d
0
于是有
2l 2l aP as N


l sin
0
dx 2l a a
例２．射击问题
设射击运动员的弹着点分布为
8 9 10 环数 7 0.2 命中8环 0.1 0.3 0.5 概率 0.1 0 . 5 命中9环 用计算机作随机试验（射击） 的方法为，选取一个随机数ξ，按 命中10环 右边所列方法判断得到成绩。 这样，就进行了一次随机试 验（射击），得到了一次成绩 N 1 ｇ(r)，作Ｎ次试验后，得到该运 g N g (ri ) 动员射击成绩的近似值 N i 1 0.1 命中7环
1 2

x
x
e
t 2 / 2
dt
当N充分大时，有如下的近似式 2 t 2 / 2 P e dt 1 X N E( X ) N 2 0 其中α称为置信度，1－α称为置信水平。
N 1－α成立，且误差收敛速度的阶为 O( N 1 / 2 ) 。 通常，蒙特卡罗方法的误差ε定义为
ˆ
1 N 2 1 N 2 X ( X ) i i N i 1 N i 1
ˆ 。 来代替，在计算所求量的同时，可计算出
减小方差的各种技巧
显然，当给定置信度 α后，误差ε由σ和N决定。要 减小ε，或者是增大N，或者是减小方差σ2。在σ固定的 情况下，要把精度提高一个数量级，试验次数N需增加 两个数量级。因此，单纯增大N不是一个有效的办法。 另一方面，如能减小估计的均方差σ，比如降低一 半，那误差就减小一半，这相当于N增大四倍的效果。 因此降低方差的各种技巧，引起了人们的普遍注意。 后面课程将会介绍一些降低方差的技巧。
效率
一般来说，降低方差的技巧，往往会使观察一个 子样的时间增加。在固定时间内，使观察的样本数减 少。所以，一种方法的优劣，需要由方差和观察一个 子样的费用（使用计算机的时间）两者来衡量。这就 是蒙特卡罗方法中效率的概念。它定义为 2 c，其中c 2 是观察一个子样的平均费用。显然 c 越小，方法越 有效。
例1. 蒲丰氏问题
为了求得圆周率π值，在十九世纪后期，有很多人 作了这样的试验：将长为2l的一根针任意投到地面上， 用针与一组相间距离为2a（ l＜a）的平行线相交的频 率代替概率P，再利用准确的关系式： 2l P a 求出π值 2l 2l N ( ) aP a n 其中Ｎ为投计次数，n为针与平行线相交次数。这 就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。
1. 蒙特卡罗方法的基本思想
二十世纪四十年代中期，由于科学技术的发展和 电子计算机的发明，蒙特卡罗方法作为一种独立的方 法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了 应用。但其基本思想并非新颖，人们在生产实践和科 学试验中就已发现，并加以利用。


两个例子 例1. 蒲丰氏问题 例2. 射击问题（打靶游戏） 基本思想 计算机模拟试验过程
1) 能够比较逼真地描述具有随机性质 的事物的特点及物理实验过程
从这个意义上讲，蒙特卡罗方法可以部分代替物 理实验，甚至可以得到物理实验难以得到的结果。用 蒙特卡罗方法解决实际问题，可以直接从实际问题本 身出发，而不从方程或数学表达式出发。它有直观、 形象的特点。
2) 受几何条件限制小
在计算s维空间中的任一区域Ds上的积分 g g ( x1 , x2 ,, xs )dx1dx2 dxs
一些人进行了实验，其结果列于下表 ：
实验者 沃尔弗(Wolf) 年份 1850 投计次数 5000 π的实验值 3.1596
斯密思(Smith)
福克斯(Fox) 拉查里尼 (Lazzarini)
1855
1894 1901
3204
1120 3408
3.1553
3.1419 3.1415929
例2. 射击问题（打靶游戏）

