第一章数制与编码1.1 数制数制是计数的方法，通常采用进位计数制。

在进位计数制的多位编码中，数制是：⏹ 每一位的构成方法，以及⏹ 从低位到高位的进位规则。

常用的数制：⏹ 二进制（Binary ）、 ⏹ 八进制（Octal ）、 ⏹ 十进制（Decimal ）、 ⏹ 十六进制（Hex-decimal ）。

例如：十进制：⏹ 每一位——十进制数由0~9个数字符号（数码）和小数点组成， ⏹进位规则——“逢十进一”（基数为10）。

1.1.1 记数法和分析方法记数法——位置记数法， 分析方法——按权展开式。

例如：十进制数(652.5)10=6×102+5×101+2×100+5×10-1左边为“位置记数法”，右边为“按权展开式”。

代数式为：∑⨯=iiikD 10说明：每一个数位上的数码有不同的权值， ⏹ 权值从左到右以基数的幂次由大到小， ⏹ 数位从左到右由高位到低位排列。

例如：二进制数(101.11)2 = 1×22+0×21+1×20+1×2-1+1×2-2任意进制（基数为R ）记数法：∑--=----==110121).()(n mi iiR m n n R R kk k k k k k D八进制和十六进制的按权展开式以此类推。

位置记数法 按权展开式1.1.2 数制转换数值相等，记数方法（数值）不同的数之间的转换。

数制转换的本质是——权值的转换。

1.1.2.1 任意进制到十进制的转换利用任意进制数的按权展开式，可以将一个任意进制数转换成等值的十进制数。

例如：(1011.01)2 =1×23+0×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2=(11.25)10例如：(8FA.C)16=8×162+F ×161+A ×160+C ×16-1=2048+240+10+0.75=(2298.75)101.1.2.2 “十 二”进制转换考查整数部分，数的二进制按权展开式：设：(D )10可以由n 位二进制数表示，即 (D )10=(k n -1k n -2,…,k 1k 0)2 存在：(D )10=k n -1×2n -1+k n -2×2n -2+…+k 1×21+k 0×20 (D )10/2= k n -1×2n -2+k n -2×2n -3+…+k 1×20 + k 0 / 2((D )10/2商的整数部分)/2= k n -1×2n -3+k n -2×2n -4+…+k 2×20 + k 1 / 2“孤立”余数后，整数的商再除以基数2，依次类推；余数依次为从低到高位的二进制数位。

故而，十进制整数转换为二进制数，采用“除2取余”法。

例1.1：将(173)10转换为二进制数 解：余数整数的商余数整数的商考查纯小数部分——将十进制纯小数转换为二进制数设：(D)10=k-1×2-1+k-2×2-2+…+k-(m-1)×2-(m-1)+k-m×2-m存在：(D)10= k-1 +k-2×2-1+…+k-(m-1)×2-(m-2)+k-m×2-(m-1)整数部分为k-1“孤立”整数部分，小数部分再乘以基数2，依次类推。

故而，十进制小数部分转换为二进制数，采用“乘2取整”法。

例1.2：将(0.6875)10转换为二进制数解：例1.3：将十进制转换成二进制——(219.723)10解：思考：转换误差为多少？考虑最低有效位对应的权：2-m，m是保留的位数，若要保持原数据的精度，二进制小数位的位数应保留几位？1.2.3 “二 十六”进制转换由于4位二进制数恰好代表0~15共16种取值，而且将4位二进制数看作一个整体时，它的进位输出恰好是逢十六进一，所以采用“分组对应”法。

例如：将(1011101.101001)2转换为十六进制数从小数点，⏹ 整数部分从低到高4位一组，最高一组如不足4位高位以0补齐； ⏹小数部分从高到低4位一组，最低一组如不足4位低位以0补齐。

( 101 1101.1010 0100 )2所以，(1011101.101001)2=(5D.A4)16 。

1.1.2.3 “十六→二”进制转换采用“等值代替”法。

例如：(8FA.C6)16=( 1000 1111 1010 . 1100 0110 )2=( 100011111010.1100 011)2。

1.1.2.4 小结二进制、十六进制、八进制 数之间的转换方法为：（图1. 1）图1. 1 进制之间的转换方法其中，十进制到二进制的转换：⏹ 整数部分：除2取余，⏹纯小数部分：乘2取整。

5 D A 41.1.3 二进制正负数的表示及运算1.1.3.1 二进制四则运算⏹加法：1+1=0 进位1，逢二进位；⏹减法：0-1=1 借位1，逢二借位；⏹乘法：1×1=1，0×1=0；多位乘法，结合加法；⏹除法：多位除法，乘法结合减法。

1.1.3.2 二进制正负数的表示1.1.3.2.1 原码对于给定的字长，最高位为符号位，表示正负号：⏹0 ——正，⏹ 1 ——负，其余各位表示数的绝对值。

例如：设8-bit（含符号）字长，[(+43)10]=(0 010 1011)2=(2B)16[(-43)10]=(1 010 1011)2=(AB)10正数的无符号和有符号的表示方法相同，正数的原码是它本身。

