3
12.3 对称性分布的静电场 1. 图中所示曲线表示某种球对称性静电场的场强大小 E 随 径向距离 r 变化的关系，请指出该电场是由下列哪一种带电 E 体产生的． E 1/ r 2 (A) 半径为 R 的均匀带电球面； (B) 半径为 R 的均匀带电球体； O R r (C) 点电荷； (D) 外半径为 R，内半径为 R / 2 的均匀带电球壳体． 答案：(A) 参考解答： 根据高斯定理，可得均匀带正电球面电场中的场强分布：
选择(A)，进入下面的思考： 1.1 如果通过闭合面 S 的电通量 Φe 为零，是否能肯定面 S 上每一点的场强都等于 零？ 参考解答： 不能肯定。若闭合曲面 S 上的 Φe S E d S 为零，并不能说明被积函数在 S 上处处为零。举两个小例子，如图（a）所示，点电 荷 q 在高斯面 S（S 不一定是球面，这里只是为画 图简单而画成了球面）之外，S 上的电通量为零， 但 S 上各处场强均不为零。另如图（b）所示，高斯 面 S 内有两个等量异号的点电荷， 同样是 S 上的电 通量为零，但 S 上各处场强均不为零。 “高斯面上的电通量为零，高斯面上的场强就为零”，这是在学习高斯定理时常有 的错误观念，一定要注意。 如果把本题的命题倒过来，即高斯面 S 上每一点的场强都等于零，那么肯定 有 S 上的电通量 Φe 为零。在导体问题的讨论中，我们正是“故意地”把高斯面 S 取在导体上，利用静电平衡时导体内场强处处为零的条件和高斯定理来分析某些 导体问题的。
E
1 l , 0
1 . 2 0 r r
对于所有选择，给出参考解答，进入下一题：
3. 图示为一具有球对称性分布的静电场的 E～r 关系曲线．请指出该静电场是由 下列哪种带电体产生的． (A) 半径为 R 的均匀带电球面． E 2 (B) 半径为 R 的均匀带电球体． E∝1/r (C) 半径为 R 的、电荷体密度为＝Ar (A 为常数) 的非均匀带电球体． O R r (D) 半径为 R 的、电荷体密度为＝A/r (A 为常数) 的非均匀带电球体． 答案：(B) 参考解答： 根据高斯定理， 求半径为 R 的均匀带电球体电场中的场强 分布： 电场分布有球对称性，方向沿径向，如图所示取闭合 曲面 S1 （球体内同心球面）和 S2 （球体外同心球面），设 均匀带电球体电荷体密度为，总电量 q.
6
进入下一题： 12.5 电场力作功 1. 点电荷-q 位于圆心 O 处，A、B、C、D 为同一圆周上的四点，如图所示．现 将一试验电荷从 A 点分别移动到 B、C、D 各点，则 (A) 从 A 到 B，电场力作功最大． -q A B O (B) 从 A 到 C，电场力作功最大． (C) 从 A 到 D，电场力作功最大． C D (D) 从 A 到各点，电场力作功相等． 答案：(D) 参考解答： 根据静电场力的功与电势差的关系： Aab a q0 E dl q0 (U b U a ) ， 点电荷位于圆心 0，则同一圆周上的各点，电势相同。将一试验电荷从 A 点分别 移动到 B、C、D 各点，因为电势差相同，则电场力作功相等。
b


对于所有选择，给出下面的相关资料： 2. 静电场的环路定理，静电力作功的特点。 参考解答： 静电场的环路定理： 静电场中场强 E 沿任意闭合路径的线积分等于零．其数学表达式为： E d l 0 .
L
它表示在静电场中把单位正电荷从某点出发经任意闭合路径回到原来位置， 静电场力作功等于零. 这表明静电场是保守力场． 静电力作功的特点： 电荷在静电场中移动过程，静电场力作的功只与电荷大小及路径的起点与终 点位置有关，与路径无关。 已知电势分布时，利用电势差的定义式，可求得电场力所作的功，将电荷 q0 从 a 点移至 b 点，电场力所作的功为： Aab Wab q 0 (U a U b ) .
1
ห้องสมุดไป่ตู้
进入下一题： 12.2 高斯定理
1. 根据高斯定理的数学表达式 E dS q / 0 可知下述各种说法中， 正确的是：
S
(A) (B) (C) (D)
闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零． 闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定处处不为零． 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定处处为零． 闭合面上各点场强均为零时，闭合面内一定处处无电荷．
2 C 处的总场强大小为： E E12 E 2 3.25 10 4 (N C 1 ),
总场强与分场强 E2 的夹角为 arctan
E1 33.69 0. E2
对于错误选择，给出下面的分析： 答案(A)不对。 你将 E E1 E 2 (1.8 2.7) 10 4 4.5 10 4 (N C 1 ) 作为解答。 错误是没有考虑场强的叠加，是矢量的叠加，应该用
E1 q1 1.8 10 4 (N C 1 ) ，方向向下． 4 0 ( AC ) 2
4.5104(NC-1).
