HUAZHONG UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Wuhan 430074, Hubei, P. R. China 中国·武汉 Tel(027)《计算材料学》课程设计指导老师：江建军教授电子科学与技术系 2004 年 6 月电子 0102B3 组1HUAZHONG UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Wuhan 430074, Hubei, P. R. China 中国·武汉 Tel(027)微波介质陶瓷的介电特性数值计算万文涛 洪毅 黄文佳 陈婷 杨伟伟 王旭曦 袁大双 黄钏 饶伟 贺策林 李树平 （华中科技大学电子科学与技术系，武汉 430074）摘要：对于微波介质陶瓷,建立数学模型,讨论了介电常数与组分，温度，频率的关系。
对于组分，重点讨论运用蒙特卡罗有限元法计算出波介质陶瓷的宏观介电常数 ε m ，结果显示由二维模型和三维模型计 算得出的介电常数 ε m 大小位于串并联模型之间,而且由二维模型计算得出的介电常数 ε m 比由三维模型得 出的结果小，因为实际的一个由两相构成的微波介质陶瓷的相都是以三维形式分布的,所以由三维模型计 算出的介电常数 ε m 比用二维计算的结果要精确；对于频率，介电常数随它的变化不明显；由于温度的变 化灰引起结构以及组成物质的相的变化，只讨论了BaTiO3一类MWDC和温度的变化关系。
关键词：微波介质陶瓷；蒙特卡罗有限元法；介电常数；二相化合物Dielectric Properties Culculated of MicroWave Dielectric Ceremoes(MWDC) ( Department of Electronics Science & Technology,Huazhong university,Wuhan 430074,China)Abstract: As to the MicroWave Dielectric Ceremoes, the mathematics model is established,and the relations between dielectric constant and many factors is discussed,such as component,temperature and frequency.In the aspect of component, great importance is taken to using monte carlo and finite element method to culculate the macro dielectric constant of MWDC 。
The results are displayed in curves ,which use two-dimension and three-dimension models and are manifested between the results of serial model and parallelmodel.Furthermore,the values which are simulated in two-dimension model are smaller than the ones in three-dimension,for the two-phase MWDC are distributed in three dimensions actually.So it’s preciser to use the three-dimemsion model.In the frequency of microwave,the dielectric constant doesn’t vary obviously.Besides, the changes of temperature can lead to the varieties of the construction and phases of materials,so we only discuss the changes with temperature of BaTiO3。
Keywords:MWDC,Monte Carlo method,finite element method,two-phased materies电子 0102B3 组2HUAZHONG UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Wuhan 430074, Hubei, P. R. China 中国·武汉 Tel(027)1 引言微波介质陶瓷(MWDC)是近十余年才迅速发展起来的一类新型功能电子陶瓷。
以其优异的微波介电 性能在微波电路系统中发挥着介质隔离，介质波导以及介质谐振等一系列电路功能，并正在为微波电路 的小型化，集成化，商品化做出重要贡献。
应用于微波电路的介质陶瓷，除了必备的机械强度，化学稳 定性及经时稳定性外，应满足如下介电性能的要求：在微波频率下相对介质常数εr应大;在微波频率下 的介质损耗tanδ应很小，或换言之品质因数Q(1/tanδ)应很高;谐振频率温度系数τf应很小。
