X [m] X [ N m]
实序列 实部周期偶对称，虚部 周期奇对称
当x[k]是实序列周期偶对称时：X [m] X [ N m]
实序列，周期偶对称 实序列，周期偶对称
当x[k]是实序列周期奇对称时： X [m] X [ N m]
实序列，周期奇对称 纯虚序列，周期奇对称
第2章 离散傅里叶变换(DFT)
问题的提出
有限长序列的傅里叶分析
离散傅里叶变换的性质 利用DFT计算线性卷积 利用DFT分析信号的频谱
离散傅里叶变换的性质
1. 线性
2. 循环位移
3. 对称性 4. 序列的循环卷积 5. 序列DFT与z变换的关系
离散傅里叶变换的性质
1. 线性
X1[m] DFTx1[k ]
k
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x[(k 2) 5 ]R N [k ]
k
0 1 2 3 4
DFT时域循环位移特性
mn ~ ~ DFS {x[k n]} WN X [m]
DFTx[( k n) N ]RN [k ]
mn WN X [m]
时域的循环位移对应频域的相移
DFT{ x [k ]} X [(m)N ]RN [m] X [ N m]



时域共轭 频域周期共轭 ~ DFT{x [(k ) N ]RN [k ]} X [m] 时域周期共轭 频域共轭
DFT性质
离散傅里叶变换的性质
3. 对称性 (symmetry)
当x[k]是实序列时：
DFT性质
离散傅里叶变换的性质
序列的循环卷积步骤： （1）补零
（2）周期延拓
（3）翻转，取主值序列
（4）圆周移位
（5）相乘相加
DFT性质
例：计算序列的循环卷积
定义
x1 [k ]
N
N 1 x 2 [ k ] x1[n]x2 [(k n) N ]RN [k ] n 0
x[k ] x[ N k ]
当序列x[k]为实序列时，周期奇对称序列满足
x[k ] x[ N k ]
DFT性质
离散傅里叶变换的性质周期偶源自称序列周期奇对称序列DFT性质
离散傅里叶变换的性质
判断序列x[k]的奇偶性
DFT性质
离散傅里叶变换的性质
3. 对称性 (symmetry)
DFT性质
例：已知一9点实序列的DFT在偶数点的值为X[0]=3.1,
X[2]=2.5+4.6j, X[4]=1.7+5.2j, X[6]=9.3+6.3j, X[8]=5.58.0j。确定DFT在奇数点的值。
解：
根据实序列DFT的对称特性 X[m]=X *[N-m] 可得 X[1]=X*[91]= X*[8]= 5.5+8.0j; X[3]=X*[93]= X*[6]= 9.36.3j； X[5]=X*[95]= X*[4]= 1.75.2j; X[7]=X*[97]= X*[2]= 2.54.6j;
j 2 N m
x[ k ] z k
k 0
N 1
z e
j
2π N
m
x[k ]e
k 0
N 1
j
2π km N
x[k]的X[m]等于其z变换X(z)在单位圆上等间隔抽样
jIm(z)
2 m N j
z 平面
2 N
-1
0
1 2 ( N 1) N
Re(z)
单位圆 -j
由序列DFT表示序列z变换
X ( z)
N 1
k 0
x[k ]z
k
X [m]
N 1
k 0
km x[k ]WN
X [m] X ( z )
z e
j
2π m N
; m 0,1,, N 1
IDFT z 变换 X ( z ) X [ m] x[k ]
(1 z X ( z) N
离散傅里叶变换的性质
4. 序列的循环卷积
定义
N 1 x1 [k ] x 2 [ k ] x1[n]x2 [(k n) N ]RN [k ] n 0
定义
x1 [k ]
N
N 1 x 2 [k ] x1[n]x2 [(k n) N ]RN [k ] n 0
DFT循环位移特性
mn DFTx[(k n) N ] X [m]WN
DFT W x[k ] X [(m l ) N ]
lk N


时域的循环位移对应频域的相移
时域的相移对应频域的循环位移
离散傅里叶变换的性质
3. 对称性 (symmetry)
周期共轭对称(Periodic conjugate symmetry)定义为
4
x[k],N=4
3 2 1 0 1 2
1 h[(n)N] 0 1 2 3
1
h[k]
3
h[(1n)N]
1 0 1 2 3
0
1
1
2
3
h[(2n)N]
x[k] 4 h[k]
4 3 2 1 0 1 2 3
0
1
2
3
h[(3n)N]
1 0 1 2 3
离散傅里叶变换的性质
循环卷积的矩阵表示
例：N=4
y[0] h[0] h[1] h[2] h[3] x[0] y[1] h[1] h[0] h[1] h[2] x[1] y[2] h[2] h[1] h[0] h[1] x[2] y [ 3 ] h [ 3 ] h [ 2 ] h [ 1 ] h [ 0 ] x [ 3 ] h[0] h[3] h[2] h[1] x[0] h[1] h[0] h[3] h[2] x[1] h[2] h[1] h[0] h[3] x[2] [2] h[1] h[0] x[3] h[3] hDFT 性质
y[k ] x[(k n) N ]RN [k ]
DFT性质
序列的循环位移过程
DFT性质
序列的循环位移过程
x[k ], N 5
x[(k ) 5 ]
k
0 1 2 3 4
k
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x[(k 2) 5 ]
5 k=4 4 k=3 k=0 k=2 3 k=1 2 1
卷积定理
时域卷积定理
DFTx1[k ] N x2 [k ] X1[m] X 2 [m]
时域的卷积对应频域的乘积 频域卷积定理
1 DFTx1[k ]x2 [k ] X1[m] N X 2 [m] N
时域的乘积对应频域的卷积
序列DFT与z变换的关系
X [ m] X ( z )
z e
X2 [m] DFT x2 [k ]
DFTax1[k ] bx2 [k ] aDFTx1[k ] bDFTx2 [k ]
aX1[m] bX2 [m]
需将较短序列补零后，再按长序列的点数做DFT
DFT性质
离散傅里叶变换的性质
2. 循环位移 (圆周移位) 循环位移定义为
N
) N 1
m0
X [m] m 1 z 1WN
(内插公式)
x[k ] x *[(k ) N ]RN [k ] x *[ N k ]
周期共轭反对称(Periodic conjugate antisymmetry)定义为
x[k ] x *[(k ) N ]RN [k ] x *[ N k ]
当序列x[k]为实序列时，周期偶对称序列满足