培优点20 抛物线的焦点弦问题直线与抛物线相交的问题，若直线过抛物线的焦点，可使用焦点弦长公式求弦长，利用焦点弦的特殊结论求解题目．例1 (1)(2020·临沂模拟)已知F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AB 的中点为C ，过C 作抛物线准线的垂线交准线于C ′，若CC ′的中点为M (1,4)，则p 等于( )A ．4B ．8C ．4 2D ．8 2 答案 B解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵M (1,4)，∴y 1＋y 2＝8， 又C ⎝⎛⎭⎫2＋p 2，4，F ⎝⎛⎭⎫p2，0， ∴k AB ＝2，∴直线AB ：y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p2， 代入y 2＝2px ， 得y 2－py －p 2＝0， ∴y 1＋y 2＝p ＝8.(2)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A ．4 B.92 C ．5 D ．6答案 B解析 不妨设点A 在x 轴的上方，如图，设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于点E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ， 则|AF |＝2m ，|AB |＝3m ， 由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ， 所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2 θ＝8cos 2 θ，所以sin 2 θ＝89.由y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式得|AB |＝2p sin 2 θ＝92.例2 已知抛物线C ：y 2＝8x ，P 为C 上位于第一象限的任一点，直线l 与C 相切于点P ，连接PF 并延长交C 于点M ，过P 点作l 的垂线交C 于另一点N ，求△PMN 的面积S 的最小值． 解 设P (x 0，y 0)(y 0>0)，M ⎝⎛⎭⎫y 218，y 1，N ⎝⎛⎭⎫y 228，y 2，切线l 的方程为x －x 0＝t (y －y 0)， 则FM →＝⎝⎛⎭⎫y 218－2，y 1，FP →＝⎝⎛⎭⎫y 208－2，y 0，由M ，F ，P 三点共线，可知FM →∥FP →， 即⎝⎛⎭⎫y 218－2y 0－⎝⎛⎭⎫y 28－2y 1＝0， 因为y 0≠y 1，所以化简可得y 0y 1＝－16.由⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝t (y －y 0)，y 2＝8x ，可得y 2－8ty ＋8ty 0－8x 0＝0， 因为直线l 与抛物线相切，故Δ＝64t 2－32ty 0＋4y 20＝0，故t ＝y 04. 所以直线PN 的方程为y －y 0＝－y 04(x －x 0)，即y 0x ＋4y －4y 0－y 308＝0，所以点M 到直线PN 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪y 21y 08＋4y 1－4y 0－y 308y 20＋16，将y 1＝－16y 0代入可得d ＝⎪⎪⎪⎪32y 0＋4y 0＋y 308y 20＋16＝(y 20＋16)28|y 0|y 20＋16，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 0x ＋4y －4y 0－y 308＝0，y 2＝8x ，消去x 可得，y 0y 2＋32y －y 30－32y 0＝0，所以y 0＋y 2＝－32y 0，y 2＝－32y 0－y 0，|PN |＝1＋16y 20|y 0－y 2|＝1＋16y 20⎪⎪⎪⎪2y 0＋32y 0＝2(y 20＋16)y 20＋16y 20，故S ＝12d |PN |＝12×(y 20＋16)28|y 0|y 20＋16×2(y 20＋16)y 20＋16y 20 ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20＋16y 03＝18⎝⎛⎭⎫y 0＋16y 03≥18⎝⎛⎭⎫2y 0·16y 03＝64， 当且仅当y 0＝4时，“＝”成立，此时，△PMN 的面积S 取得最小值，为64.设AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的一条焦点弦，焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)1|AF |＋1|BF |＝2p. (3)|AB |＝2psin 2α(α为弦AB 所在直线的倾斜角)．1．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30° 的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94答案 D解析 由已知得焦点为F ⎝⎛⎭⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即4x －43y －3＝0. 方法一 联立直线方程与抛物线方程， 化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.方法二 联立直线方程与抛物线方程得x 2－212x ＋916＝0，故x A ＋x B ＝212.根据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为d ＝|－3|42＋(－43)2＝38， 因此S △OAB ＝12|AB |·d ＝94.2．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120° 的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A.13B.23C.34D.43 答案 A解析 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |， 即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，得|AF ||BF |＝13. 3．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135° 的直线，被抛物线所截得的弦长为8，则抛物线方程为____________________． 答案 y 2＝4x 或y 2＝－4x解析 如图所示，当抛物线开口向右时，可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则直线方程为y ＝－x ＋p 2.设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足为C ，D ，则由抛物线的定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线和抛物线的交点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋p 2，y 2＝2px ， 消去y ，得x 2－3px ＋p 24＝0，所以x 1＋x 2＝3p . 将其代入①，得p ＝2，所以所求的抛物线的方程为y 2＝4x .当抛物线开口向左时，设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 综上，抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .4.如图，已知点F (1,0)为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧，记△AFG ，△CQG 的面积为S 1，S 2.(1)求p 的值及抛物线的准线方程； (2)求S 1S 2的最小值及此时点G 的坐标．解 (1)由题意可得p2＝1，则p ＝2,2p ＝4，抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，k >0，与抛物线方程y 2＝4x 联立可得，k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 故x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝4k ，y 1y 2＝－4x 1×4x 2＝－4，设C (x 3，y 3)，由重心坐标公式可得， x G ＝x 1＋x 2＋x 33＝13⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋x 3， y G ＝y 1＋y 2＋y 33＝13⎝⎛⎭⎫4k ＋y 3， 令y G ＝0可得，y 3＝－4k ，则x 3＝y 234＝4k 2，即x G ＝13⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋4k 2＝13⎝⎛⎭⎫2＋8k 2， 由斜率公式可得，k AC ＝y 1－y 3x 1－x 3＝y 1－y 3y 214－y 234＝4y 1＋y 3，直线AC 的方程为y －y 3＝4y 1＋y 3(x －x 3)，令y ＝0，可得x Q ＝x 3＋－y 3(y 1＋y 3)4＝y 234＋－y 3(y 1＋y 3)4＝－y 1y 34，故S 1＝12×(x G －x F )×y 1＝12×⎣⎡⎦⎤13⎝⎛⎭⎫2＋8k 2－1×y 1＝y 12×⎝⎛⎭⎫83k 2－13， 且S 2＝12×(x Q －x G )×(－y 3)＝－y 32⎣⎡⎦⎤－y 1y 34－13⎝⎛⎭⎫2＋8k 2， 由y 3＝－4k ，代入上式可得S 2＝2k ⎝⎛⎭⎫y 1k －23－83k 2，由y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4可得y 1－4y 1＝4k ，则k ＝4y 1y 21－4，则S 1S 2＝y 12×⎝⎛⎭⎫83k 2－132k ⎝⎛⎭⎫y 1k －23－83k 2＝2y 21(y 21－2)(y 21－4)(y 21＋4) ＝2－4(y 21－8)＋48y 21－8＋16≥2－42(y 21－8)×48y 21－8＋16＝1＋32， 当且仅当y 21－8＝48y 21－8，即y 21＝8＋43，y 1＝6＋2时等号成立，此时k ＝4y 1y 21－4＝2，x G ＝13⎝⎛⎭⎫2＋8k 2＝2， 则点G 的坐标为(2,0)．。