机理模型的建立一方面需要我们有一定的力学和物理的知识，另一方面， 要善于分析量和量之间的内在联系如空间或时间上的衔接等。
例1：池水的含盐量
池子中有一定体积的盐水，从池的一端向池中注入一定浓度的盐水，混合 的盐水将在池子的另一端流出。建模描述池中盐水的浓度变化。（类似的 有河水污染问题等）
理想化假设：为简化问题，我们假设注入的盐水迅速与池中盐水均匀混合。
n
成活
1.109 105 2
0.84
x ek 3 E4 3
2
1.109 105 x4ke 3 E4
x k 1 1
1.22 1011 n
/(1.22 1011
ri ( )d t
ro ( )d
即
dV dt
ri (t) ro (t)
例2：烟雾的扩散与消失
问题：当一颗炮弹爆炸时，天空升腾起以爆炸点为中心的烟雾并向四周迅 速扩散，形成一个近于圆形的不透光区域。这个区域逐渐扩大，后来它的 边界变得明亮起来，不透光区域逐渐缩小，最后完全消失。
建立数学模型描述这一过程。
r3 x3 t 1
dx4 dt
r4
x4 E4 r4 x4
x4
0t 2/3 2/3t 1
计算得到
x1 (t )
x e0 r1t 1
x2(t)
x e0 r2t 2
x3(t)
0 ( r3 0.42E4 )t
x e3
x
0 3
e
0.84 3
E
0.84 3
E4
r3 3
1
3
4
0
2 3
E4
r4 3
4
过了年后，鱼增加一龄，因此，第k年初和第k+1 年初各龄鱼的关系为
x k 1 2
x1k e0.8
x k 1 3
x2k e 0.8
0.84 0.8
x k 1 4
x3k e
3
E4 3
下面考虑。它是一年后4个月的新生鱼成活数量。 根据题意，3，4龄鱼共产卵
建模方法：利用物质平衡原理，在 [t,t t]上，池子中的盐的改变量等于 该时间段注入和流出的盐的数量差，池子中的盐水的体积改变量等于注入 的盐水体积和流出体积的差。
模型变量：ri (t), pi (t)表示盐水注入的速度和浓度，ro (t), po (t)表示盐水流出的速 度和浓度，V(t)是池中盐水体积，p(t)是池中盐水的浓度。
模型假设：
（1）炮弹的爆炸看作在空中某一点向四周等强度的瞬时释放烟雾，烟雾 在无穷空间扩散，不记风力和大地影响。
（2）烟雾的传播服从扩散定律，即单位时间通过单位法向面积的流量与 它的浓度梯度成正比。
（3）光线穿过烟雾时其强度由于烟雾的吸收而减少，单位距离上光强的 相对减少量与烟雾浓度成正比，没有烟雾的大气对光线的吸收作用忽略不 计。
由盐的数量守恒得到
t t
t t
p(t t)V (t t) p(t)V (t) t
pi ( )ri ( )d t
po ( )ro ( )d
等式两端同除以△t取极限得到
d dt
p(t)V (t)
pi (t)ri (t)
po (t)ro (t)
由体积守恒得到
t t
t t
V (t t) V (t) t
4
e
r3
(
t
2 3
)
0 t 2/3 2/3 t 1
x4 (t )
x e0 (r4 E4 )t 4
x40
e
2 3
E4
e
r4
(
t
2 3
)
0 t 2/3 2/3 t 1
不考虑新生鱼，年末和年初鱼群数量的关系为
x x e x x e x11 x10er1
1 2
0 r2 1
2
3
x x e 0
数学模型第三讲
机理模型建立的平衡原理
平衡原理
运动和静止的事物、事物之间的内在联系往往可以利用一组方程（代数方 程、微分方程和差分方程等）描述。方程描述一种量的平衡关系。
通过量的平衡关系建立数学模型是利用机理分析建模的基本方法之一。也 常常是我们是否能够得到结构简明、刻画深刻的模型的重要方法。这样的 模型的建立的好坏取决于我们对问题的洞察能力。
1.22 1011 /(1.22 1011 n)
渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进 行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次 数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条 数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用13mm 网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其捕捞强度系 数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。
（4）在烟雾扩散过程中，不穿过烟雾直接进入观测仪器的标准光强 I0 保 持不变，对于穿过烟雾进入仪器的光强I，观测结果只有亮、暗之分，仅 当 I / I0 1 时观测结果为亮。
模型的建立： 1、烟雾浓度的变化规律
最优捕鱼策略
为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业 资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持 续收获的前提下，追求最大产量或最大效益。 考虑对某种鱼的最优捕涝策略： 假设这种鱼分成4个年龄组：1龄鱼， …，4龄鱼。各年龄组的每 条鱼平均重量分别为5.07g，11.55g，17.86g，22.99g；各年龄组 鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖， 平均每条4龄鱼的产卵量为1.109105个，三龄鱼的产卵量为4龄鱼 的一半，二龄鱼和一龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4 个月：卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数和产卵总数n 之比）为
问题分析：问题包括两个部分：（1）系统的稳定性；（2）在稳定系 统的前提下，求捕捞强度，使得稳定收获最大。 （1）状态参数：时刻t各龄鱼的数量，。 （2）控制参数：4龄鱼的捕捞强度E4。由条件，在一年中
dx1 dt
r1 x1
dx2 dt
r2 x2
xi (0) xi0 0 t 1
dx3 dt
（1）建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕 捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到 最高年收获量（捕捞总重量）
（2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后 鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。已知承包时各年龄组 鱼群的数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（条）如果仍利 用固定努力量的捕捞方式，该公司应采用怎样的策略才能使 总收获量最高。