(3)由矛盾的结果说明假设不成立，从而肯定
原命题的结论正确
第26讲┃ 皖考探究
年份
2016 安徽
2016 芜湖
2017 芜湖
考情分析
考点内容
分值 呈现形式
垂径定理，勾股定理 4
选择
圆周角定理
5
填空
等边三角形，垂径定
理
4
选择
圆周角定理，三角函
数
4
选择
2017 安徽
垂径定理，勾股定理
5
2018 圆周角定理，平行四
图 26－2
第26讲┃ 归类示例
[解析] (1)根据垂直于弦的直径的性质和同圆或等圆中等 弧对等弦证明；(2)利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形 的判定证明DB＝DE＝DC.
第26讲┃ 归类示例
解：(1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC， ∴BD＝CD.∴BD＝CD. (2)B、E、C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上. 理由：由(1)知：BD＝CD，∴∠BAD＝∠CBD. ∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，∠DEB＝∠BAD＋∠ABE， ∠CBE＝∠ABE， ∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE. 由(1)知：BD＝CD，∴DB＝DE＝DC. ∴B、E、C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
(1)如图①，求证：△PCD∽△ABC； (2)当点 P 运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图②中 画出△PCD，并说明理由； (3)如图③，当点 P 运动到 CP⊥AB 时，求∠BCD 的度数．
图 26－4
第26讲┃ 归类示例
[解析] (1)由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直
角，即可得∠ACB＝90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角相等，即可得∠A＝∠P.(2)由△PCD∽△ABC，可
优弧 大于半圆的弧叫做优弧 劣弧 小于半圆的弧叫做劣弧
第26讲┃ 考点聚焦 考点2 确定圆的条件及相关概念
确定圆 的条件
不在同一直线的三个点确定一个圆
三角形的 三角形三边_垂__直__平__分__线____的交点，即三角形外
外心 接圆的圆心
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角
防错提醒 形的外心在直角三角形的斜边上，钝角三角形
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个
三角形是__直__角____三角形
第26讲┃ 考点聚焦 考点6 圆内接多边形
圆内接 多边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这 个多边形叫做圆内接多边形．这个圆叫做这个多 边形的外接圆
圆内接
四边形 圆内接四边形的对角_互___补__
的性质
第26讲┃ 考点聚焦
考点7 反证法
不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题
定义
的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛 盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成
立，这种方法叫做反证法
(1)假设命题结论的反面是正确的，即提出与
命题结论相反的假设；
步骤
(2)从假设的结论出发，通过逻辑推理、推出 与公理，已知的定理、定义或已知条件相矛盾；
第26讲┃ 归类示例
► 类型之四 圆周角定理及推论
命题角度： 1．利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数； 2．直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算．
第26讲┃ 归类示例
例 4 [2018·湘潭] 如图 26－3，在⊙O 中，弦 AB∥CD，若
∠ABC＝40°，则∠BOD＝
(D )
例 2 [2018·台州] 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露 出盒外，其截面如图 26－1 所示，已知 EF＝CD＝16 厘米，
则球的半径为___1_0____厘米．
图 26－1
第26讲┃ 归类示例 [解析] 首先找到EF的中点M，作MN⊥AD于点M，分别
交圆于G、N两点，取GN的中点O，连结OF，设OF＝x，则 OM＝16－x，MF＝8.
