培优训练
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培优训练
27.坐标系中，点 O 为坐标原点，直线ｙ=２ｘ+４交 x 轴于点Ａ，交 y 轴于点 B,四边形 ABCO 是平行四边形，直线 y= -x+m 经过点Ｃ，交 x 轴于点Ｄ。
∴AQ=MN＝ AM 2 AN2 4……………………．1 分
∵∠PＡQ＝∠AMN ∠ACB=∠ANＭ＝90° ∴∠ＡBC=∠MAN
∴ｔan∠ABＣ＝tａn∠MＡＮ= MN 4
AC
∵taｎ∠ABC＝
AN 3
BC
∵NE∥KＣ ∴∠PＥＮ=∠PKC 又∵∠ＥNＰ=∠KCP
∴BC=6…………………．1 分
∵EF∥NＴ ∴∠NTC＝∠BFＨ=∠BPＣ
∵ｔaｎ∠NTC= tａn∠ＢPＣ= BC 2 PC
∴tａn∠NＴＣ= NC 2 CT
∴CT= 5 k = 5 32
3
∴ｋ= ………………．.1 分
2
3
∴ＣK=2× =3
2
BK=BC-CK=３
∵∠PＫC+∠DKE=∠ABＣ+∠ＢＤK ∠DKE＝∠ABC ∴∠ＢDK＝∠
∴ t 4 AR 2
∴AR＝ 1 t …….．１分 2
∴OＤ＝ＯN=6 ∴∠ODN=４5°
GQ
∵tａｎ∠ODN=
QD
∴ＤQ=t ………………….１分
又∵AD=AO+OD=2＋6=8 ∴EG=RQ＝8- 1 t －ｔ=８－ 3 t
2
2
（0＜t<4)………………..1 分
∴d= - 3 t +8……………1 分 2
=90° ∴∠PＡQ＋∠ＭAN=∠MAN＋∠ＡＭN=90° ∴∠ＰＡＱ=∠AMN……………………１分
∴∠BＡM＝∠AＮＭ
∵ＰQ⊥AB ＭN⊥ＡC ∴∠PＱA=∠ANM=9０° ∵ＡQ＝MN ∴△AQＰ≌△MＮA …………………1 分 ∴AN=ＰQ ＡM=ＡP ∴∠ＡＭB=∠APM ∵∠ＡPM=∠BＰC ∠BPC+∠PBＣ＝90° ∠AMB＋∠ABM=9０° ∴∠ABＭ=∠ＰBC ………………．.1 分 ∵PQ⊥ＡB PC⊥BC ∴ＰQ=PC …………………..１分 ∴PC＝ＡN…………………….．1 分 （２)解：如图 28-２ ∵NP=2 PC=3 ∴由（1)知 PC=AN=3 ∴ＡP=NC=5 AC=8 ∴AM=ＡP=5
∴OK=ＢC=2 ＣK=ＯＢ=４
∴Ｃ(2,４）
代入 y= -x＋ｍ得 4= －2+m ∴ｍ=6…………………….．1 分
(2）如图 27-２ 延长 DC 交 y 轴于 N 分别过点Ｅ、G 作 x 轴的垂线 垂足分别是 R、Q
则四边形 ERＱG、四边形 POＱG、四边形 EROP 是矩形
∴ＥR=ＰO=ＧQ＝ｔ ∵ｔan∠BAＯ= ER OB AR OA
PKC
taｎ∠PKC= PC 1 ∴tan∠BDK＝１ KC
过 K 作 KG⊥BD 于 G
ห้องสมุดไป่ตู้∵tan∠BDK=1
4
taｎ∠ABＣ=
3
∴设ＧK=4n 则 BG＝３n
４n
GD=
∴ＢK＝5ｎ=3
3
∴n=
5
21
∴BD＝4n+3n=７n＝ …………….．1 分
5
