由几何关系得：
Rsi3n00d R 2d mv
bq
由洛伦兹力提供向心力 qvB m V 2 R
T 2R 2m
v Bq
t1 2mmd
12 Bq 6Bq 3v
变式1：假如磁感应强度为B的磁场上下边界是长为L 的平行极板，板间距离也为L，板不带电，现让质 量为m，电量为q的带正电粒子(不计重力)，从左 边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场， 欲使粒子打在极板上，求粒子速度范围是多少？
解：最小速度为v1
R1
L 4
mv1 Bq
v1
BqL 4m
最大速度为v2：
(R2
L)2 2
L2
R22
R2
5L 4
mv2 Bq
v2
5BqL 4m
变式2:假如上述带电粒子，仍以大小为v方向与ad 边夹角为30°射入磁场，使粒子能打到ab板上， ab板足够长，求v的取值范围以及引范围内粒子 在磁场中运动时间t的范围.
解：过 a、b 两点分别作平行 x 轴和 y 轴的平行线且交于 P
点；过 P 点作角∠aPb 的角平分线，然后在角∠aPb 的平分
线上取一点 O`，以 O`为圆心，以 R 为半径作圆与 aP 和 bP
分别相切于 M 点和 N 点, 粒子的运动迹为 MN 的一段圆弧质
点在磁场中作圆周运动半径为：
R mv qB
加速后进入磁场时的速度为 v
qvB m v2 R
解得：
q m
3E 2Bd
（3）在电场中做匀加速运动，有
v 2
t1
d
在磁场中做匀速圆周运动，
v t2
7 R
6
解得：
t1 t2
63
7
三、由电荷的运动情况判断磁场情况
问题3．如图所示,一带电质点,质量为m,电量为q, 以平行于Ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中 第一象限所示的区域.为了使该质点能从x 轴上 的b 点以垂直于Ox 轴的速度v 射出,可在适当的 地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀 强磁场.若此磁场仅分布在一 个圆形区域内,试求这圆形磁场区 域的最小半径.重力忽略不计
解：最小速度对应 v1
R1sin300 R1
L 2
R1
L 3
mv1 Bq
v1
BqL 3m
最大速度对应 v2
v2
BqL m
R2
sin300
L 2
BqLv BqL
3m
m
R1
L
mv2 Bq
变式3:若在边界MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁
场方向垂直于纸面向里．P为屏上的一个小孔．PC与MN
垂直．一群质量为m、带电荷量为+q的粒子(不计重力)，
连接 MN，所求的最小磁场区域应以 MN 为直径的圆形区域。
故所求磁场区域的最小半径为：
R 2r 2mv 2 2qB
子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应
满足什么条件？
yB1Leabharlann B2vOx
解析：速度大小恒为 v，在 B1 与 B2 磁场区域中做匀速圆周 运动，轨迹都是半个圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分
别为 m 和 q，
mv
r1＝ qB1 ……①
mv
r2＝ qB2 ……②
d＝2（r2－r1）……③
粒子每经历一次“回旋”，粒子 y 坐标就减小 d。
以相同的速率v，从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区
域．粒子入射方向在与磁场B垂直的平面内，且散开在与
PC夹角为θ的范围内．则在屏MN上被粒子打中的区域的
长度为多少？ 解：最远距离为2R
1
2R
2
mv Bq
最近距离为x2
2
2Rcos2mvcos
Bq
12
2mv(1cos)
Bq
二、电荷在相邻的匀强磁场中的运动情况
mv B 1q mv B 2q
T T1
2m B 2q 2m B 1q
R1 B2 2 R2 B1 3
T B1 3 T1 B2 2
T1
2T 3
n 2R1 2 2R2 2R1
t 3 2 T 2T 23
变式1:若只知B1与B2两个匀强磁场中，磁场方向垂 直于纸面向里，且B1＞B2。一个带负电的粒子从 坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒
设粒子经过 n 次回旋后交于 On 点。 则满足 nd＝2r1 ④
式中 n＝1，2，3，……为回旋次数。由③④式解得 r1 n ⑤ rn n 1
由①②⑤式可得 B1、B2 应满足的条件
B2 n B1 n 1
n＝1，2，3，……⑥
变式2:如图所示，MN是相距为d 的两平行金属板，O、为两 金属板中心处正的两个小孔，N板的右侧空间有磁感应强 度大小均为B且方向相反的两匀磁场区，图中虚线CD为两 磁场的分界线，CD线与N板的距离也为d.在磁区内适当位 置放置一平行磁场方向的薄挡板PQ，并使之与O、连线处 于一平面内．现将电动势为E的直流电源的正负极按图示 接法接到两金属板上，有O点静止释放的带电粒子（重力 不计）经MN板间的电场加速后进入磁场区，最后恰好垂 直撞上挡板PQ而停止运动。试求：
（1）带电粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径；
（2）带电粒子的电性和比荷 ；
（3）带电粒子在电场中运动的时间t1与在磁场中运动的时 间t2的比值．
解（1）带电粒子在磁场中的运动轨迹 如图所示，由几何关系可得：
R2 (2d )2 (2R)2
解得： R 2 3 d
3
（2）带电粒子带负电，从加速电场
例2、如图所示，在x＜0与x＞0的区域中，存在 磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁 场方向垂直于纸面向里，且B1:B2=3:2，一个带 负电的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射 出，且已知粒子在B2中运动的周期为T，要使该 粒子经过多长时间后又经过O点？
y
B1 B2
v
O
x
解：
R1 R2
电荷在磁场中运动情况的探讨
江苏省灌云高级中学 郑勇 2012年3月
选修3—1
内容 45 洛伦兹力
46 带点粒子在匀强 磁场中运动
47 质谱仪和回旋加 速器的基本原理
Ⅱ 计算限于速度和磁感应
Ⅱ 强度垂直或平行两种 情况
Ⅰ
带电粒子在匀强磁场中运动的几个公式：
基本公式： Fn Bqv
Fn ma
导出公式： Bqv m v2 r mv
r
Bq
T 2r v
T 2m
Bq
一、电荷在匀强磁场中的运动情况
例1、如图所示，一束电量为q的带正电粒子 (不计重力)以速度v从A点垂直射入磁感应强 度为B，宽度为d的匀强磁场中，在B点穿过 磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角 是30°，求该粒子的质量和穿过磁场的时间？
30
0
300
解：带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动