ψ=U0
d3 故U 0 － Ad 6 0 d U d 得A d 6 0
0 0 0
0
d
x3 U d ( )x 6 0 d d 6 0
0 0 0
2 x U 0 0d 0 E ex ex ( ) x d 6 0 2 0 d
ql • 3.8证明：同轴线单位长度的静电储能 We 2C
证明：由高斯定理可以 求出同轴线内、外导体 间的电场强度为 ql E( ) 2 内外导体间的电压为 ql b U Ed d ln a a 2 2 a ql 2 则同轴线单位长度的电 容为C U ln(b a)
同轴线中单位长度储存 的磁场能量为
b b
2
ql
aБайду номын сангаас
b
则同轴线单位长度的静 电储能为： We ql 2 1 1 1 ql b ql 2 E dV ( ) 2 d ln 2 V 2 a 2 2 2 a 2C
b 2 2
• 3.13 在一块厚度为d的导电板上，由两个半径分别为 r1和r2的圆弧和夹角为α的两半径割出的一块扇形体。 试求(1)沿厚度方向的电阻（2）两圆弧之间的电阻 （3）沿α方向的电阻。设导电板的电导率为σ
z I O μ1＝μ0 μ2＝μ x
则磁化体电流的密度 1 d ( 0 ) I 1 d 1 J m M ez ( M ) ez ( ) 0 d 20 d
在磁介质表面，磁化电 流的面密度为 ( 0 ) I J mS M ez e z 0 20
r2 r1
I2 E2 rd
J2
I2 r2 E2 dr ln d r1
故得到两圆弧面之间的 电阻为 U2 1 r2 R2 ln I 2 d r1
(3)设沿方向的两电极的电压为 U 3，则有 U 3 E3rd
0

U3 由于E3大小与无关，故得E3 e r U 3 J 3 E3 e r I 3 J 3 e dS
• 3.19 同轴线的内导体是半径为a的圆柱，外导体是 半径为b的薄圆柱面，其厚度可以忽略不计。内、 外导体之间填充有磁导率分别为μ1、 μ2两种不同的 磁介质，设同轴线中通过的电流为I。试求（1）同 轴线中单位长度所储存的磁场能量（2）单位长度 的自感
解：同轴线的内外导体 之间的磁场沿 方向，在两种 磁介质的分界面上磁场 只有法向分量。根据边 界条件 可知，两种磁介质中的 磁感应强度 B1 B2 B e B (1)由安培环路定理，当 a
μ2 μ1
a
b
0 I 2 2B0 2 a
0 I B0 ( a) 2 2a 当a b区域内，有 ( H1 H 2 ) I B1 B2 1 2 I 即（ ） I , 故B e 1 2 ( 1 2 )
S3
dU3 dU3 r2 dr ln r r r1 故得到沿方向的电阻为 U3 R3 I 3 d ln(r2 r1 )
r2
1
• 3.15无限长直线电流I垂直于两种磁介质的分界面， 试求（1）两种磁介质中的磁感应强度（2）磁化 电流的分布
I 解：（ 1 ）由安培环路定律，可 得H e 2 0 I I B1 0 H e , B2 H e 2 2 (2)磁介质的磁化强度 ( 0 ) I 1 M B2 H e 0 20
解：（ 1 ）设沿厚度方向的两电 极的电压为U1，则有 U1 U1 E1 J1 E1 d d U1 2 2 I1 J1S1 (r2 r1 ) d 2 故得到沿厚度方向的电 阻为 U1 2d R1 I1 (r22 r12 )
d
(2)设内外两圆弧面电极之 间的电流为I 2 , 则 I2 I2 J2 S 2 rd U2
第三章 静态电磁场及其边值问 题的解
课后练习题
• 3.2 一个点电荷q1=q位于点P1(-a,0,0)，另一点电荷 q2=－2q位于点P2(a,0,0)，求空间的零电位面。
解：两个点电荷在空间 产生的电位 1 q 2q ( x, y , z ) 2 2 2 2 2 2 4 0 ( x a ) y z ( x a) y z q 2q 令 ( x, y, z ) 0，则有 ＝0 2 2 2 2 2 2 ( x a) y z ( x a) y z
0
• 3.7 无限大导体平板分别置于x=0,x=d处，板间充满 电荷，体电荷密度为ρ，极板的电位分别是0和U0， 求两极板之间的电位和电场强度。
x3 解此方程，得 － Ax B 6 0 d 在x 0处， 0，故B 0 在x d处， U 0
0
ψ=0 ρ(x)
即 : 4 ( x a) 2 y 2 z 2 ( x a) 2 y 2 z 2 5 5 故得： ( x a) 2 y 2 z 2 ( a) 2 3 3 5 4 零电位面方程是一个以 点（ a,0,0）为球心，以 a为半径的球面 3 3


2 d 1 x 2 解：两极板之间的电位 满足泊松方程 ＝－ ,即 2 － 0 dx 0 d