四 计算题1、空气中有一半径为R 的孤立导体球，令无穷远处电势为0，试计算：（1）该导体球的电容；（2）球上所带电荷为Q 时储存的静电能；（3）若空气的击穿场强为Eg ，导体球上能储存的最大电荷值。

答案：4πε0R , Q 2/(8πε0R ), 4πε0R 2E g解：（1）设导体球上带电荷Q ，则导体球的电势为：RQ U 04πε=孤立导体电容：R CQC 04πε==（2）R Q C Q W 02282πε== （3）Eg R Q E ≤=204πε Eg R Q M 204πε=2、一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a ，外筒半径为b ，筒长都是L ，中间充满相对介电常数为r ε的各向同性均匀电介质。

内、外筒分别带有等量异号电荷+Q 和—Q 。

设b-a<<a, L>>b, 可以忽略边缘效应，求：（1） 圆柱形电容器的电容 （填写A 、B 、C 或D ，从下面的选项中选取）； （2） 电容器储存的能量 （填写A 、B 、C 或D ，从下面的选项中选取）。

A 、[]02ln(/)r Lb a πεε B 、[]0ln(/)rLb a πεε C 、()20ln 4r Q b a LπεεD 、()20ln 2r Q b a Lπεε答案：A ，C解：由题给条件（b-a ）<<a 和L>>b, 忽略边缘效应应用高斯定理可求出两筒之间的场强为：E=Q/(20πεr εLr) 两筒间的电势差ab L Q r dr L qU r bar ln 2200επεεπε==⎰电容器的电容[])/ln()2(/0a b L U Q C r επε==电容器储存的能量()a b LQ CU W r ln 421022επε==3、一球形电容器，内球壳半径为R 1 外球壳半径为R 2 两球壳间充满了相对介电常数为r ε的各向同性均匀电介质，设两球壳间电势差为U 12, 求：（1）电容器的电容 ；（2）电容器储存的能量 。

A 、012214r R R R R πεε-B 、012212r R R R R πεε-C 、201212212r R R U R R πεε-D 、20121221r R R U R R πεε-答案：A ，C解： (1) 设内，外球壳分别带电量为+Q,-Q,则两球壳间的电位移大小为 D=Q/(24r π) 场强大小为2004r Q DE r rεπεεε==两球壳间电势差 ⎰⎰=⋅=212120124R R rR R r drQ r d E U επεϖϖ 210122104)()11(4R R R R Q R R Q r rεπεεπε-=--=电容 12210124R R R R U QC r -==επε （2）电场能量 W=1221221021222R R U R R CU r -=επε 4、两根平行“无限长”均匀带电直导线，相距为d ，导线半径都是R(R<<d)。

导线上电荷密度分别为λλ-+和。

试求该导体组单位长度的电容 。

A 、ln[()/]d R R πε- B 、02ln[()/]d R R πε- C 、04ln[()/]d R R πε-D 、8ln[()/]d R R πε-答案：A解：以左边的导线轴线上一点作原点，X 轴通过两导线并垂直于导线，两导线间x 处的场强为)(2200x d x E -+=πελπελ 两导线间的电势差为RR d R d R R R d dxx d x U R d R -=---=-+=⎰-ln )ln (ln 2)11(2000πελπελπελ 设导线长为L 的一段上所带电量为Q ，则有L Q /=λ，故单位长度的电容 5、一空气平行板电容器，两极板面积均为S ，板间距离为d （d 远小于极板线度），在两极板间平行地插入一面积也是S 、厚度为t （＜d ＝的金属片。

试求：（1） 电容C 等于 。

A 、04S d t ε- B 、02()S d t ε- C 、02S d t ε- D 、0Sd tε-答案：D（2） 金属片放在两极板间的位置对电容值有无影响？答案：无影响解：设极板上分别带电量+q 和－q ；金属片与A 板距离为d 1，与B 板距离为d 2；金属片与A 板间的场强为()S q E 01ε=金属片与B 板间的场强为S q E 02ε=金属片内部场强为0='E 两极板间的电势差为 由此得()()t d S U U qC B A -=-=0ε因C 值只与d 、t 有关，与d 1、、d 2无关，故金属片的安放位置对电容值无影响。

6、现有一根单芯电缆，电缆芯的半径为r 1 =15mm ，铅包皮的内半径为r 2 =50mm ，其间充以相对介电常数εr =2.3的各向同性均匀电介质。

求当电缆芯与铅包皮间的电压为U 12=600V 时，长为l=1km 的电缆中储存的静电能是多少？ （ε0=8.85×10-12C 2 N -1 m -2）A 、1.9×10-2JB 、1.9×10-3JC 、2.9×10-2JD 、2.9×10-3J 答案：A解：由高斯定理可求得 E=rr επελ02又 ⎰⎰⋅==⋅=2121120012ln 22r r r r r r r r r r dr r r d E U επελεπελ电场能量密度 22122120201)]/[ln(22121rr r U E ED W r r ⋅===εεεε 静电能 ⎰=vwdV W =⎰⋅2121)]/[ln(222122120r r r rdr rr r U πεε =)/ln()]/[ln(122122120r r r r lU r ⋅επε=2122120)]/[ln(r r lU r επε=1.9210-⨯J7、两电容器的电容之比为C 1:C 2=1:2。