∵AB= AC2 BC2 ＝１0 AQ＝4 ∴BQ=AＢ-AQ=6 21 9
（1）求 m 的值; （2)点 P（0，t）是线段ＯB 上的一个动点（点 P 不与Ｏ,B 两点重合)，过点Ｐ作 x 轴 的平行线，分别交 AB,OC，DC 于点Ｅ，F,G。设线段 EG 的长为 d，求 d 与 t 之间的 函数关系式(直接写出自变量 t 的取值范围）；
（3)在（2）的条件下，点 H 是线段 OＢ上一点，连接ＢG 交 OＣ于点 M，当以ＯG 为
∴BH＝ 5 ∴Ｈ 4
5 11
O=4- =
44
11
∴Ｈ（0, ）……………１分
4
27. （201２黑龙江省哈尔滨市，2８，10 分)已知：在△AＢＣ中,∠ACＢ=90°，点 P 是线 段 AＣ上一点,过点 A 作 AＢ的垂线，交 BP 的延长线于点 M，ＭN⊥AC 于点 N，ＰQ ⊥ＡB 于点 Q,AQ=MN。
（3)解:如图 27-3 ∵四边形 ABＣD 是平行四边形 ∴AB∥OC ∴∠AB Ｏ=∠BOC
EP
1
∵BP＝4－t ∴tan∠ABO= =tan∠BOC=
BP
2
t
∴EP=2- ∴PG=d-EP=6-t………………１分 ∵以ＯG 为直径的圆经过点 M
2
∴∠OMG=90°………..1 分 ∵∠OPG=90° ∠MFＧ=∠PＦＯ
直径的圆经过点 M 时，恰好使∠BFＨ=∠ABO，求此时 t 的值及点 H 的坐标。
解:（1） 方法一：如图 27－１ ∵y=２ｘ+４
交ｘ轴和ｙ轴于Ａ、Ｂ
∴Ａ(-2,0) B(0，4）
∴OA=２ OB=4
∵四边形 AＢCO 是平行四边形
∴BC=OA＝2
过点Ｃ做 CＫ⊥x 轴于 K
则四边形 BOＫC 是矩形
（1)如图 1,求证：ＰC＝AＮ; （２)如图 2，点 E 是ＭN 上一点,连接 EP 并延长交 BＣ于点Ｋ,点 D 是 AB 上一点，连接 DK，∠ＤKE＝∠AＢC,ＥF⊥PＭ于点 H,交 BC 延长线于点 F,若ＮP＝２,PＣ=3,CK:ＣF＝2： 3,求ＤＱ的长。
解：（1)证明:如图 28-1 ∵BＡ⊥ＡM MN⊥AP
BP
1
∴∠BGP=∠BＯC ∴tａn∠ＢGP=
＝tan∠BOＣ=
PG
2
∴ 4 t 1 解得:t=2…………………1 分 6t 2
∵∠ＢFH=∠AＢＯ=∠ＢOC ∠OBF＝∠FBH
∴△BHF∽△BFO
∴ BH BF 即 BF2 BH • BO ∵OP=２ ∴PF＝1 Ｂ BF BO
P=2
∴ BF BP2 PF2 5 ∴5＝BH×４
∴△ＰNE∽△PCK
∴ NE NP ∵CＫ:CF=２：3 设 CK＝２ｋ 则 CF=3k CK PC
∴ NE 2 2k 3
NE 4 k 过Ｎ作 NＴ∥EF 交 CF 于 T 3
则四边形 NTＦE 是平行四边形
∴NＥ＝TF＝ 4 k 3
∴CT＝ＣＦ-TＦ=3k- 4 k = 5 k 33
∵EF⊥PＭ ∴∠BFＨ+∠HBF=90°=∠BＰＣ+∠HBF ∴∠BPＣ=∠BＦH
∴DＱ＝BQ-BＤ＝６－ = ………………………..１分
55
（２012•吉林）如图，在△AＢC 中，∠A=９0°,AB＝2ｃｍ,ＡC＝