立体几何之与球有关的高考考试————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：立体几何分类复习一、球的相关知识考试核心：方法主要是“补体”和“找球心”1.长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径．2．正方体的内切球其棱长为球的直径．3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线．4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.5.性质的应用22212rROOd-==，构造直角三角形建立三者之间的关系。

1.（2015高考新课标2，理9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A．36π B.64π C.144π D.256π参考答案2.3.4.类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。

（两题互换条件形成不同的题） 1．如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，12OO =，A 、B 是圆1O 上两点，若A ，B 两点间的球面距离为23π，则1AO B ∠= . 2．如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，12OO =，A 、B 是圆1O 上两点，若1AO B ∠=2π，则A,B 两点间的球面距离为 （2009年文科）类型二：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径r Cc2sin =，从而解决问题。

3. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===, 120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。

4.正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为 ．5.12．已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3，ο30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S—ABC 的体积为A ．33B ．32C ．3D ．16.（11）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =，则球O 表面积等于（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π类型三：通过线线角、线面角、面面角之间的平面的转化，构造勾股定理处理问题。

7.15.设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆C 。

若圆C 的面积等于74π，则球O 的表面积等于 .（2009年文科）8.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π9.（5）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬060纬线长和赤道长的比值为（A ）0.8 （B ）0.75 （C ）0.5 （D ）0.25类型四：球内接多面体的相关元素之间的联系。

10.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 cm ．（2010年理科） 11.16．长方体1111ABCD A B C D -的顶点均在同一个球面上，11AB AA ==，2BC =，则A ，B 两点间的球面距离为 .12.体积为8的一个正方体，其全面积与球O 的表面积相等，则球O 的体积等于 ．13.已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_______．14.如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 .类型五：平面几何性质在球中的综合应用。

15.已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = ．类型六：性质的简单应用。

16.已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于______ _______.17.（15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 。

18.（9）高为24的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为 （2011年理科）（A ）24（B ）22(C)1 (D)2BCDAN M Oα参考答案：3、欲求球的表面积，归根结底求球半径R ，与R 相关的是重要性质222d r R +=。

∵AA 1=2, ∴121121====AA OO OO d 。

现将问题转化到⊙O 2的半径之上。

因为△ABC 是⊙O 2的内接三角形，又知AB=AC=2，∠BAC=120°，三角形可解。

由余弦定理有32444cos 222=++=∠⋅⋅-+=BAC AC AB AC AB BC ，由正弦定理有2sin 22sin =∠=⇒=∠BACBCr r BAC BC∴.514222=+=+=d r R ∴ππ2042==R S 。

4、85、C 6 A 7问题的解决根本——求球半径OB R =。

与R 相关的重要性质222d r R +=中，2r 可求（∵472ππ=r ∴472=r ）问题转化到求OC d =上充分运用题目中未用的条件，2R OM =，∠OMC=45°，∴22R d = 于是84722R R +=求得22=R ，∴ππ842==R S8 D 9、 C 10、 4 11、3π 12、π34 13、1/3 14、22R π 15、析：由OM=ON 知，⊙M 与⊙No 为等圆，根据球中的重要性质∴7916222=-=-=d R r又MH ⊥AB 得H 为AB 中点，∴BH=AH=2 ∴322=-==BH r NH MH ∵∠OMH=∠ONH=90°∴∠MON=π－∠MHN由余弦定理有MN 2=OM 2+ON 2－2OM ·ON ·cos ∠MON MN 2=MH 2+NH 2－2MH ·NH ·cos(π－∠MON) 解得cos ∠MON=21，即∠MON=3π ∴三角形OMN 为等边三角形， ∴MN=3. 16、16π 17、24 18、C二、二面角的求法：1、如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A -PB -C 的余弦值.2、如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，且2AB AD ==，13AA =，120BAD ∠=o .（1)求异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值； （2）求二面角1B A D A --的正弦值。

1、（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=o，得AB AP ⊥，CD PD ⊥由于//AB CD ，故AB PD ⊥， 从而AB ⊥平面PAD 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD（2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥， 可得PF ⊥平面ABCD以F 为坐标原点，FA u u u r 的方向为x 轴正方向，||AB uuu r为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -由（1）及已知可得2222(,0,0),(0,0,),(,1,0),(,1,0)2222A PBC - 所以2222(,1,),(2,0,0),(,0,),(0,1,0)2222PC CB PA AB =--==-=u u u r u u u r u u u r u u u r 设(,,)n x y z =是平面PCB 的法向量，则0,0n PC n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r 即220,220x y z y ⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩可取(0,1,2)n =--设(,,)m x y z =是平面PAB 的法向量，则0,0m PA m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r 即220,22x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩可取(1,0,1)m =则3cos ,||||3n m n m n m ⋅<>==-所以二面角A PB C --的余弦值为33-2、22.解：在平面ABCD 内，过点A 作AE AD ⊥，交BC 于点E因为1AA ⊥平面ABCD ， 所以11,AA AE AA AD ⊥⊥如图，以1{,,}AE AD AA u u u r u u u r u u u r为正交基底，建立空间直角坐标系A xyz -因为12,3,120AB AD AA BAD ===∠=o ，则11(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(3,0,0),(0,0,3),(3,1,3)A B D E A C - （1）11(3,1,3),(3,1,3),A B AC =--=u u u r u u u u r 则111111cos ,||||A B AC A B AC A B AC <>=u u u r u u u u ru u u r u u u u r g u u ur u u u u r (3,1,3)(3,1,3)177--==-g因此异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为17（2）平面1A DA 的一个法向量为(3,0,0)AE =u u u r设(,,)m x y z =为平面1BA D 的一个法向量，又1(3,1,3),(3,3,0),A B BD =--=-u u u r u u u r 则10,0,m A B m BD ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u r g 即330,330x y z x y ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩ 不妨取3x =，则32y z ==，，所以(3,3,2)m =为平面1BA D 的一个法向量，从而(3,0,0)(3,3,2)3cos ,4||||34AE m AE m AE m <>===⨯u u u ru u u r g g u u u r设二面角1B A D A --的大小为θ，则3|cos |4θ= 因为[0,]θπ∈，所以27sin 1cos 4θθ=-=因此二面角1B A D A --的正弦值为741．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]1、D。