R 11 R= R 21 R 12 R 22
… R 1n … R 2n … … … R nn
co sf Σ df ( 20)
…
R n1
…
R n2 S ∫
0
矩阵中的元素可由脉动风压的功率谱密度函数通过数值积分而求得:
R ij ( Σ) =
∞
P iP j
( 21)
对矩阵 R 进行 Cho lesky 分解可得:
董 军1 , 邓洪洲2 , 刘学利2
( 11 南京建筑工程学院 土木系, 江苏 南京 210009; 21 同济大学, 上海 200092)
Ξ
摘 要: 研究了脉动风速和脉动风压的概率统计表达方法, 给出了有关公式。 采用时间
序列分析中 A R 模型方法实现了考虑空间相关性影响的高层建筑水平脉动风压时程模拟, 计 算简洁高效。 给出了应用实例, 结果合理。 关 键 词: 高层建筑; 风荷载; 时程模拟; A R 模型 中图分类号: TU 31113 文献标识码: A
w 2 2 2 2 Ρw f = E [w f ]= E [ (w - w ) ]= 4 2 Ρv v
2
( 7)
由零均值的高斯平稳随机过程的性质可知:
2 Ρv =
∫
0
∞
2 S v ( f ) d f Ρw f =
S ∫
0
∞
wf
(z , f ) d f
( 8)
将上两式代入式 ( 7) , 可得脉动风压功率谱密度函数为:
2 S v ( f ) = 4K v 10
X
2 3
2 4 f ( 1+ X )
( 3)
式中, X =
1 200f
v 10
, f 为频率 (H z) , v 10 为 10 m 高度处的平均风速 (m s) , K 为表面阻力系数。上
式得到了广泛应用, 我国规范也采用了此式。
2 风荷载的表达
根据空气动力学研究结果, 近地风可按无压缩流分析, 风速与风压的基本关系为:
w=
1 Χ 2 v 2 g
( 4)
式中, Χ 为空气容重, g 为重力加速度。 同样也可将其分为平均风压和脉动风压:
w=w+w
f
( 5)
显然, 平均风压由平均风速决定, 而脉动风压不仅与脉动风速有关, 而且与平均风速有关。 为了既反映各种因素对结构静力风荷载的影响, 又便于工程应用, 我国风荷载规范规定计 算静力风压的公式为[ 6 ]:
21
v (z ) = v 10
z
Α
10
( 2)
式中: v ( z ) 为离地高度 z 处的平均风速; v 10 为离地高度 10 m 处的平均风速; Α为地面粗糙度系 数。 脉动风为随机过程, 必须用概率统计方法描述。 由于脉动风速本身可用具有零均值的高斯 平稳随机过程来表达, 且具有明显的各态历经性, 功率谱密度函数是其最重要的统计特征, 反 映了某一频率域上脉动风的能量大小。 不同高度处测得的 90 多次强风记录, 认为水平脉动风 D avenpo rt 根据世界上不同地点、 速谱中, 紊流尺度沿高度是不变的, 可按下式计算[ 4 ]:
R = CC
T
( 22) 0 0 ( 23)
式中矩阵 C 为一下三角矩阵:
C 11 C= C 21
0
C 22
… …
…
C n1
…
C n2
… … … C nn
其中的元素可由如下的递推公式得到:
j- 1
R ij C ij =
∑C
k= 1
ik
C jk
i- 1
C jj
C 8× Α Λf ( z ) = 0. 5×35 ( 0116)
×
z
- Α
10
( 13)
由此可得结构高度 z 处脉动风压的均方差为: Λf ( z ) Λz ( z ) Λs ( z ) Λr Ρw f ( z ) = w Λ
0
( 14)
根据强风时的观察, 阵风作用下结构表面上不同位置风速和风向并不是完全同步的, 有时 甚至是几乎无关的。 因此, 确定建筑结构的脉动风压还必须考虑空间相关性。 根据 SH I O TAN I 的建议, 相关性可用如下形式的相干函数表达[ 5 ]: Θ ij ( x i , x j , y i , y j , z i , z j ) = exp (x j - x i ) 2
L
x
+
(y j - y i ) 2
L
y
+
(z j - z i ) 2
L
z
1 2
( 15)
式中: Θ 。 ij 为脉动风压相干函数; L x = L y = 50, L z = 60
3 脉动风时程模拟
