不等式是数学竞赛的热点之一。
由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。
而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。
证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。
但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。
竞赛中常用的重要不等式
【内容综述】
本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用
【要点讲解】
目录§1 柯西不等式
§2 排序不等式
§3 切比雪夫不等式
★ ★ ★
§1。
柯西不等式
定理1 对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即
等式当且仅当时成立。
本不等式称为柯西不等式。
思路一证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。
证明1
∴右-左=
当且仅当定值时，等式成立。
思路2 注意到时不等式显然成立，当时，不等式左、右皆正，因此可考虑作商比较法。
证明2
当时等式成立；当时，注意到
=1
故
当且仅当
且
（两次放缩等式成立条件要一致）
即同号且常数，
亦即
思路3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。
证明3 构造函数。
由于恒非负，故其判别式
即有
等式当且仅当常数时成立。
若柯西不等式显然成立。
例1 证明均值不等式链：
调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。
证设本题即是欲证：
本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法
(1)先证①
注意到欲证①,即需证
②
此即
由柯西不等式,易知②成立,从而①真
(11)再证, ③
欲证③,只需证
④
而④即要证
⑤
(注意)
由柯西不等式,知⑤成立.
(Ⅰ)(Ⅱ)中等式成立的条件都是即各正数彼此相等.
说明：若再利用熟知的关系(★)
（其中，结合代换，
即
当且仅当时，等式成立，
说明★的证明参见下节排序不证式或数学归纳法，这样就得到一个更完美的均值不等式链
其中等式成产条件都是．
§２．排序不等式
定理２设有两组实数，满足
则
(例序积和)
（乱序积和）
（须序积和）
其中是实数组一个排列，等式当且仅当或
时成立。
说明本不等式称排序不等式，俗称
例序积和乱序积和须序积和。
证法一．逐步调整法
首先注意到数组也是有限个数的集合，从而
也只有有限个不同值，故其中必有最大值和最小值（极端性原理）。
设注意下面的两个和
注意
，
S（★）
可见和数Ｓ中最大的和，只能是对应数组由小到大的顺序排列，最小的和就对应
数组从大到小的依序排列，不符合如此须序的只要适当调整，如★所示就可越调越大（小），其中ｉ＝１，２……，n。
证法＝设
由的一个k阶子集
则显见
等式当且仅当
式
即，时,成立
这就证明了乱序积和≤顺序积和
注意列，仿上面证明，得
这里含义同上，于是有
又证明了例序积和≤乱序积和
综上排序不等式成立.
例2 利用排序不等式证明柯西不等式：
其中等式当且仅当为常数时成立。
证不失一般性，设；，则由排序不等式可得
（例序积和≤乱序积和)
相加即得
①
又∵算术平均值不大于平方平均值，（★）故
代入①，即得
平方后，即得柯西不等式
说明“算术平均≤平方平均”可用数学归纳法直接证明如下：
证（i）设n=2，则显然成立
（ii）设n=k时，
成立，即有
欲证n=k+1时，有
成立，只需证
考虑到归纳假设，只需证
（★）
而（★）是显然成立的,故n=k+1时命题成立,于是对且n≥2时,命题成立, 正是因为存大着不依赖柯西不等式证明“算术平均≤平方平均”的证明方法，例2的证法就不存在循环论证之嫌，否则此证法是不宜的。
例3 利用排序不等式证明正数的算术平均数不小于几何平均数。
证设，易见
构造数列，使
则由★知于是由排序不等式,有
(乱序积和)
(例序积和)
，
即
从而
其中等式当且仅当时成立
说明这里构造了两个数列和为应用排序不等式创造了条件，得列一个证明均值不等式的简捷、漂亮解法。
§3契比雪夫不等式
设(i=1,2…，n)
(i)若则顺序积和的算术平均数不小于这两组数算术平均数之积：
；
（ⅱ）若，则倒序积和的算术平均数不大于这两组数算术平均数之积：
证明（i）由排序原理有
，
，
……
，
迭加可得
两边除以得
等式当且仅当；
类似可证(ⅱ)成立
例4 设，求证
证明不妨令，则
由切比雪夫不等式，有
即
从而得证
说明大家较熟悉的美国竞赛题
1979年青海赛题
1978年上海赛题
都是本例的特殊情况或变形。
本周强化练习：
★★★1．设
求的最小值
b、c是三角形三边长，s是半周长。
求证：Vn∈N，下式成立
★★★2．若a、
解答或提示
1．不妨令
由切比雪夫不等式
当且仅当
2．设a≥b≥c,则a+b≥a+c≥b+c,
()。