1.1.3.2.2 反码负数的反码是对其绝对值正数的编码（正数原码）求反。

方法1：对绝对值位域求反；符号为：正数原码为”0”，则负数反码为”1”；方法2（推荐）：对整个码字逐位取反。

例如：[(+25)10]=(0 001 1001)2=(+19)16[(-25)10]原=(1 001 1001)2[(-25)10]反=(1 110 0110)21.1.3.2.3 补码计算补码的方法1——“反码加一”，确切地说是：给定某数，若已知相反符号数的二进制编码（有符号数的补码编码，对于正数，补码编码与原码编码相同），将相反符号数的码字含符号位逐位取反，然后从最低位加上1。

这也是求相反符号数补码的方法。

特例：对于0的取相反符号数的操作。

例如，设字长4 bit，则有：(0000)2 —(取反)→ (1111)2 —(+1)→ 1 0000补码的性质：“0”的补码编码是唯一的。

可以用补码表示有符号的定点数，例如：（设：含符号位字长为8-bit ） (+25)10 = (0 001 1001)2 —(取反)→ [(1 110 0110)2]反 —(+1)→ [(1 110 0111)2]补例如：含符号位字长为8-bit ，对于[(-25)10]补的码字实施补码意义下“取相反符号”操作， [(-25)10]补=[(1 110 0111)2]补 —(取反)→ (0 001 1000)2 —(+1)→ (0 001 1001)2 补码的性质：补数的补数是原数。

例1.4：设含符号位字长为8-bit ，求(-39)10的补码表示 解：例1.5：设含符号位字长为8-bit ，给定补码为[(1110 1010)2]补，求该数的十进制表示 解：1.1.3.2.3.1 补码的性质——加减法运算负数采用补码表示后，就可以把减法转换为加法。

例如：39-22=39+(-22)=17，设8-bit 字长，可知 (+39)10=(0010 0111)2，(+22)10=(0001 0110)2，[(-22)10]原=(1001 0110)2，[(-22)10]补=(1110 1010)2。

方法1：原码运算000100010110000101110010-方法2：补码运算0001000111010111001110010+两种运算方法比较：⏹ 方法1——舍去 保持字长舍去 保持字长◆需要先判断被减数与减数的大小，以保证被减数大于减数；否则，◆需要调整次序并记录结果的符号。

⏹方法2——◆减法转换为加法；◆“符号位”参与运算；◆（如果有）进位，则自动丢失；◆运算结果仍是补码。

1.1.3.2.3.2 补码的性质——模和补数研究进位后自动丢掉的数，相当于数值2n，其中n为（含“符号”的）字长，它是“模”。

日常例子：钟表的模是12，如果要从八点拨到三点，两种方法：顺拨相当于加法，逆拨相当于减法。

本例中：逆拨数——5顺拨数——7达到同样的效果，顺拨数和逆拨数是关于模12的补数（即：相加等于模）。

补码的性质：补码的作用就是对所有的负数以其关于模2n的补数表示。

由此，可以由补数的关系计算补码。

计算补码的方法2——由补数的关系计算补码1：[-X]补=2n-[X]补补码的范围如图1. 2：图1. 2 补码取值范围的示意图1.1.4 代码及其码制数字系统中常用二进制代码来表示相关的对象。

编制代码要遵循一定的规则。

代码不只可以用来表示自然二进制数值，也不只能够表示数量的大小。

1注意：①有时候也将“补数”叫作“补码”，但与前述的“补码”的语义不同，“补数”强调的是与模的关系；②值得注意的是，有的提法，如：“‘补码’的‘补码’是‘原码’”，其中，“原码”是指最初给定的码字，后面一个“补码”是指施行“反码加一”操作——“在补码码制系统中，按照补码的求相反符号数的操作，对于给定的码字执行两次这样的操作，还会得到与原先相同的码字。

”1.1.4.1 BCD码——Binary Coded Decimal（二——十进制代码）0~9这十个符号的二进制编码，用4-bit二进制码元，各个二进制码元对应的权值不一定取自然二进制。

可以分为恒权码和无权码。

恒权码——各位数码对应着固定的权值。

1.1.4.1.1 8421码四位自然二进制编码0~9，10(A)~15(F)非法码字。

一般“BCD码”即指“8421 BCD码”。

1.1.4.1.2 余3码相对于自然二进制码，加上3。

以0011~1100表示0~9个字符。

特点：加法可产生进位，但加法结果（不含进位）必须减去0011。

1.1.4.1.3 2421码最高bit的权值为2，且规定前5个和后5个镜像对称取反——前五个0+(0,1,2,3,4)，后五个1+(3,4,5,6,7) ，镜像对称码字后3位的模为“8”。

1.1.4.1.4 余3循环码取4-bit格雷码中连续10个代码组成，且仍保持其“单位距离”特性。

1.1.4.2 格雷码（循环码）格雷码（Gray Code），又叫作循环码。