1. 对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片（仅纵切），建立碎纸片拼 接复原模型和算法，并针对附件 1、附件 2 给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼 接复原。
2. 对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附 件 3、附件 4 给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规 则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨 询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
3.1.1、附件 1 汉字拼接的模型建立：
附件 1 给出的是来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片（仅纵切），用 matlab 打开附件 1 的任意一幅图，都会得到一个 1980×72 数字矩阵。矩阵中，我们截取两个汉 字观察，图 1 为附件 1 中 000 图中第 1 行的“魂”字和第 12 行的“国”字，发现每个汉 字形成的区域大约占据 41×41 的位置。
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
碎纸片的拼接复原
摘要
本文要解决的是利用计算技术拼接破碎的文件，减少人工拼接的工作量，提高拼接效 率。
针对问题一，发现所有汉字均占据约 41×41 个像素点的空间。将汉字看做 41×41 的 正方形区域，拼接纸片的过程便转化为利用计算机拼接正方形区域的过程。首先将 19 个 矩阵 0-1 化处理，统计左右两端字的长度，人工干预找出位于首列的 008，其余图片与它 进行匹配，判断两个纸条是否匹配的标准是拼接成的汉字长度是否接近 41，选择匹配值 最高的碎片与之匹配，依次匹配最终得到整张的复原图像，称为“边缘宽度匹配”法。 复原顺序为：8 14 12 15 3 10 2 16 1 4 5 9 13 18 11 7 17 0 6。
附件 2 给出了英文的 19 条碎片，而英文单词甚至英文字母均不具有汉字的方正特点， 所以采用另一种拼接方法。因为将文字放大后，字母的形状是连续变化的，也就是说， 若一个汉字被切开了，则在切断面的左右灰度值是近似相等的。
用 matlab 汉灰度值读取每张图片，会得到一个数字矩阵，矩阵中每个元素代表图 像该点的灰度值。
关键词：0-1 化处理、边缘宽度匹配、边缘像素点匹配、上边界宽度匹配、投影波
峰图
一 问题重述
破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重 要的应用。传统的人工拼接方法很难在短时间内完成任务。而利用计算机技术，可以开 发碎纸片的自动拼接技术，提高拼接复原效率。现建立适当数学模型，利用计算机解决 以下问题：
6，建立 19 幅图的三维矩 阵 U( Zni , Yni , n )， zni 代表第 n 幅图片的第 i 行的左端长度，
yni 代表第 n 幅图片的第 i 行的
右端长度，将处理后得出来的 所有数据导入此矩阵之中。
7，人工干预：由于汉字 的左对齐特点，很容易找到整篇文章的最左列，即第一列为附件 1 中编号 008 的图片。
1×72 的矩阵，将它们拼接成为一个 27×72 的矩阵，令这个矩阵为 Aij
（1 ≤ i ≤ 27 ，1 ≤ j ≤ 72 ，ij 为整数），利用 Aij 的值划分汉字区域和空
白区域。
将 Aij 矩阵 0-1 化处理（0 表示汉字，1 代表空格）
图 2 行距
此处认为矩阵有连续三个以上为 1 处是字间距，包含最多一个为 1 的数字零区域为汉字 域（由于某些左右偏旁的汉字偏旁与部首之间错在空隙）。
8，用 zni 与 y8i 相加，合成一列矩阵，统计矩阵中和数值大小介于 41 和 41×阀值之
间的个数占所有不零数值的比例，我们命名此比例值为匹配度（此算法我们没有统计相 加为零的情况，排除了汉字中间有空白的情况，更加精确）。取使得匹配度最大的 n 对应 的图片与图 008 匹配。利用此算法类推可以得到附件一的复原图。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包 括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
B
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
ycu
参赛队员 (打印并签名) ：1.
