§1．4整式与分式★课标视点把握课程标准, 做到有的放矢1.了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）。
2.了解整式的概念，会用简单的整式的加、减运算；会进行简单的整式的乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式相乘）。
3.会推导乘法公式：（a+b）（a-b）=a2-b2；（a+b）2=a2+2ab+b2，了解公式的几何背景。
4.会用提取公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。
5.了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减乘、除运算。
★热点探视把握考试脉搏, 做到心中有数1.把记作＋ C. D. (2009丽水市)2.计算：a2·a3的结果是( )A．a9 B．a8 C．a6 D．a5. (2009泉州市)3.下列运算正确的是A． B．C． D．(2009长沙市) 4.下列运算正确的是( )．A． 6a+2a=8a2 B． a2÷a2=0C． a-(a-3)=-3 ·a2=a5. 因式分解4—4a+a2，正确的是( )．A．4(1-a)+a2 B．(2-a)2 C． (2-a)(2-a) D． (2+a)2(2009 玉林) 6．已知：a＋b＝m，ab＝－4, 化简（a－2）（b－2）的结果是A. 6B. 2 m－8C. 2 mD. －2 m (2009厦门)7．(2009 扬州)8．计算的结果为（）.（A）1 （B）x+1 （C）（D）（2009 武汉）9．若代数式的值是零，则＝；若代数式的值是零，则 ; 当x时，式子有意义． (2009 镇江)10.如下图是由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算下图中阴影部分的面积，可以验证的一个公式是 .（ 2009泰州）aba－b b第10题案例导学题型归纳引路, 做到各个击破【题型一】整式的概念及整式的乘法运算【例1】1.(1) 下列计算正确的是( )A.(-x)2009=x2009B.(2x)3=6x3 +3x2=5x2÷x2=x3(2)下列运算正确的是（）A. B.C D.(3)挪威数学家阿贝尔，年轻时就利用阶梯形，发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：右图是一个简单的阶梯形，可用两种方法，每一种把图形分割成为两个矩形．利用它们之间的面积关系，可以得到：a1b1+a2b2=A . a1(b1－b2)+(a1+a2)b1B . a2(b2－b1)+(a1+a2)b2C. a1(b1－b2)+(a1+a2)b2D. a2(b1－b2)+(a1+a2)b1(4)现规定一种运算：，其中、为实数，则等于A． B. C. D.2．计算3.计算：（a2＋3）（a－2）－a（a2－2a－2）【解】1．故应选（B）（a2＋3）（a－2）－a（a2－2a－2）＝a3－2a2＋3a－6－a3＋2a2＋2a＝5a－6【导学】题设规定了一种新的运算“*”，要求考生按照“*”的运算法则解决与之有关的计算问题：【题型二】乘法公式【例2】1.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A.B.C.D.【解】【导学】1. 代数式的几何解释或创设实际背景时把握情景或背景应该合理为原则，如“如果一个苹果4元，那么4表示个苹果的价钱”这样的解释欠妥．【题型三】因式分解【例3】1.下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为：A.，B.C. .2.在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x－y)=0，(x+y)=18，(x2+y2)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是：(写出一个即可)．在实数范围内分解因式：ab2－2a＝_________.（2）若，ab＝4，则＝．(3)如果，那么代数式的值为…………………………（）A、6B、8C、—6D、—8(3)若．求的值是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【导学】1.观察规律知;2. 折叠时动手操作即可.【题型四】分式运算【例4】1．计算的结果是A. B. C. D. (2009 威海)2.已知若ab＝35，则a＋bb的值是( )A.85B.35C.32D.583. 化简的结果是（）A. B. C. D.4.下列分式的运算中，其中结果正确的是：A . B.， C.，D.5．先化简后求值：其中x＝2６．计算：解：2.∵＝＝＝＝1.所以，在右边代数式有意义的条件下，不论x为何值，y的值不变。
解：【导学】本题用到“消元法”.注意没有必要分步运算.★智闯三关发挥聪明睿智,关公怎比我强核心知识----基础关1．下列运算正确的是A. B. C. D.2．实验表明，人体内某种细胞的形状可近似地看作球，它的直径约为，则这个数用科学记数法表示是（）A. B. C. D.3．利用因式分解符合简便计算：57×99＋44×99－99正确的是A．99×(57＋44)＝99×101＝9999 ×(57＋44－1)＝99×100＝9900×(57＋44＋1)＝99×102＝10098 ×(57＋44－99)＝99×2＝1984. 下列各式中运算不正确的是（）A. B.C. D.5．化简x－y－(x+y)的最后结果是( )C.－2y－2y6.分解因式a－ab2的结果是( )(1+b)(1－b) (1+b)2(1－b)2 D.(1－b)(1+b)7．把多项式分解因式，结果是( )A. B.C. D.8．已知：a＋b＝m，ab＝－4, 化简（a－2）（b－2）的结果是A. 6B. 2 m－8C. 2 mD. －2 m9．在有理数范围内，下列各多项式能用公式法进行因式分解的是 C A．a2－6a B．a2－ab + b2C． D．10.若使分式的值为0，则的取值为（）Ａ．1或Ｂ．或１Ｃ．Ｄ．或11．计算：2(x＋1)－x= ．12．因式分解：3－= ．13．多项式是一个完全平方式，则M等于（填一个即可）。
14.如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为____.1５．如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于的恒等式。
核心能力-----技能关1６. 已知，求A+B；ab a b1７. ，其中，．1８．化简：1９.先化简，再求值：（）÷，其中x=2009解：原式=·==.核心精神---创新关２０.已知两个分式：A=，B=，其中x≠±2．下面有三个结论：①A=B；②A、B互为倒数；③A、B互为相反数．请问哪个正确为什么2１．有这样一道题：“计算：的值，其中．”甲同学把“”错抄成“”，但他的计算结果也是正确的．你说这是怎么回事解：∵ ===0与的取值无关．∴错抄成不影响结果．22.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：面积；⑵你能否由公式①推导出公式②请试试.【解】23．阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”.显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 .(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；(2) 如图8②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图8②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；(3) 若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图8③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.解:(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.(2) 此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面积相等. (3) 此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小 .证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则L1=+2a，L2=+2b，L3=+2c .∴L1- L2=(+2a)-(+2b)=2(a-b)，而ab>S，a>b，∴L1- L2>0，即L1> L2 .同理可得，L2> L3 .∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小.24.为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校．（1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；（2）设第k所民办学校所得到的奖金为元（1），试用k、n和b表示（不必证明）；（3）比较和的大小（k=1，2 ，……，），并解释此结果．(2009 扬州)【解】第二所学校的奖金为；第三所学校的奖金为由此可以推断:.∵>0,∴,说明排序靠前的奖金多于后者.或者按下列比较说明:∵,∴.即奖金分配原则从排序高到低逐渐按的比例递减,符合奖优实际.。