此时sin 32c A m =⨯=，则c m ==选择条件③的解析：可得1c mb m==，c b =，与条件=c 矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵(),,6sinA C B A C ππ===-+,∴()6sinA A C A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,()122sinA A C =+=⋅⋅，∴sinA =,∴tanA =23A π=,∴6B C π==,若选①，ac =,∵a ==2=若选②，3csinA =,则32=,c =;若选③,与条件=c 矛盾.18【答案】（1）2nn a =；（2）100480S =.【解析】（1）由于数列{}n a 是公比大于1的等比数列，设首项为1a ，公比为q ，依题意有31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得解得12,2a q ==，或1132,2a q ==(舍)，∴2nn a =，∴数列{}n a 的通项公式为2nn a =.（2）由于123456722,24,28,216,232,264,2128=======，∴1b 对应的区间为(]0,1，则10b =；23,b b 对应的区间分别为(](]0,2,0,3，则231b b ==，即有2个1；4567,,,b b b b 对应的区间分别为(](](](]0,4,0,5,0,6,0,7，则45672b b b b ====，即有22个2；8915,,,b b b 对应的区间分别为(](](]0,8,0,9,,0,15 ，则89153b b b ==== ，即有32个3；161731,,,b b b 对应的区间分别为(](](]0,16,0,17,,0,31 ，则1617314b b b ==== ，即有42个4；323363,,,b b b 对应的区间分别为(](](]0,32,0,33,,0,63 ，则3233635b b b ==== ，即有52个5；6465100,,,b b b 对应的区间分别为(](](]0,64,0,65,,0,100 ，则64651006b b b ==== ，即有37个6.∴23451001222324252637480S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有.【解析】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，∴该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=；（2）由所给数据，可得22⨯列联表为（3）根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>，根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关.20【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】（1）证明：在正方形ABCD 中，//AD BC ，∵AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴//AD 平面PBC ，又∵AD ⊂平面PAD ，平面PAD 平面PBC l =，∴//AD l ，∵在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，∴AD DC ⊥，∴l DC ⊥且PD ⊥平面ABCD ，∴AD PD ⊥，∴l PD ⊥，∵CD PD D = ，∴l ⊥平面PDC ；（2）如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为1PD AD ==，则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)D C A P B ，设(,0,1)Q m ，则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DC DQ m PB ===-，设平面QCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00DC n DQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00y mx z =⎧⎨+=⎩，令1x =，则z m =-，∴平面QCD 的一个法向量为(1,0,)n m =-，则cos ,n PB n PB n PB ⋅<>==根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，∴直线与平面所成角的正弦值等于|cos ,|n PB <>=ruur3=3333=，当且仅当1m =时取等号，所以直线PB 与平面QCD所成角的正弦值的最大值为3.21【答案】（1）21e -（2）[1,)+∞【解析】（1）()ln 1xf x e x =-+Q ，∴1()xf x e x'=-，∴(1)1k f e '==-.(1)1f e =+Q ，∴切点坐标为(1,1+e ),∴函数f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为1(1)(1)y e e x --=--,即()12y e x =-+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e --,∴所求三角形面积为1222||=211e e -⨯⨯--;（2）解法一：1()ln ln xf x ae x a -=-+Q ,11()x f x ae x-'∴=-，且0a >.设()()g x f x =',则121()0,x g x ae x-'=+>∴g(x )在(0,)+∞上单调递增，即()f x '在(0,)+∞上单调递增，当1a =时，()01f '=,∴()()11min f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a >时，11a <，111ae -<∴，111((1)(1)(1)0af f a e a a-''∴=--<,∴存在唯一00x >，使得01001()0x f x aex -'=-=，且当0(0,)x x ∈时()0f x '<，当0(,)x x ∈+∞时()0f x '>，0101x ae x -∴=，00ln 1ln a x x ∴+-=-，∴01min 00()()ln ln x f x f x ae x a-==-+001ln 1ln 2ln 12ln 1a x a a a x =++-+≥-+=+>1,∴()1,f x >∴()1f x ≥恒成立；当01a <<时，(1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立.综上所述，实数a 的取值范围是[1,+∞).解法二：()111x lna x f x aelnx lna e lnx lna -+-=-+=-+≥等价于11lna x lnx e lna x lnx x e lnx +-++-≥+=+,令()xg x e x =+,上述不等式等价于()()1g lna x g lnx +-≥,显然()g x 为单调增函数，∴1lna x lnx +-≥，即1lna lnx x ≥-+，令()1h x lnx x =-+,则()111x h x x x-=-='在()0,1上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，∴()()10max h x h ==,01lna a ≥≥，即，∴a 的取值范围是[1,+∞).22【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析.【解析】(1)由题意可得2222232411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2226,3a b c ===，故椭圆方程为22163x y +=.(2)设点()()1122,,,M x y N x y .∵AM ⊥AN ，∴·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=,①当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+,如图1.代入椭圆方程消去y 并整理得()22212k4260xkmx m +++-=,∴2121222426,1212km m x x x x k k-+=-=++②,根据1122,y kx m y kx m =+=+,代入①整理可得：()()()()221212k 1x 2140x km k x x m ++--++-+=将②代入，得()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，整理化简得()()231210k m k m +++-=,∵2,1A （）不在直线MN 上，∴210k m +-≠，∴23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴直线过定点直线过定点21,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -,如图2.代入()()()()121222110x x y y --+--=得()2212210x y -+-=,结合2211163x y +=,解得()1122,3x x ==舍,此时直线MN 过点21,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，∴AE 中点Q 满足QD 为定值（AE 3=）.由于()21,32,13,A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故由中点坐标公式可得41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得|DQ|为定值.。