• Surface plasmon (SP)
– Non-retarded regime – Electrostatic surface waves – Non-propagating collective vibrations of the electron
plasma near the metal surface
等离激元相关的几种尺度
衬底中的衰减长度 真空中的衰减长度 波长
传播长度
SP vs. SPP
• Surface plasmon polarition (SPP)
– Retarded regime – Electromagnetic surface waves that can propagate
along a surface. – Surface plasmon coupled with a photon
第五课:
表面等离激元
主要内容
体等离激元回顾 表面等离激元简介 表面等离激元的经典描述
✓ Retarded regime ✓ Non-retarded regime
表面等离激元的微观描述 表面等离激元的杂化理论 表面等离激元的激发和探测
✓ 电子激发 ✓ 光子激发
等离激元：起源于电子间的长程库伦相互作用
Hiy
将上两式代入麦克斯韦方程，可得：
其中：
（qi为x方向的波矢）
由边界条件： H1y H2y E1x E2x
上述方程组有解的条件为： 由束缚解的条件可得： i 0 由表面处的连续性条件可得：
12 0
要求：1 2
表面等离激元存在的条件（色散关系）
For q, ω is given by the solution of 1 2 0
ee--
ee--
微观尺度上电子密度的起伏：电子气体相对于正离子背景的集体振荡 !
纳米颗粒中的电子气的集体振荡
类比例子：容器中水波的振荡
等离激元的经典描述
设电子气相对与正电背景的位移为x，则产生的电场为：
E nex / 0
作用在每个电子上的恢复力为-eE，电子气的运动方程为：
d2x
n2e2 x
nm dt2 neE 0
d2x dt 2
2 p
x
0
其中： p
( ne2 )1/2
m 0
对应于频率为 ωp的简谐振动的运动方程！
在量子理论中，其振荡的能量ωp是量子化的，其能量量子称为等离激元。
表面等离激元
局域在表面（界面）附近的电子密度振荡
振荡波沿着表面方向传播
表面等离激元的经典描述 (non-retarded regime, light speed c)
真空-金属界面的等离激元
对于满足Drude模型的金属-真空界面：
1
1
2 p
2
2 1
可得：
2 p
c2q2
Bulk plasmon
cq
p
light
s p / 2
Surface plasmon
s
q s / c
c
Retarded regime
q s / c
Non-retarded regime
以上利用麦克斯韦方程讨论了表面等离激元的经典
图像，但是忽略量子效应的影响。实际上量子效应会
对系统电子的非局域响应和表面处电子密度的微观空 间分布产生很大的影响。在长波极限(q<<qF)，这些 量子效应一般可以被忽略。但是当等离激元的波长接 近原子尺度时，量子效应将变得非常明显。
Surface Plasmon的微观理论描述
qrLeabharlann c1r 1r 1
qi
c
1r 1r
1
3
/
2
1i 212r
定义传播长度：Li (2qi )1
对于 λ=633nm, Li=44μm (Ag), Li=14μm (Au),
穿透深度(Skin depth)
真空-金属界面等离激元的穿透深度
定义穿透深度：
真空中的穿透深度要大于金属，尤其是在长波极限。
(V,B)区域之外Surface Plasmon电场的表达式
z (V , B)
代入
代入
Dz
(B)
Dz
(V
)
iQ
B
V dzzdDx
(z)
/
dz
zDx
(B)
VDx
(V
)
考虑到：
(V = 0¯)
(B = 0+)
代入
Ex
(B)
Ez
(V
)
iQ
B
V dzzdEz
(z)
/
dz
zEz
(B)
VEz
(V
)
n+
n0
ε(ω)
d//
ε(ω)=1
z
B
0
d⊥ V
(V z B)
Di
(
z,
q,
)
()Ei (z, q,), Ei (z, q,),(z
(z B), V ).
对任意z:
方法：将 z=B 代入以上两式，得到表面两边的连接方程，再联立求解。 困难： 两个未知积分的存在！ 出路： 近似求解（Q<<1），在所有关于Q的表达式中精确到Q的一次项。 关键： Dx 和 Ez （仅仅需要其在Q=0 的情况下的表达式）。
z=0
n（ D2 D1)
n (E2 E1) 0
z≠0
代入
z=0
0,(z 0) (z) 1,(z 0)
Retarded regime (light speed c is finite)
由麦克斯韦方程组：
可以证明：s-polarized wave (TE mode) 在表面上不能存在！ 因此，我们只考虑 p-polarized wave (TM mode)：
由麦克斯韦方程组：
=0 =0
真空-金属界面的等离激元
δn
VACUUM
ε(ω)=1
Φ(z) n0
METAL ε(ω)
0
z
D(z,
q,)
(
z,
q,
)·E ( z,
q,
)
()E(z, q,), (z 0)
E(z, q,), (z 0)
由于沿表面的平移不变性：
根据Maxwell方程组（non-retarded limit）： z≠0
群速：dω / dk
传播长度 (Propagation length)
对于实际情况的金属，其介电函数还存在虚数项：
1
1
2 p
(
i)
1r
i1i
1/ 2
q
qr
iqi
c
1 2 1 2
由：
可知：表面等离激元沿着表面方向的传播是衰减的。
对于： 1r 0, 1r 1, 1r 1i ,2 1
1/ 2
考虑到：
(V = 0¯)
(B = 0+)
微观描述下表面等离激元的色散关系
d//(ω)和d⊥(ω)的示意图
xx RPA
(
z,
)
1
2 p
n0
(
z)
2n0 ()
d/R/ P（ A ）
d
d
dzz dz n0 (z) / dz dz n0 (z)
• 其中d// 对应于平衡状态下表面电荷的质心相对于凝胶边界（最 外层原子核向表面外延伸一个半晶格长度）的位置。