高考数学压轴题：交集数列数列中一类元素交并问题，实际考查思想方法，如最小公倍数、余数分析法，二项式定理应用.类型一 两个等差数列取交集数列问题 典例1. 若数列{}n a 的通项公式为232n n a +=-，数列{b }n 的通项公式为n b 534n =--． 设集合*{|2,}n A x x a n N ==∈，*{|4,}n B y y b n N ==∈．若等差数列{}n c 任一项1,n c A B c ∈是A B 中的最大数，且10265125c -<<-，求{}n c 的通项公式．类型二 一个等差数列和一个二次型数列取交集数列问题典例2已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+，数列{n b }的通项公式为2n b n =．若将数列{n a }，{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c }，则数列{}n c 的通项公式为____．类型三 一个等差数列和一个指数型数列取交集数列问题典例3 已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为319n a n =-，2n n b =.将{}n a 与{}n b 中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{}n c .（1）试写出1c ，2c ，3c ，4c 的值，并由此归纳数列{}n c 的通项公式； （2）证明你在（1）所猜想的结论.1. 设数列{a n }的通项公式为12-=n a n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －2．集合A ＝{x ∣x ＝a n ，n ∈N *}，B ＝{x ∣x ＝b n ，n ∈N *}．将集合A ∪B 中的元素从小到大依次排列， 构成数列c 1，c 2，c 3，…，则{c n }的通项公式为___________.2. 已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差d 不等于0，设13,,k a a a 是公比为q 的等比数列{}n b 的前三项， （1）若k=7，12a =（i ）求数列{}n n a b 的前n 项和T n ；（ii ）将数列{}n a 和{}n b 的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{}n c ，设其前n 项和为S n ，求211*21232(2,)n n n n S n n N -----+⋅≥∈的值；（2）若存在m>k,*m N ∈使得13,,,k m a a a a 成等比数列，求证k 为奇数.3. 设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列. ① 当时，求的数值；②求的所有可能值； （2）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列.k N *∈，21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为 k q ，22122,,k k k a a a ++成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-. （1）若12d =，求2a 的值； （2）求证：数列{}k b 为等差数列； （3）若12q =，设1nn n b c b +=，是否存在m 、k ()2,,k m k m >∈*N ≥，使得1c 、m c 、k c 成等比数列．若存在，求出所有符合条件的m 、k 的值；若不存在，请说明理由．5. 在数列中，,且对任意的,12212,,+-k k k a a a 成等比数列，其公比为.（1）若)(2*N k q k ∈=，求；（2）若对任意的,k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，其公差为，设11k k b q =- ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差；12,,n a a a (4)n ≥0d ≠4n =1a dn (4)n ≥12,n b b b {}n a 11a =*k N ∈k q 13521...k a a a a -++++*k N ∈k d② 若21=d ,试求数列的前项的和k D .6. 数列{}n a 的各项均为正数.若对任意的*n N ∈，存在*k N ∈，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称数列{}n a 为“k J 型”数列.（1）若数列{}n a 是“2J 型”数列，且288,1a a ==，求2n a ；（2）若数列{}n a 既是“3J 型”数列，又是“4J 型”数列，证明：数列{}n a 是等比数列.7. 设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项的和为n S ，已知对任意整数k M ∈，当n k >时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立． （1）设{1}M =，22=a ，求5a 的值； （2）设{3,4}M =，求数列}{n a 的通项公式答案类型一 两个等差数列取交集数列问题 典例1. 若数列{}n a 的通项公式为232n n a +=-，数列{b }n 的通项公式为n b 534n =--． 设集合*{|2,}n A x x a n N ==∈，*{|4,}n B y y b n N ==∈．若等差数列{}n c 任一项1,n c A B c ∈是A B 中的最大数，且10265125c -<<-，求{}n c 的通项公式．【答案】724n c n =-【解析】对任意*n N ∈，223,41252(61)3n n a n b n n =--=--=-+-，∴B A ⊂，∴A B B =∵1c 是AB 中的最大数，∴1c 17=-，设等差数列{}n c 的公差为d ，则∴265179125d -<-+<-，即527129d -<<-，又4n b 是一个以12-为公差等差数列， {}k d k∴*12()d k k N =-∈，∴24d =-，∴724n c n =-．类型二 一个等差数列和一个二次型数列取交集数列问题典例2已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+，数列{n b }的通项公式为2n b n =．若将数列{n a }，{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c }，则数列{}n c 的通项公式为____．