南京工业大学浦江学院高等数学（A ）课程考试试题（B 卷）
（2008/2009学年第一学期） （解答）
一、单项选择题（本题共5小题，每小题2分，满分10分）
1.B
2.C
3.D
4.B
5.A
二、填空题（本题共5小题，每小题2分，满分10分）
1.4
1 2.0 3.-1 4.3 5.C e x x +- 三、计算题(本题共3小题，每小题5分，满分15分)
1. 解：原式＝x x x )21(lim +∞→＝22])21[(lim x
x x +∞→＝2e 2. 解：原式＝22111
lim x
x x -+-
+∞→＝1
3．解：因为极限存在为常数，从而分子分母都应当为三阶无穷大 从而 01=+a ，可得1-=a 原极限变为21112lim 12lim 33233==-++=-++∞→∞→b x
x x b x x bx x x
四、计算题(本题共5小题，每小题5分，满分25分)
1. 解：221)(1arcsin x x x x
x y --+-+='x arcsin =
2. 解：两边取对数可得]arccos ln )1[ln(2
1ln x x x y -+-= 两边关于x 求导可得]1arccos 1111[212x
x x y y +-+-=' 解得]1arccos 11[22x x x x y y +--=
' 3. 解：方程两边关于x 求导可得 012='+
'--y y
y x y x 解得122--='xy y xy y 从而=dy dx xy y xy 122
--
4.解：t
t t dt dx dt dy dx dy 3cos sin //== 5.解：因为04)(24=='-x xe
x I ，解得驻点0=x 又04324)0(042422>=-=''=--x x
x e x e I
所以，在0=x ，函数)(x I 有极小值0)0(=I
五、计算题(本题共4小题，每小题5分，满分20分)
1. 解：⎰=x d e I x 2C e x +=2
2. 解：dx x x I )1
11(+-=⎰C x x ++-=)1ln(ln 3. 解：127232arctan sin 1101203012πππ
=+=++=--⎰⎰x xdx dx x I 4. 解：)1(4
1121ln 21)21(ln 2121221+=-==⎰⎰e dx x x x x x xd I e e e 六、计算题(本题共3小题，满分16分)
1.（1）解：3
1102==⎰dx x S （2）解：⎰==10225)(ππdx x V
2. 解：分离变量dx y
dy =+1， 两边积分可得1)1ln(C x y +=+ 解得1-=-x Ce y
3. (5分)解：特征方程0322=--r r ，特征根为3,121=-=r r 原方程对应齐次方程的通解为x x e C e C y 321+=-
设方程的特解为x Ae y =，代入方程解得4
1-=A 原方程的通解为x x x e e C e C y 4
1321-+=- 七．(4分)证：由于⎰⎰=<+<10103
1110dt dt t 1)0(-=f 2113)1(103>+-=⎰dt t f 由零点定理可知至少存在一点)1,0(∈ξ，使得0)(=ξf 又03114)(3
>>+-
='x x f 所以)(x f 在)1,0(内单调递增。

所以方程只有唯一解。