1.如图,四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD ,2AD =,2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上,∠ABM=60。
(I )证明:M 是侧棱SC 的中点;()II 求二面角S AM B --的大小。
2.如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点,DE ⊥平面BCC 1(Ⅰ)证明:AB =AC (Ⅱ)设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小3.如图,DC ⊥平面ABC ,//EB DC ,22AC BC EB DC ====,120ACB ∠=,,P Q 分别为,AE AB 的中点.(I )证明://PQ 平面ACD ;(II )求AD 与平面ABE 所成角的正弦值.4.如图,四棱锥P ABCD -的底面是正方形,PD ABCD ⊥底面,点E 在棱PB 上.(Ⅰ)求证:平面AEC PDB ⊥平面;(Ⅱ)当2PD AB =且E 为PB 的中点时,求AE 与平面PDB 所成的角的大小.5.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,4PA AD ==,2AB =.以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M . BC D EOA PB M(1)求证:平面ABM ⊥平面PCD ;(2)求直线PC 与平面ABM 所成的角;(3)求点O 到平面ABM 的距离.6.如图,正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直,△ABE 是等腰直角三角形,,,45AB AE FA FE AEF ︒==∠=(I )求证:EF BCE ⊥平面;(II )设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ,求证: PM ∥BCE 平面(III )求二面角F BD A --的大小。
7.如图,四棱锥S -ABCD 的底面是正方形,SD ⊥平面ABCD ,SD =AD =a ,点E 是SD 上的点,且DE =λa (0<λ≦1). (Ⅰ)求证:对任意的λ∈(0、1),都有AC ⊥BE :(Ⅱ)若二面角C -AE -D 的大小为600C ,求λ的值。
8.如图3,在正三棱柱111ABC A B C -中,AB =4,17AA =,点D 是BC 的中点,点E 在AC 上,且DE ⊥1A E .(Ⅰ)证明:平面1A DE ⊥平面11ACC A ;(Ⅱ)求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。
9.如图,正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直,△ABE 是等腰直角三角形,,,45AB AE FA FE AEF ︒==∠=(I )求证:EF BCE ⊥平面;(II )设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ,求证: PM ∥BCE 平面(III )求二面角F BD A --的大小。
10.如题(18)图,在五面体ABCDEF 中,AB ∥DC ,2BAD π∠=,2CD AD ==,四边形ABFE 为平行四边形,FA ⊥平面ABCD ,3,7FC ED ==.求:(Ⅰ)直线AB 到平面EFCD 的距离;(Ⅱ)二面角F AD E --的平面角的正切值.11.如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,∠DAB =60°,AB =2AD ,PD ⊥底面ABCD .(1)证明:PA ⊥BD ;(2)设PD =AD ,求二面角A -PB -C 的余弦值.12(本小题满分12分)如图,已知四棱锥P -ABCD 的底面为等腰梯形,AB CD ,AC ⊥BD ,垂足为H , PH 是四棱锥的高 ,E 为AD 中点(1) 证明:PE ⊥BC(2) 若∠APB =∠ADB =60°,求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值参考答案1、【解析】(I )解法一:作MN ∥SD 交CD 于N ,作NE AB ⊥交AB 于E ,连ME 、NB ,则MN ⊥面ABCD ,ME AB ⊥,NE AD ==设MN x =,则NC EB x ==,在RT MEB ∆中,60MBE ∠=︒ME ∴=。
在RT MNE ∆中由222ME NE MN =+2232x x ∴=+解得1x =,从而12MN SD =∴ M 为侧棱SC 的中点M . 解法二:过M 作CD 的平行线.(II )分析一:利用三垂线定理求解。