(B)
3.25104(NC-1).
点电荷 q2 在 C 点产生的场强大小为
E2 q2 4 0 ( AC )
2
2.7 10 4 (N C 1 ) ，方向向右．
1 4 3q Ψ e S E d S S E d S 4r 2 E r 3 , ( ) 1 1 0 3 4R 3 1 q r r ( r R ), 3 0 4 0 R 3 1 Ψ e S E d S S E d S 4r 2 E q, 2 2 0 E
2 E E12 E 2 3.25 10 4 (N C 1 ),
进入下一题： 2. 真空中点电荷 q 的静电场场强大小为
1 q 4 0 r 2 式中 r 为场点离点电荷的距离．当 r→0 时，E→∞，这一推论显然是没有物 理意义的，应如何解释？ E
参考解答： 点电荷的场强公式仅适用于点电荷，当 r→0 时，任何带电体都不能视为点电 荷，所以点电荷场强公式已不适用． 若仍用此式求场强 E，其结论必然是错误的．当 r→0 时，需要具体考虑带电 体的大小和电荷分布，这样求得的Ｅ就有确定值．
q (r R) ， E 0 (r R) . 4 0 r 2
参考点
E d l 求电势。
U P P E d l P E d r, 当 r > R 时, U P P E d l P E d r r
因为 E 的方向沿径向，故选取沿径向的直线为积分路径，
答案：(C) 参考解答：
1 n 高斯定理的表达式： S E ds qi . 0 i 1 它表明：在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合面所 包围的电荷电量代数和的 1 / 0 倍。 对高斯定理的理解应注意：高斯定理左端的场强是曲面上的各点的总场强， 它是由全部空间电荷(既包括闭合曲面内的电荷，也包括闭合曲面外的电荷)共同 产生的电场强度的矢量和。高斯定理右端只对闭合曲面内的电荷求和，这说明通 过闭合曲面的电通量只取决于曲面内的电荷。尽管闭合曲面外的电荷对穿过整个 闭合曲面的电通量没有贡献，但对通过闭合曲面上的部分曲面的电通量却是有贡 献的。
E
q 4 0 r 2
( r R ).
对于所有选择，给出参考解答，进入下一题：
5
12.4 对称性静电场的电势分布 1. 图中所示曲线表示球对称或轴对称静电场的某一物理量随径向距离 r 变化的关 系，该曲线所描述的是(E 为电场强度的大小，U 为电势) ? (A) 半径为 R 的无限长均匀带电圆柱体电场的 E~r 关系． 1/ r (B) 半径为 R 的无限长均匀带电圆柱面电场的 E~r 关系． (C) 半径为 R 的均匀带正电球面电场的 U~r 关系． (D) 半径为 R 的均匀带正电球体电场的 U~r 关系． O R r 答案：(C) 参考解答： 已知电场的分布，且电场具有某种对称性，通常可由 U P P 例如：求均匀带电球面 (R, q) 电场中电势的分布。 已知 E
4
O
r
参考解答： 根据高斯定理，求“无限长”均匀带电直线 场中的场强分布： 电场分布有轴对称性， 方向沿径向， 如图所示 闭合曲面 S，设均匀带电直线电荷线密度为 .
电 取
Ψ e S E d S 上面 E d S 下面 E d S 侧面 E d S 侧面 E d S 2rlE
E q (r R) E 的方向沿径向， E 0 (r R) . 4 0 r 2
显然答案(A)正确。 对于所有选择，给出下面的相关资料： 高斯定理的应用 只有当电荷和电场分布具有某种对称性时, 才可用高斯(Gauss)定理求场强. 步骤: (1) 由电荷分布对称性分析电场的对称性； (2) 据电场分布的对称性选择合适的闭合曲面(高斯面)； (3) 应用高斯定理计算场强。 关键: 选取合适的闭合曲面高斯面。 进入下一题：
2. 图中所示为轴对称性静电场的 E～r 曲线，请指出该电场是由下列哪一种带电 体产生的(E 表示电场强度的大小，r 表示离对称轴的距 E 离) ． E 1/ r (A) “无限长”均匀带电圆柱面； (B) “无限长”均匀带电圆柱体； (C) “无限长”均匀带电直线； (D) “有限长”均匀带电直线． 答案：(C)
q q dr . 2 4 0 r 4 0 r q q R 当 r R 时, U P P E d l r E d r r 0 d r R dr . 2 4 0 R 4 0 r
对于所有选择，给出参考解答，进入下一题： 2. 确定静电场中某点的电势，为什么必须选定一个电势零点？ 参考解答： 静电场中某点电势在数值上等于单位正电荷置于该点所具有的电势能．电势 能的改变是以电场力作功来度量的，电势能只是一个相对的量，因而电势也是一 个相对的量，故必须选定一个电势零点，而静电场中某点的电势就等于该点与电 势零点之间的电势差．