的外心在三角形的外部
第26讲┃ 考点聚焦 考点3 垂径定理及其推论
圆的 基本性质 垂径 定理
推论
总结
圆既是一个轴对称图形又是一个___中__心___对称图形，圆
还具有旋转不变性
垂直于弦的直径平__分__弦__，并且平分弦所对的两条弧
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对 的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并且平分弦所对的另一条弧 简言之，对于①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分 弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论 成立，那么其他的结论也成立
推论 2
推论 3
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角__相__等____， 都等于该弧所对的圆心角的__一__半____ 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_相__等___ 半圆(或直径)所对的圆周角是_直__角___；90°的圆周角所 对的弦是__直__径__
第26讲┃ 归类示例
► 类型之五 与圆有关的开放性问题
命题角度： 1. 给定一个圆，自由探索结论并说明理由； 2. 给定一个圆，添加条件并说明理由．
第26讲┃ 归类示例
例 5 [2018·湘潭] 如图 26－4，在⊙O 上位于直径 AB 的异侧 有定点 C 和动点 P，AC＝12AB，点 P 在半圆弧 AB 上运动(不与 A、 B 两点重合)，过点 C 作直线 PB 的垂线 CD 交 PB 于 D 点．
安徽
边形性质
5
填空 填空
预测热度 ★★★★ ★★★★
★★★
★★★★
★★★★
★★★★
第26讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 确定圆的条件
命题角度： 1. 确定圆的圆心、半径； 2. 三角形的外接圆圆心的性质．
例 1 [2018·资阳] 直角三角形的两边长分别为 16 和 12， 则此三角形的外接圆半径是1_0_或___8___．
在直角三角形OMF中，OM2＋MF2＝OF2， 即(16－x)2＋82＝x2， 解得x＝10.
第26讲┃ 归类示例
垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条弧相等及两 直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常 常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．
第26讲┃ 归类示例
► 类型之三 圆心角、弧、弦之间的关系
命题角度： 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．
第26讲┃ 归类示例 例 3 [2018·济宁] 如图 26－2，AD 为△ABC 外接圆的直径，
AD⊥BC，垂足为点 F，∠ABC 的平分线交 AD 于点 E，连结 BD、CD.
(1)求证：BD＝CD； (2)请判断 B、E、C 三点是否在以 D 为圆心，以 DB 为半 径的圆上？并说明理由．
图 26－3 A. 20° B. 40° C. 50° D. 80°
第26讲┃ 归类示例
[解析] 先根据弦AB∥CD得出∠ABC＝∠BCD＝40°， 再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出 ∠BOD＝2∠BCD＝2×40°＝80°.
第26讲┃ 归类示例
圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之 间的关系，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化．
知当PC＝AB时，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三
角形全等．(3)由∠ACB＝90°，AC＝
1 2
AB，可求得∠ABC的度
数，利用同弧所对的圆周角相等得∠P＝∠A＝60°，通过证 △PCB为等边三角形，由CD⊥PB，即可求出∠BCD的度数．
第26讲┃ 归类示例
解：(1)证明：∵AB为直径， ∴∠ACB＝∠D＝90°.
第26讲┃ 归类示例
圆是一个特殊的封闭图形，它具有一些特殊的性质，在给 定一个圆之后，可以得到不同类型的结论，与圆有关的开放型 问题是近年中考中的常见类型，由于此类试题新颖、灵活又不 难，广泛而又有科学尺度地考查了数学创新意识和创新能力， 所以此类问题成为中考的热点之一．在解决这些问题的时候， 要把握准圆的性质的应用．
第26讲┃圆的有关性质
第26讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 圆的有关概念
定义 1：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个 圆的 端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫 定义 做圆．固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径
定义 2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合 弦 连结圆上任意两点的__线__段____叫做弦 直径 经过圆心的弦叫做直径 弧 圆上任意两点间的部分叫做弧
又∵∠CAB＝∠DPC， ∴△PCD∽△ABC. (2)如图，当点P运动到PC为直径时， △PCD≌△ABC. 理由如下：∵PC为直径， ∴∠PBC＝90°，则此时D与B重合， ∴PC＝AB，CD＝BC， 故△PCD≌△ABC.
第26讲┃ 归类示例
(3) ∵AC＝12AB，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝30°，∠CAB＝60°. ∴∠CPB＝∠CAB＝60°. ∵PC⊥AB， ∴∠PCB＝90°－∠ABC＝60°， ∴△PBC为等边三角形． 又CD⊥PB， ∴∠BCD＝30°.
第26讲┃ 归类示例
(1)过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条 线段的垂直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段 的垂直平分线．事实上，三条垂直平分线交于同一点．
(2)直角三角形的外接圆是以斜边为直径的圆．
第26讲┃ 归类示例 ► 类型之二 垂径定理及其推论
命题角度： 1．垂径定理的应用； 2. 垂径定理的推论的应用．
第26讲┃ 归类示例
[解析] 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径 为斜边的一半，分两种情况：
①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半 径为8；