在明确风及风荷载特征及其统计规律的基础上, 可用随机过程模拟的方法得到脉动风速 时程或脉动风压时程。 目前, 模拟方法分为谐波合成法[ 7, 8 ] 和线性滤波器法[ 9 ] 两类。 谐波合成法 (W AW S ) 及改进的谐波合成法 (CAW S ) 用一系列具有随机频率的余弦函数序列来模拟随机 过程, 当所需模拟的维数比较大时, 随机频率的生成相当耗费机时, 因为它要在每个频率上进 行大量运算。 同时, 应用谐波合成法时, 谱密度仅包含离散频率点, 需要考虑较多的点数, 占用 内存较多。 线性滤波器法则是将人工生成的均值为零、 具有白色谱的一系列随机数通过设计好 的过滤器, 使其输出为具有给定谱的随机过程。该法占用内存少, 计算快捷。近年来, 线性滤波 器法中自回归滑动平均模型 (A u to reg ressive M ove A verage M odels, 简记为 A RM A ) 和自回 归模型 (A u to reg ressive M odels, 简记为 A R ) 被广泛用于描述平稳随机过程, 取得了良好结果。 本文采用 A R 模型方法模拟高层建筑多变量互相关水平脉动风压时程。 设 n 维脉动风荷载向量为 P , 其自功率谱密度函数和互功率谱密度函数为: S P iP i = Ρw f 2 ( z i ) A i 2S f ( f )
∫S
- ∞
∞
f
( f ) d f = 1) , 则有: ( 11)
2 S w f ( z , f ) = Ρw f ( z ) S f ( f )
S f (f ) =
S w f (z , f )
Ρw f ( z )
2
=
2X 2 3f ( 1+ X 2 ) 4
3
( 12)
在实际应用中, 设计脉动风压取为脉动风压均方差 Ρw f 与保证系数 Λ 的乘积 ( Λ= 210～ ( GBJ 9- 87) [ 6 ] , 脉动风压与平均风压之比称为脉动系数 Λf: 215) 。 按照我国 《建筑荷载规范》
风灾是自然灾害中造成人员和财产损失最大的一种。 据统计, 全球每年由于风灾造成的损 失近百亿美元, 平均有约 3 万人死亡。 风灾损失的主要部分为工程结构的损坏倒塌及由此引起 的人员伤亡和财产损失。 为提高结构在风作用下的安全性, 传统结构设计思想主要是尽可能地 提高结构的抗力, 如增大截面、 增加刚度、 提高材料强度等。 然而这些技术措施存在较大的局限 性, 难以有效适应工程发展的迫切需要。 随着系统科学思想在结构工程中的应用和发展, 结构 控制已成为目前抵御风和地震等随机荷载作用最有发展前途的方向之一, 并已有多个成功应 用的工程实例[ 1～ 3 ]。 为全面了解结构的风振响应特性, 特别是直观地反映风振控制的效果, 进 行风振时程分析是最有效的途径之一, 为此需进行风荷载时程模拟。
S P iP j = Θ ij Ρ w f (z i ) Ρ w f ( z j ) A iA j S f ( f )
( 16) ( 17)
式中, Ρw f ( z i ) 、 Ρw f ( z j ) 为 i、 j 点处脉动风压的标准差, 见式 ( 14) ; A i、 A j 为 i、 j 点的迎风面积; z i、 z j 为结构第 i、 j 点的位置坐标。 脉动风荷载{P } 的功率谱密度函数最终可用矩阵表示为: S P = S PS f (f )
p
R ( j ∃ t) =
∑a
i= 1
ki p
R [ (j ki
i ) ∃ t ] j = 1, 2, …, p
( 27) ( 28)
R ( 0) =
∑a
i= 1
2 R ( i ∃ t) + Ρke j = 0
利用高斯消去法, 由式 ( 27) 可以求出模型各参数为:
24
南 京 建 筑 工 程 学 院 学 报 2000 年
ik
2
( 24)
则顺风向脉动风压向量 P 可表达为:
P ( t) = Cu ( t)
( 25)
式中, u ( t) 为 n 个互不相关的高斯随机过程 u k ( t) 组成的向量。由此可见, 脉动风荷载模拟的关 键是求得 n 个统计独立的随机向量 u k ( t) 。 在实际应用中, 应当用含尽可能少的参数的模型对时间序列建模。 文献 [ 9 ] 的研究表明, 低 阶的 A R 模型即可较好地模拟随机过程。 采用 p 阶自回归模型, u k ( t) 可表示为:
1 风的表达
风是大气层中空气相对地球表面的运动, 其成因十分复杂。 从本质上看, 主要是大气层吸 收地球表面辐射热导致空气温度、 密度、 湿度不均匀, 从而在大气层中形成压差, 引起空气流动 而形成风[ 4 ]。 任一高度处风速可表达为平均风速和脉动风速之和: v ( z , t) = v ( z ) + v f ( z , t) 律, 按实测结果可用指数函数表达[ 5 ]:
Ξ
( 1)
表征风特性的最重要指标之一是平均风速沿高度的变化规律。 平均风速沿高度的变化规