4 4 5 3 125 3 V = πR = π ⋅ ( ) = πcm3 3 3 2 6
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 变式1 一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 变式 一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm, 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 的内径.(钢的密度是7.9g/cm .(钢的密度是
∆hi
∆S i
∆Vi
如果网格分的越细, 如果网格分的越细,则: “小锥 小锥 体”就越接近小棱锥
R ∆hi的值就趋向于球的半径
1 ∴∆Vi = ∆Si R 3 1 1 1 1 V = ∆Si R+ ∆S2R+ ∆S3R+L+ ∆SnR 3 3 3 3
1 1 = R(∆Si + ∆S2 + ∆S3 + ... + ∆Sn ) = RS 3 3
ri = R R −[ (i −1)]2 , i = 1,2L n. , n
2
§9.11球的体积和表面积 9.11球的体积和表面积
球的体积
R ri = R −[ (i −1)]2 , i = 1,2,L n , n R πR3 i −1 2 2 Vi ≈ πri ⋅ = [1− ( ) ], i = 1,2L n , n n n
例题讲解 (变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, 变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, 2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中 至少要用多少纸? 至少要用多少纸?
用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 球内切于正方体
侧棱长为5cm 侧棱长为
S侧 = 6× 5 = 150cm
法导出球的体积公式 下面我们就运用上述方
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 即先把半球分割成 部分，再求出每一部分的近似体积， 部分 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑 变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积． 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
O A
O′
QO′O =
R , ∆ABC是正三角形， 是正三角形， 2
C
2 3 2 3 O′A = × AB = =r 3 2 3
B
§9.11球的体积和表面积 9.11球的体积和表面积
例题讲解
已知过球面上三点A、 、 的截面到球心 的截面到球心O的距离 例３.已知过球面上三点 、B、C的截面到球心 的距离 已知过球面上三点 等于球半径的一半， 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积， ２ ，求球的体积， 表面积． 表面积．
V半球 = ?
3 3 V圆柱 = πR 3
2 3 4 3 V 猜测:V半球 = πR , 从而 = πR . 3 3
§9.11球的体积和表面积 9.11球的体积和表面积
球的体积
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来． 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法． 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．
2
2
§9.11球的体积和表面积 9.11球的体积和表面积
例题讲解
2.如图 正方体ABCD 如图， ABCD的棱长为a, a,它的各 例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
分析：正方体内接于球， 分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知， 体都是中心对称图形可知，它们中心重 则正方体对角线与球的直径相等。 合，则正方体对角线与球的直径相等。
例题讲解
的截面到球心O的距 例３已知过球面上三点A、B、C的截面到球心 的距 已知过球面上三点 、 、 的截面到球心 离等于球半径的一半， 离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的 ２ ， 体积，表面积． 体积，表面积． 如图，设球O半径为 半径为R， 解：如图，设球 半径为 ， 截面⊙ 的半径为 的半径为r， 截面⊙O′的半径为 ，
∆Vi
1 ∆Vi ≈ ∆Si ∆hi 3
由第一步得： V = ∆V1 + ∆V2 + ∆V3 +L+ ∆Vn 由第一步得：
1 1 1 1 V ≈ ∆S1∆h + ∆S2∆h2 + ∆S3∆h3 +L+ ∆Sn∆hn 1 3 3 3 3
§9.11球的体积和表面积 9.11球的体积和表面积
球的表面积
第 三 步： 化 为 准 确 和
球表面积 退出 课堂作业 封底
§9.11球的体积和表面积 9.11球的体积和表面积
教学目标
掌握球的体积、表面积公式． 掌握球的体积、表面积公式． 掌握球的表面积公式、 掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和 精确求和的思想方法． 近似求和→精确求和的思想方法 想进一步理解分割 近似求和 精确求和的思想方法． 会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养 会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题， 学生应用数学的能力． 学生应用数学的能力． 能解决球的截面有关计算问题及球的“内接” 能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 的几何体问题． 切”的几何体问题．
我们把一个半径为R的圆分成若干等分， 我们把一个半径为 的圆分成若干等分，然后如上图重新 的圆分成若干等分 拼接起来， 拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是 πR和 的矩形 R .
于 那么圆的面积就近似等 πR2 .
§9.11球的体积和表面积 9.11球的体积和表面积
球的体积
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高； 当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式． 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式． 分割 求近似和 化为准确和
§9.11球的体积和表面积 9.11球的体积和表面积
例题讲解
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 变式1 一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 变式 一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm, 的内径.(钢的密度是7.9g/cm .(钢的密度是 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是 解:设空心钢球的内径为 设空心钢球的内径为 则钢球的质量是
球的体积
V半球 1 1 (1 − )(2 − ) n n ] = πR3[1 − 6
1 . →0 n
n , 当 →∞ 时
2 V R π 3 ∴ 半球 = 3 4 V = π 3. R 从 而 3
4 3 定理： R的球的体积为： V 定理：半径是 的球的体积为： = πR 3
§9.11球的体积和表面积 9.11球的体积和表面积
2
B
§9.11球的体积和表面积 9.11球的体积和表面积
练习一
课堂练习
1.球的直径伸长为原来的 倍,体积变为原来的＿倍. 球的直径伸长为原来的2倍 体积变为原来的 8 体积变为原来的＿ 球的直径伸长为原来的 2.一个正方体的顶点都在球面上 它的棱长是 一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 一个正方体的顶点都在球面上 它的棱长是4cm, 32 3π 这个球的体积为＿＿＿ ＿＿＿cm 这个球的体积为＿＿＿ 3. 3.有三个球 一球切于正方体的各面 一球切于正 有三个球,一球切于正方体的各面 有三个球 一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点 一球过正方体的各顶点,求这三 方体的各侧棱 一球过正方体的各顶点 求这三 个球的体积之比_________. 个球的体积之比 1: 2 2 : 3 3
西伯利亚
cnmaths@
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 书 山 勤 路 勤学 径，学 海 无 崖 苦悲 舟 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 少有 奋、守 习，老 来 徒 伤 作 小 不 为 纪、自 强、自 律！
教学目标 例题讲解
重点难点 课堂练习
球的体积 课堂小结
下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式． 下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式．
1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块, 1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块, 球的表面是曲面 每小块表面可近似看作一个平面, 每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似 看作球的表面积. 趋近于无穷大时, 看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近 于甚至等于球的表面积. 于甚至等于球的表面积. 2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面, 2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为 若每小块表面看作一个平面 顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积. 越大, 顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大, 越接近于球的体积, 趋近于无穷大时就精确到等于球的体积. 越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.
2
V半球 = V1 +V2 +L+Vn
12 + 22 +L+ (n −1)2 [n − ] ≈ 2 n n
πR3
1 (n −1)⋅ n⋅ (2n −1) [n − 2 ⋅ ] = n n 6
1 (n −1)(2n −1) ] = πR [1− 2 ⋅ n 6
3
πR3
§9.11球的体积和表面积 9.11球的体积和表面积
球的体积 A A
O
C2
O
B2
r1 = R = R,
2
R r2 = R − ( )2 , n
2