4，统计矩阵两端汉字域的长度，方法如下见图 3： ①若 ai1 = 41 ，则记第一幅图第 i 行左端长度为 Z = 0 。 ②若 ai1 ≠ 41 ，从左到右连续三个元素相加，直到其累加 aiz + aiz + 2 + aiz + 3 = 3 为止，
记下此时的 i 值为 z ，记作第 i 行左端长度为 Z = z 。 ③若 ai72 = 1，则记第 i 行右端长度为Y = 0 。
针对附件 2，英文不具有汉字的固定长度特征。我们对上述方法改进，采用更加精细 的匹配。将切割边缘像素点 0-1 化（0 代表空白，1 代表有文字），人工干预找出位于首 列的图片 003，其余图片的边界像素值与其相加匹配，判断两个纸条是否匹配的标准是 2 或 0 个数的多少，选择匹配值最高的碎片与之匹配，依次匹配最终得到整张的复原图像， 称为“边缘像素点匹配”法。复原顺序为：3 6 2 7 15 18 11 0 5 1 9 13 10 8 12 14 17 16 4。
阵，1 ≤ k ≤ 19 。 ③人工干预：根据右对齐的特点找到第一列，第一列为 003，即第 4 幅图。
④用 Qk 矩阵与 H 4 矩阵分别相加，对应两个元素相等的情况和为 2 或 0，统计 2 与 0
的个数之和，命此值为匹配值。选出匹配值最大的与 003 匹配（类似比武招亲）。 再将此图片定为待匹配矩阵，用剩余 17 个矩阵与新的待匹配矩阵相匹配。依次类似
④若 ai1 ≠ 1 ，从右到左连续三个元素相加，直到其累加 ai72 − y + ai71 − y + ai70 − y = 3 为止，
记下此时的 i 值为 y ，记作第 i 行右端长度为Y = y 。将每一行的左右两端的长度分别放入
Z 、Y 矩阵。
5，对附件 1 中所有的图片 按照以上 1,2,3,4 步骤进行处 理，只取每一行的左右端长 度。
针对对于附件 5 拼接正反两面的纵横切碎片，我们考虑仍然运用对附件 4 英文的投影 波峰图法，matlab 编写程序寻找到 416 个图片的匹配中部值，以此为标准按行分类。位 于同一行的图片利用“边缘像素点匹配”法得到行的图片排序，进行人工干预，再对行 采用“边缘宽度匹配”法和人工干预得到最终排序表见附录 2。
二 模型假设
1、假设不考虑附件中所给的所有图片的扫描误差。 2、假设对于附件中所给的汉字都是等高等宽的正方形。 3、假设不用对所有图片进行去躁处理。
三 模型建立及求解
3、问题一模型建立及求解：
问题分析：
附件 1 给出了汉字 19 的条碎片，需要将这 19 条碎片进行排序复原，观察左右边缘 处，发现有很多文字被切开，因此碎片的拼接转化成，对边缘处被截断的汉字的拼接。 但计算机无法识别汉字，考虑到汉字是方正的，因此只需要拼接成一个汉字大小的文字 区域，就可近似认为是拼接成一个完整的汉字。
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：
（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔 细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）
日期： 2013 年 9 月 16 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
图 1 汉字示例图
所以将任意两个纸条拼接后，如果拼接边缘的某一对应位置的区域能够拼接为一 个大约 41×41 的正方形区域，则理解为这一位置拼接成了汉字。按此道理得出，两个纸 条的边缘能拼接成完整字的数量，记为匹配值，匹配值除以总的字数，定为匹配度。匹 配度越大，这两个纸条越匹配。称此方法为“边缘文字长度匹配”。 1，利用 matlab 调用函数（附录 2）将附件 1 中的所有图片转化为三维数字矩阵 image_1, 其中 image_1(i,j,k)表示附件一中第 k 张图的 i 行 j 列的灰度值。任取一张图片将其灰度化， 即可统计出顶端空行 37，汉字总行数 27，空行高度为 26。 2，将得到的矩阵 0-1 化处理，即将灰度值在 200-255 的数据化为 0，认为此处是空白， 将不是此区间的数据全部化为 1，认为此处是汉字。 ,分析碎片产生的矩阵，锁定汉字区域的具体位置，如图 2。Matlab 中提取一张碎片的第一行的汉字区域，会得到一个 41×72 的矩阵， 将矩阵按列累加化成 1×72 的和矩阵。据第一列的位置依次找出剩下 26 列汉字区域，对于每一行进行与第一行相同的处理，最后有 27 个
3.从现实情形出发，还可能有双面打印文件的碎纸片拼接复原问题需要解决。附件 5 给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。尝试设计相应的碎纸片拼接复原 模型与算法，并就附件 5 的碎片数据给出拼接复原结果。
如果复原过程需要人工干预，写出干预方式及干达。