（1） 把它们串联后接到电压一定的电源上充电，他们的电能之比是多少？ （2） 如果是并联充电，电能之比是多少？（3） 在上述两种情况下电容器系统的总电能之比又是多少？答案：2:1, 1:2, 2:9.解：（1）串联时两电容器中电量相等：W 1=Q 2 / (2C 1),W 2=Q 2 / (2C 2) ∴ W 1 / W 2 = C 2 / C 1 = 2/1 = 2:1 （2）并联时两电容器两端电势差相同：21121U C W =,22221U C W = W 1/W 2=C 1/C 2=1:2（3）串联时电容器系统的总电能：2212122121U C C C C U C W s s +== 并联时电容器系统的总电能：2212)(2121U C C U C W p p +==两者之比：9:2212)(12212221212122121=++=++=+=C C C C C C C C C C C C C C w W P s 8、半径为R 1的导体球，带电荷q ，在它外面同心地罩一金属球壳，其内、外半径分别为R 2 = 2 R 1，R 3 = 3 R 1，今在距球心d = 4 R 1处放一电荷为Q 的点电荷，并将球壳接地(如图所示)，试求球壳上感生的总电荷 ． A 、－[( 3Q / 4) +q ] B 、－[( 3Q / 2) +q ] C 、－[(Q / 4) +q ] D 、－[( 3Q / 8) +q ] 答案：A解：应用高斯定理可得导体球与球壳间的场强为()304/r r q E επ=ϖϖ (R 1＜r ＜R 2) 设大地电势为零，则导体球心O 点电势为：根据导体静电平衡条件和应用高斯定理可知，球壳内表面上感生电荷应为－q ． 设球壳外表面上感生电荷为Q'． 以无穷远处为电势零点，根据电势叠加原理，导体球心O 处电势应为： 假设大地与无穷远处等电势，则上述二种方式所得的O 点电势应相等，由此可得 Q '=－3Q / 4 故导体壳上感生的总电荷应是－[( 3Q / 4) +q ]9、如图所示，一空气平行板电容器，极板面积为S ， 两极坂之间距离为d ，其中平行地放有一层厚度为t (t <d )、相对介电常量为r 的各向同性均匀电介质板．略去边缘效应，当在两极板之间加上电势差U 时，试计算该电容器中的电场能量．A 、()2021/1r U S d t εε+-⎡⎤⎣⎦B 、()201/1r U S d t εε+-C 、()2041/1r U S d t εε+-⎡⎤⎣⎦D 、()2081/1r U Sd t εε+-⎡⎤⎣⎦答案：A解：设两极板之间空气中的场强为E 0，电介质中的场强为rE E 0=，则两极板之间的电势差为由此得 ()td UE r 1/10-+=ε电容器中的电场能量为 作法二： ()td SC r 1/10-+=εε10、如题图所示，1C =0.25μF ，2C =0.15μF ，3C =0.20μF ．1C 上电压为50V ．求：AB U ．答案：86V 解: 电容1C 上电量电容2C 与3C 并联3223C C C += 其上电荷123Q Q =∴ 355025231123232⨯===C U C C Q U 11、1C 和2C 两电容器分别标明“200 pF 、500 V”和“300 pF 、900 V”，把它们串联起来后等值电容是多少?如果两端加上1000 V 的电压，是否会击穿? 答案：120 pF, 400 V, 会击穿 解: (1) 1C 与2C 串联后电容 (2)串联后电压比231221==C C U U ，而100021=+U U ∴ 6001=U V ,4002=U V 即电容1C 电压超过耐压值会击穿，然后2C 也击穿．12、将两个电容器1C 和2C 充电到相等的电压U 以后切断电源，再将每一电容器的正极板与另一电容器的负极板相联．试求： (1)每个电容器的最终电荷:C 1 ；C 2 (2)电场能量的损失 ．A 、21212()C C C U C C -+ B 、11212()C C C U C C -+C 、212122C C U C C + D 、21212C CU C C +答案：B, A, C解: 如图所示，设联接后两电容器带电分别为1q ,2q则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=+2122112121201021U U U C U C q qU C U C q q q q解得 (1) =1q U C C C C C q U C C C C C 21212221211)(,)(+-=+-(2)电场能量损失13、半径为1R =2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为2R =4.0cm 和3R =5.0cm ，当内球带电荷Q =3.0×10-8C 时，求：(1)整个电场储存的能量 ；(2)如果将导体壳接地，计算储存的能量 ； (3)此电容器的电容值 ． A 、41.8210J -⨯ B 、41.0110J -⨯C 、124.4910F -⨯D 、104.4910F -⨯ 答案： A, B, C解: 如图，内球带电Q ，外球壳内表面带电Q -，外表面带电Q(1)在1R r <和32R r R <<区域 0=E ϖ在21R r R <<时301π4r rQ E εϖϖ=3R r >时 302π4rrQ E εϖϖ=∴在21R r R <<区域在3R r >区域∴ 总能量 )111(π83210221R R R Q W W W +-=+=ε(2)导体壳接地时，只有21R r R <<时30π4rrQ E εϖϖ=,02=W ∴ 4210211001.1)11(π8-⨯=-==R R Q W W ε J(3)电容器电容 )11/(π422102R R QW C -==ε 一、判断题1、从电容的定义式 可以看出, 电容的大小与极板的带电量成正比，与极板间的电位差成反比。