在新教材中弱化了三垂线定理。
这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。
过M 作MJ ∥CD 交SD 于J ,作SH AJ ⊥交AJ 于H ,作HK AM ⊥交AM 于K ,则JM ∥CD ,JM ⊥面SAD ,面SAD ⊥面MBA ,SH ⊥面AMB ∴SKH ∠即为所求二面角的补角.法二:利用二面角的定义。
在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ,则点F 为AM 的中点,取SA 的中点G ,连GF ,易证GF AM ⊥,则GFB ∠即为所求二面角.解法二、分别以DA 、DC 、DS 为x 、y 、z 轴如图建立空间直角坐标系D —xyz ,则)2,0,0(),2,0,0(),0,2,2(),0,0,2(S C B A 。
(Ⅰ)设)0,0)(,,0(>>b a b a M ,则)2,,0(),,2,2(),0,2,0(-=--=-=b a SM b a BM BA ,)2,2,0(-=SC ,由题得⎪⎩⎪⎨⎧>=<SC SM BM BA //21,cos ,即 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++-⋅--)2(22212)2(2)2(222b a b a a 解之个方程组得1,1==b a 即)1,1,0(M所以M 是侧棱SC 的中点。
法2:设MC SM λ=,则)12,12,2(),12,12,0(λλλλλ+-+=++MB M 又o AB MB AB 60,),0,2,0(>=<=故o AB MB AB MB 60cos ||||⋅=•,即22)12()12(214λλλ++++=+,解得1=λ, 所以M 是侧棱SC 的中点。
(Ⅱ)由(Ⅰ)得)1,1,2(),1,1,0(--=MA M ,又)2,0,2(-=AS ,)0,2,0(=AB , 设),,(),,,(22221111z y x n z y x n ==分别是平面SAM 、MAB 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=•=•0011AS n MA n 且⎪⎩⎪⎨⎧=•=•0012AB n MA n ,即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--022*******z x z y x 且⎪⎩⎪⎨⎧==--02022222y z y x 分别令221==x x 得2,0,1,12211====z y y z ,即)2,0,2(),1,1,2(21==n n ,∴3662202,cos 21=⋅++>=<n n 二面角S AM B --的大小36arccos -π。
2、解法一:(Ⅰ)取BC 中点F ,连接EF ,则EF 121B B ,从而EF DA 。
连接AF ,则ADEF 为平行四边形,从而AF //DE 。
又DE ⊥平面1BCC ,故AF ⊥平面1BCC ,从而AF ⊥BC ,即AF 为BC 的垂直平分线,所以AB =AC 。
(Ⅱ)作AG ⊥BD ,垂足为G ,连接CG 。
由三垂线定理知CG ⊥BD ,故∠AGC 为二面角A -BD -C 的平面角。
由题设知,∠AGC =600..设AC =2,则AG =3。
又AB =2,BC =22,故AF =2。
由AB AD AG BD ⋅=⋅得2AD =22.23AD +,解得AD =2。
故AD =AF 。
又AD ⊥AF ,所以四边形ADEF 为正方形。
因为BC ⊥AF ,BC ⊥AD ,AF ∩AD =A ,故BC ⊥平面DEF ,因此平面BCD ⊥平面DEF 。
连接AE 、DF ,设AE ∩DF =H ,则EH ⊥DF ,EH ⊥平面BCD 。
连接CH ,则∠ECH 为1B C 与平面BCD 所成的角。
因ADEF 为正方形,AD 2EH =1,又EC =112B C =2, 所以∠ECH =300,即1B C 与平面BCD 所成的角为300.解法二:(Ⅰ)以A 为坐标原点,射线AB 为x 轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系A —xyz 。
0,设B (1,0,0),C (0,b ,0),D (0,0,c ),则1B (1,2c ),E (12,2b ,c ). 于是DE →=(12,2b ,0),BC →=(-1,b ,0).由DE ⊥平面1BCC 知DE ⊥BC , DE BC →→⋅=0,求得b =1,所以 AB =AC 。
