yi

现在改变 xi 的抽样方法如下：
xi
f1 ( x)dx i N
yi 的抽样方法不变。 1 N ˆ N g ( xi , yi ) g N i 1 其方差为 1 2 2 g ˆN x f1 ( x ) dx N 与通常蒙特卡罗方法相比，方差减少了约
1 2 ( ) f1 ( x)dx x N
1 n ( xi ) g1i g ( xi , yij ) n( xi ) j 1
代替上述θ估计式中的 g(yi, xi) 。
(2) 当 x∈R2时，定义一个函数q(xi)，0＜ q(xi) ＜1， 以抽样值
g ( xi , yi ) q( xi ) g 2i 0
q( xi ) q( xi )
n
于是计算θ的问题，可化为计算 n 个θi 的和来得到，而 每个 gi(P) 为原来θ的估计 g(P) 的 1/ n ，这就是分裂技 巧。
2) 俄国轮盘赌 令 0 ＜ q＜1，
q 1 g (P) f (P)dP
Vs
q
则
q q (1 q) 0
于是θ变为一个两点分布的随机变量ζ的期望值， ζ的特性为： P( q ) q
j
j 1
g ( x) f j ( x)dx
则有
p j j
j 1
J
现在，用蒙特卡罗方法计算θj ，对每个θj 利用 fj(x)中 的nj 个样本xij ，那么有
1 c ˆN pj g n j 1 j
J
g ( xij ) i 1
nj
6. 分层抽样
考虑积分
g ( x) f ( x)dx
0
1
在（0，1）间插入J－1个点 0＝α0＜ α1＜ …＜ αJ-1＜ αJ＝1 令 j p j f ( x)dx
j 1
f ( x) p j f j ( x) 0
j 1 x j
其它
j
R

Q

通常蒙特卡罗方法，由f (x,y)抽样 (x,y)的步骤是： 从 fl(x) 中抽取 xi，再由 f2(y|xi) 中抽样确定 yi，然后用 1 N ˆ N g ( xi , yi ) g N i 1 作为θ的一个无偏估计。 现在，改变抽样方案如下： (1) 当x∈R1时，定义一个整数n(xi)≥1，对一个xi，抽取 n(xi)个yij，j＝1，2，…，n(xi)。以平均值
1. 蒙特卡罗方法求积分
蒙特卡罗方法求积分的一般规则如下：任何一个 积分，都可看作某个随机变量的期望值，因此，可以 用这个随机变量的平均值来近似它。
设欲求积分 其中，P＝P(x1，x2，…，xs) 表示 s 维空间的点，Vs表 示积分区域。取Vs上任一联合概率密度函数 f (P)，令 g (P) G(P) f (P) 则 g (P) f (P)dP Eg (P) 即θ是随机变量 g(P) 的数学期望，P的分布密度函数为 f (P) 。 现从 f (P) 中抽取随机向量 P 的 N 个样本： Pi，i＝1，2，…，N， 则 1 N ˆ N g (Pi ) g N i 1 就是θ的近似估计。
Vs
不管那种情况，我们称从最优分布 fl(P)的抽样为重要 抽样，称函数 | g(P) | 为重要函数。
3. 俄国轮盘赌和分裂
1) 分裂 设整数 n≥1，令 g i (P) g (P) n
i gi (P) f (P)dP
Vs
则
g (P) f (P)dP i
Vs i 1
V2 2 ( x ) 2 f1 ( x)dx x f1 ( x)dx 2
5. 系统抽样
我们知道，由f (x,y)抽样 (x,y)的步骤是： 从 fl(x) 中抽取 xi，

xi

f1 ( x)dx 1i
f 2 ( y xi )dy 2i
再由 f2(y|xi) 中抽样确定 yi，
2 g ( g ( x, y ) ) 2 f ( x, y )dxdy V2
( x ) 2 f ( x, y )dxdy
V2
( g ( x, y ) x ) 2 f ( x, y )dxdy
V2
2 ( g ( x, y ) x )( x ) f ( x, y )dxdy
代替上述θ估计式中的 g(yi, xi) 。这里ξ是随机数。 显然，这种抽样估计技巧，就是对 x∈R1时，利 用分裂技巧，而对 x∈R2时，利用俄国轮盘赌，而使 估计的期望值不变。由于对重要区域多抽样，对不重 要区域少观察，因此能使估计的有效性增高。
4. 半解析（数值）方法
考虑二重积分
g ( x, y) f ( x, y)dxdy
V2
g ( x, y) f 2 ( y x)dy f1 ( x)dx R Q
令
x g ( x, y) f 2 ( y x)dy
Q
则θx为θ的无偏估计。
θx 的方差为
2 ( x ) 2 f1 ( x)dx
而由 f (x,y)抽样 (x,y)，用 g (x,y)作为θ的估计，其方差 为
第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中的应用
1. 2. 3. 4. 5. 6. 蒙特卡罗方法求积分 重要抽样 俄国轮盘赌和分裂 半解析方法 系统抽样 分层抽样
第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中的应用
计算多重积分是蒙特卡罗方法的重要应用 领域之一。本章着重介绍计算定积分的蒙特卡 罗方法的各种基本技巧，而这些技巧在粒子输 运问题中也是适用的。
2) 重要抽样和零方差技巧
2 g Eg12 (P) 2 g12 (P) f1 (P)dP 2
1
Vs

1
Vs
g 2 ( P) f 2 (P) dP 2 I f1 2 f1 (P)
2 要使 g 最小，就是使泛函I[f1] 极小。
利用变分原理，可以得到最优的 f1(P) 为
V2
令R是V2上 x 的积分区域，表为 R＝R1+R2，其中R1是 重要区域， R2 是不重要区域，两者互不相交。又命 Q 为V2上相应于 y 的积分区域。则
f ( x, y ) f 2 ( y x) f1 ( x)
g ( x, y ) f 2 ( y x)dy f1 ( x)dx
f1 (P ) | g (P) | f (P)

Vs
| g ( P ) | f ( P ) dP
特别地，当 g(P)≥0 时，有
f1 (P ) g (P) f (P)

Vs
g (P) f (P )dP

g (P) f (P)

这时
2 g 0
1
即 g1的方差为零。实际上，这时有
g1 (P) g1 (P) f1 (P)dP
Vs
G(P)dP
Vs
2. 重要抽样
1) 偏倚抽样和权重因子 取Vs上任一联合概率密度函数 f1(P)，令 g1 (P) g (P) W (P) 则有
W (P) f (P) f1 (P)
g1 (P) f1 (P)dP Eg1 (P)
VsBiblioteka 现从 f1(P) 中抽样 N 个点：Pi，i＝1，2，…，N， 则 1 N ˆ1N g1 (Pi ) g N i 1 就是θ的又一个无偏估计。
P( 0) 1 q
这样就可以通过模拟这个概率模型来得到 θ ，这就是 俄国轮盘赌。
3) 重要区域和不重要区域 我们往往称对积分 θ 贡献大的积分区域为重要区 域，或感兴趣的区域；称对积分 θ 贡献小的区域为不 重要区域，或不感兴趣的区域。 考虑二重积分
g ( x, y ) f ( x, y )dxdy