【答案】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=为偶数，为奇数，n n n n C n 22267217【解析】解：设227m n =+，考察m 模7的余数问题；若k k k k k k k m 7,17,27,37,47,57,67------=时经验证可得： 当37,47--=k k m 时，存在满足条件的n 存在故{n c }中的项目依次为： 3125241817111043,,,,,,,,b b b b b b b b b可求得数列{n c }的通项公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=为偶数，为奇数，n n n n C n 22267217类型三 一个等差数列和一个指数型数列取交集数列问题典例3 已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为319n a n =-，2n n b =.将{}n a 与{}n b 中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{}n c .（1）试写出1c ，2c ，3c ，4c 的值，并由此归纳数列{}n c 的通项公式； （2）证明你在（1）所猜想的结论.【答案】（1）212n n c -=（2）见解析【解析】解：（1）11172c b a ===，32392c b a ===，535172c b a ===，747482c b a ===， 由此归纳：212n n c -=.（2） 由n m a b =，得21921633m m n ++==+， ∴(31)163m n -+-=，由二项式定理得∴011122211133(1)3(1)3(1)(1)163m m m m m m m m m m m m C C C C C n ----+-+-++-+-+-=，∴当m 为奇数时，n 有整数解， ∴21212n n n c b --==.1. 设数列{a n }的通项公式为12-=n a n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －2．集合A ＝{x ∣x ＝a n ，n ∈N *}，B ＝{x ∣x ＝b n ，n ∈N *}．将集合A ∪B 中的元素从小到大依次排列， 构成数列c 1，c 2，c 3，…，则{c n }的通项公式为___________.【答案】⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=-=-=k n n k n nk n n c n 4,22324,2312,213【解析】解：因为 561)23(223-=--=-k k a k ，361)13(213-=--=-k k a k161323-=-⋅=k k a k ；2312562)12(3--=-=--=k k a k k b A k k b k ∉-=-⋅=262232所以 k k k k k a b a b a 32131223<<<=--- ,3,2,1=k ，即当)(34*∈-=N k k n 时，56-=k c n ；当24-=k n )(*∈N k36-=k c n ，当)(14*∈-=N k k n 时，26-=k c n ，当)(4*∈=N k k n 时，16-=k c n所以{}n c 的通项公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--=--=-=kn k k n k k n k k n k c n 4,1614,2624,3634,56即：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=-=-=k n n k n nk n n c n 4,22324,2312,2132. 已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差d 不等于0，设13,,k a a a 是公比为q 的等比数列{}n b 的前三项， （1）若k=7，12a =（i ）求数列{}n n a b 的前n 项和T n ；（ii ）将数列{}n a 和{}n b 的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{}n c ，设其前n 项和为S n ，求211*21232(2,)n n n n S n n N -----+⋅≥∈的值；（2）若存在m>k,*m N ∈使得13,,,k m a a a a 成等比数列，求证k 为奇数. 【答案】(1) （i ）12n n T n +=⨯（ii ）1（2）见解析 【解析】(1) 因为7k =，所以137,,a a a 成等比数列，又{}n a 是公差0d ≠的等差数列， 所以()()211126a d a a d +=+，整理得12a d =，又12a =，所以1d =， 112b a ==，32111122a b a dq b a a +====，所以()11111,2n n n n a a n d n b b q -=+-=+=⨯=， ①用错位相减法或其它方法可求得{}n n a b 的前n 项和为12n n T n +=⨯；① 因为新的数列{}n c 的前21n n --项和为数列{}n a 的前21n -项的和减去数列{}n b 前n 项的和，所以121(21)(22)2(21)(21)(21)221n n n n n n n S ----+-=-=---.所以211*21232(2,)n n n n S n n N -----+⋅≥∈=1．(2) 由d k a a d a ))1(()2(1121-+=+，整理得)5(412-=k d a d ， 因为0≠d ，所以4)5(1-=k a d ，所以3111232a a d k q a a +-===.因为存在m ＞k,m ∈N *使得13,,,k m a a a a 成等比数列，所以313123⎪⎭⎫⎝⎛-==k a q a a m ，又在正项等差数列{a n }中，4)5)(1()1(111--+=-+=k m a a d m a a m ，所以3111234)5)(1(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--+k a k m a a ，又因为01>a ，有[]324(1)(5)(3)m k k +--=-，因为[]24(1)(5)m k +--是偶数，所以3(3)k -也是偶数，即3-k 为偶数，所以k 为奇数. 3. 设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列. ① 当时，求的数值；②求的所有可能值； （2）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列.【答案】(1) ①14a d =-或11ad=②4n =（2）见解析 【解析】本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。