微波介 质陶瓷的介电常数的影响因素有组分,频率,温度. 对于组分,一般情况下，对于单一相的由某一化合物构成的微波介质陶瓷，除非能够用实验仪器直 接测量其介电常数，否则很难直接从公式计算出其介电常数，而在微波介质陶瓷这一领域，也有很多是 以两相和多相存在的，对于每一相的介电常数的具体值，我们往往都能通过查找各种关于微波介质陶瓷 介电特性的资料得到，这样如何从各相的介电常数比较精确地计算出混合相的介电常数问题，我们就必 须解决了。
微波介质陶瓷是一个典型的多相体系，一般说来，它既含有主晶相，又含有副相。
例如：在 BaO-Sm2O3-TiO2体系中，除了有BaO•Sm2O3•TiO2主晶相外，还有一定的副相Ba2Ti9O20存在。
多相体系 的介电常数取决于各相的介电常数，体积浓度，以及相与相之间的配置情况。
， 对于多相的情况,设每相的介电常数分别为 ε1 , ε 2 ,… ε t ，浓度分别为X1,X2,…Xt（X1+X2+…+Xt =1） 现阶段可用于计算的模型有串并联和对数模型:ε = x1ε1 + x2ε 2 + " + xt ε tε −1 = x1ε1−1 + x2ε 2−1 + " + xt ε t−1ln ε = x1 ln ε1 + x2 ln ε 2 + " + xt ln ε t(并联模型) (串联模型) (对数模型)并联模型和串联模型实际上代表了两种极端的情况,它们分别给出了 ε m 的上限和下限,用它们计算 ε m 与 实验结果相差很大,实际中很少采用.对数模型在计算 ε m 时相对精确一些,应用比较广泛,但是这种模型并 未真正从材料介电特性的物理本质出发,它只能定性反映复合介质介电常数的大致变化趋势,不能作为精 确的定量计算公式.为了更加精确的计算微波介质陶瓷的宏观介电常数,引入蒙特卡罗有限元分析,得到了 比较精确的模型. 对于频率和温度,由于用于微波频段的微波介质陶瓷器件应该在该频段稳定工作,所以介电常数在该 频段应该为一常数.至于温度,由于其变化会引起微波介质陶瓷的结构和它的组成相发生变化,所以也较难 讨论,但是对于钙钛矿型的微波介质陶瓷我们可以通过简单的模型来讨论它的介电常数与温度的关系.2 介电常数与组分的关系电子 0102B3 组 3HUAZHONG UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Wuhan 430074, Hubei, P. R. China 中国·武汉 Tel(027)2.1 由二相化合物构成的 MWDC 的介电常数的计算2.1.1 电磁学原理 用右图 1 所示的长方形方格代表一微波介质陶瓷，在 x,y 方向的边 长分别为 nx , n y (图 1)。
介质区介质的（相对）介电常数不是常量，而 是坐标的函数，即 ε = ε ( x, y ) 。
介质区的底面（y=0）为负电极，施加 零电位；顶面（y= n y ）为正电极，施加正电位 u0 。
从而介质内部电位 分布 u = u ( x, y ) 满足： u ( x,0) = 0 ； u ( x, n y ) = u0 介质内任一点的电场强度为： E = −∇u (1)图 1:长方形单元格及其划分在忽略介质区外电场能量的情况下，电容器的总静电储能为：W=→ 1 1 ε ( x , y ) | E ( x, y ) |2 dxdy = ∫∫ ε ( x, y ) | ∇u ( x, y ) |2 dxdy （2） ∫∫ 2 S 2 S式中积分域 S 为整个介质区域（ （2）式及（4）式省去了真空电容率 ε 0 项，对问题的实质及计算结果 并无影响） 。
根据电磁场中的汤姆逊原理，在一定的边界条件和初始条件下，电磁场的分布必使该电 磁场所具有的能量达到最小，因此有∂W / ∂u ( x, y ) = 0 ， ∀( x, y ) ∈ S （3）根据（2）式和（3）式，并结合边界条件（1）式，设法求得介质内的电位分布 u ( x, y ) ，在代入（2） ，则其电容量和储 式可求出储能 W。
对于上述平行板电容器，如果介质的宏观介电常数为 ε m （未知） 能分别为： C = ε m nx / n y （4）1 2 （5） W = Cu0 2由（4） ， （5）二式可得 ε m 的计算公式： ε m = 2n yW / nxu0 （6）22.1.2 用 MC-FET 法建模 上述（1）~（3）式为连续形式，为了便于计算机求解，按照有限元法的 思想，利用完全二次多项式插值将介质区的连续场离散化，最终（1）~（3） 式转化为线性方程组求解。
作为实际两相复合介质中两相以微粒形式混合情况的近图 2:单元格的填充，并将这些单元格按照图 1） 所示 似，将长方形方格划分为 nx × n y 个单位正方形单元格（如图 1）电子 0102B3 组 4HUAZHONG UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Wuhan 430074, Hubei, P. R. China 中国·武汉 Tel(027)的规律编号，第 I 个单元格的介电常数为 ε i 。
用计算机产生两相的随机 分布，使两相体积比为 V1 : V 2 。