《数学分析选讲》 第一次作业
一、判断下列命题的正误
1. 设S 为非空数集。

若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.
2. 函数()sin =f x x 为(,)-∞+∞上的有界函数.
3．函数()sin cos f x x x =-既不是奇函数，也不是偶函数.
4. 若数列{}n a 收敛，则数列2{}n a 收敛.
5．若数列{}n a 有界，则数列{}n a 一定收敛.
6．若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 的任何子列都收敛.
7. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散.
8．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷.
9．若函数)(x f 在0x 的极限存在，则)(x f 在0x 处一定连续. 二、选择题
1．设2,1()3,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩
, 则 [(0)]=f f ( ) A 1 ； B 2 ； C 3 ； D 0
2．设函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数
， 则
1)=f （ ）．
A 1- ；
B 1 ；
C 0 ； D
12 3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（ ）
A 必不存在 ；
B 至多只有有限多个；
C 必定有无穷多个 ；
D 可以有有限个，也可以有无限多个
4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ ）．
A 收敛；
B 发散；
C 是无穷大；
D 可能收敛也可能发散
5．设lim ||2n n x →∞
=，则 （ ） A 数列}{n x 收敛； B lim 2n n x →∞
=； C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散； D lim 2n n x →∞
=-； 6．已知 2
lim()01
x x ax b x →∞--=+，其中b a ,是常数，则（ ）
A 1,1==b a ；
B 1,1-==b a ；
C 1,1=-=b a ；
D 1,1-=-=b a
三、计算题
1．求极限 8020
100
(31)(25)lim (51)→+∞+--x x x x . 2．求极限
0x →3． 求极限
2n n →∞++ .
4．考察函数),(,lim )(+∞-∞∈+-=--∞→x n n n n x f x
x x
x n 的连续性.若有间断点指出其类型. 四、证明题
设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞
→lim ，且b a <. 证明：存在正整数N ，使得当N n >时，有n n b a <.。