基本思想
由以上两个例子可以看出，当所求问题的解是某 个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或 者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的 方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干 个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 这就是蒙特卡罗方法的基本思想。 当随机变量的取值仅为 1或 0时，它的数学期望就 是某个事件的概率。或者说，某种事件的概率也是随 机变量（仅取值为1或0）的数学期望。
现假设该运动员进行了 Ｎ 次射击，每次射击的弹 着 点 依 次 为 r1 ， r2 ， … ， rN ， 则 Ｎ 次 得 分 g( r1 ) ， g(r2)，…，g(rN)的算术平均值
1 N g N g (ri ) N i 1
代表了该运动员的成绩。换言之，为积分<g>的估 计值，或近似值。 在该例中，用Ｎ次试验所得成绩的算术平均值作 为数学期望<g>的估计值（积分近似值）。
Ds
时，无论区域Ds的形状多么特殊，只要能给出描述Ds 的几何特征的条件，就可以从Ds中均匀产生N个点 (i ) (i ) ( x1(i ) , x2 ,, xs ) ，得到积分的近似值。 Ds N (i ) (i ) (i ) gN g ( x , x , , x 1 2 s ) N i 1 其中Ds为区域Ds的体积。这是数值方法难以作到的。 另外，在具有随机性质的问题中，如考虑的系统 形状很复杂，难以用一般数值方法求解，而使用蒙特 卡罗方法，不会有原则上的困难。
如何产生任意的（x,ζ）？ x在［0，a］上任意取值，表示 x在［0，a］上是均匀分布的， 其分布密度函数为： 类似地，ζ的分布密度函数 为： 因此，产生任意的（x,ζ） 的过程就变成了由f1(x)抽样x及 由f2(ζ)抽样ζ的过程了。由此得 到： 其中ξ1，ξ2均为（0,1）上均匀 分布的随机变量。
误差
蒙特卡罗方法的近似值与真值的误差问题，概率论 的中心极限定理给出了答案。该定理指出，如果随机 变量序列X1，X2，…，XN独立同分布，且具有有限非 零的方差σ2 ，即
0 2 ( x E ( X )) 2 f ( x)dx
f(X)是X的分布密度函数。则 N P X E ( X ) x N lim N
蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统计试验方法。 半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机 的发明 ，这种方法作为一种独立的方法被提出来，并 首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡罗 方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大 区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于 蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理 实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而 该方法的应用领域日趋广泛。
2. 蒙特卡罗方法的收敛性，误差
蒙特卡罗方法作为一种计算方法，其收敛性与误 差是普遍关心的一个重要问题。

收敛性 误差 减小方差的各种技巧 效率
收敛性
由前面介绍可知，蒙特卡罗方法是由随机变量X的 简单子样X1，X2，…，XN的算术平均值： 1 N X N Xi N i 1 作为所求解的近似值。由大数定律可知， 如X1，X2，…，XN独立同分布，且具有有限期望值 （E(X)<∞），则 P lim X N E ( X ) 1 N 即随机变量X的简单子样的算术平均值 X N ，当子 样数Ｎ充分大时，以概率1收敛于它的期望值E(X)。
3. 蒙特卡罗方法的特点

1) 2) 3) 4) 5) 6)
优点 缺点 1) 收敛速度慢。 能够比较逼真地描述具有随 机性质的事物的特点及物理 2) 误差具有概率性。 实验过程。 3) 在粒子输运问题中， 受几何条件限制小。 计算结果与系统大 收敛速度与问题的维数无关。 小有关。 具有同时计算多个方案与多 个未知量的能力。 误差容易确定。 程序结构简单，易于实现。
因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方法是用随机试 验的方法计算积分，即将所要计算的积分看作服从某 种分布密度函数f(r)的随机变量ｇ(r)的数学期望
g g (r ) f (r )dr
0

通过某种试验，得到Ｎ个观察值r1，r2，…，rN（用概 率语言来说，从分布密度函数 f(r) 中抽取 Ｎ 个子样 r1 ， r2 ， … ， rN ，），将相应的 Ｎ 个随机变量的值 g(r1) ， g(r2)，…，g(rN)的算术平均值
这表明，不等式 X N E ( X )

近似地以概率
N 上式中 与置信度α是一一对应的，根据问题的要 求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确 定出 。


下面给出几个常用的α与的数值： α

0.5 0.6745
0.05 1.96
0.003 3
关于蒙特卡罗方法的误差需说明两点：第一，蒙特 卡罗方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法 是有区别的。第二，误差中的均方差σ是未知的，必须 使用其估计值
蒙特卡罗方法
在核技术中的应用
林谦
目 录
第一章 第二章 第三章 第四章 蒙特卡罗方法概述 随机数 由已知分布的随机抽样 蒙特卡罗方法解粒子输运问题
教材

蒙特卡罗方法在实验核物理中的应用
许淑艳 编著 原子能出版社

蒙特卡罗方法
清华大学
参考书

蒙特卡罗方法及其在粒子输运问题中的应用
裴鹿成 张孝泽 编著 科学出版社

蒙特卡罗方法
徐钟济 编著 上海科学技术出版社
联系方式

电话
83918

电子邮件
linqian@
第一章 蒙特卡罗方法概述
1. 2. 3. 4.

蒙特卡罗方法的基本思想 蒙特卡罗方法的收敛性，误差 蒙特卡罗方法的特点 蒙特卡罗方法的主要应用范围 作业
第一章 蒙特卡罗方法概述
设r表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，ｇ(r) 表示击中r处相应的得分数（环数），f(r)为该运动员的 弹着点的分布密度函数，它反映运动员的射击水平。 该运动员的射击成绩为