(Ⅱ)设平面BCD 的法向量(,,),AN x y z →=则0,0.AN BC AN BD →→→→⋅=⋅=又BC →=(-1,1, 0), BD →=(-1,0,c ),故00x y x cz -+=⎧⎨-+=⎩ 令x =1, 则y =1, z =1c ,AN →=(1,1, 1c). 又平面ABD 的法向量AC =(0,1,0)由二面角C BD A --为60°知,AC AN ,=60°, 故 60cos ⋅⋅=⋅AC AN AC AN °,求得21c =于是 ),,(211=AN , ),,211(1-=CB 21cos 111=⋅⋅=CB AN CB AN CB AN ,, 601=CB AN ,° 所以C B 1与平面BCD 所成的角为30°3、(Ⅰ)证明:连接CQ DP ,, 在ABE ∆中,Q P ,分别是AB AE ,的中点,所以BE PQ 21//==,又BE DC 21//==,所以DC PQ ==//,又⊄PQ 平面ACD ,DC ⊂平面ACD , 所以//PQ 平面ACD (Ⅱ)在ABC ∆中,BQ AQ BC AC ===,2,所以AB CQ ⊥ 而DC ⊥平面ABC ,DC EB //,所以⊥EB 平面ABC 而⊂EB 平面ABE , 所以平面ABE ⊥平面ABC , 所以⊥CQ 平面ABE 由(Ⅰ)知四边形DCQP 是平行四边形,所以CQ DP // 所以⊥DP 平面ABE , 所以直线AD 在平面ABE 内的射影是AP , 所以直线AD 与平面ABE 所成角是DAP ∠在APD Rt ∆中,5122222=+=+=DC AC AD ,1sin 2=∠==CAQ CQ DP 所以5551sin ===∠AD DP DAP 4、【解法1】(Ⅰ)∵四边形ABCD 是正方形,∴AC ⊥BD ,∵PD ABCD ⊥底面,∴PD ⊥AC ,∴AC ⊥平面PDB ,∴平面AEC PDB ⊥平面.(Ⅱ)设AC ∩BD =O ,连接OE ,由(Ⅰ)知AC ⊥平面PDB 于O , ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角, ∴O ,E 分别为DB 、PB 的中点,∴OE //PD ,12OE PD =,又∵PD ABCD ⊥底面, ∴OE ⊥底面ABCD ,OE ⊥AO ,在Rt △AOE 中,122OE PD AB AO ===, ∴45AOE ︒∠=,即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒.【解法2】如图,以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -, 设,,AB a PD h ==则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D P h , (Ⅰ)∵()()(),,0,0,0,,,,0AC a a DP h DB a a =-==,∴0,0AC DP AC DB ⋅=⋅=,∴AC ⊥DP ,AC ⊥DB ,∴AC ⊥平面PDB , ∴平面AEC PDB ⊥平面.(Ⅱ)当PD =且E 为PB 的中点时,()11,,,222P E a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,设AC ∩BD =O ,连接OE , 由(Ⅰ)知AC ⊥平面PDB 于O , ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角,∵112,,,0,0,22EA a a a EO ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴2cos EA EO AEO EA EO⋅∠==⋅, ∴45AOE ︒∠=,即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒.∴多面体ABCDEF 的体积为V E —ABCD +V E —BCF =5、解:方法(一):(1)证:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD. 因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD,因此有PD⊥平面ABM,所以平面ABM⊥平面PCD.(2)设平面ABM与PC交于点N,因为AB∥CD,所以AB∥平面PCD,则AB∥MN∥CD,由(1)知,PD⊥平面ABM,则MN 是PN 在平面ABM 上的射影,所以PNM ∠就是PC 与平面ABM 所成的角,且PNM PCD ∠=∠所求角为arctan (3)因为O 是BD 的中点,则O 点到平面ABM 的距离等于D 点到平面ABM 距离的一半,由(1)知,PD⊥平面ABM于M ,则|DM |就是D 点到平面ABM 距离.因为在Rt △PAD 中,4PA AD ==,PD AM ⊥,所以M 为PD 中点,DM =O 点到平面ABM 。