a b , 则当 a,b,c,d 满足何条件时, A=A′？ A=A2？为什么？ c d
答: 当 b=c 时, A 是一个对称矩阵, 因此 A=A′.当 a+d=1 或 c=b=0 且 a, d∈{0,1} 时, A=A2.直接根据矩阵相等的定义. 3．若α1,…,αs 与β1,…,β s 均相关, 则α1+β1,…,αs+β s 相关吗？为什么？ 答: 不一定. 如：α1=(0, 2, 0), α2=(1, 0, 1), α3=(2, 1, 2), β1=(0, −1, 0), β2=( −1, 0, 0), β3=(−1, −1, 0), 显然α1, α2, α3; β1, β2, β3 两组向量均相关, 但α1+β1, α2+β2, α3+β3 是线性无关的. 4．若 A, B 均为 n 级阵, 且 A≌B, 则 A 与 B 的行向量组等价吗？为什么？ 答： 等价。 因为 A≌B, 所以存在可逆矩阵 P, Q, 使得 A=PBQ, 设 A=(α1,…,αn)T, B=(β1,…, βn)T, P=(pij), Q=(Q1, …, Qn), 则根据矩阵相等的定义得到
x
4．设 n≥2, a1,…,an 两两不同, 则
a2 ... an
a1 x ... an
... a1 ... a 2 的不同根为 a1, a2,…,an ... ... ... x
无关 .
.
5．设 t1,…,tr 两两不同, 则αi=(1,ti,…, t ir −1 ), i=1,…,表示, 则α1,…,αr 线性 无关 . 7．设α1,…,αm 为 n 维向量组, 且 R (α1,…,αm)=n, 则 n ≤ m. 8．若 A 为 n 级实对称阵且 AA′= O, 则 A= O . 二、选择题(每小题 1 分, 共 8 分) 1． 对于“命题甲：将 n(>1)级行列式 D 的主对角线上元素反号, 则行列式变 为−D；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( B ) . A. 甲成立, 乙不成立 B. 甲不成立, 乙成立 C. 甲, 乙均成立 D. 甲, 乙均不成立 2．整系数多项式 f (x)在 Z 不可约是 f (x)在 Q 上不可约的( B ) 条件. A. 充分 B. 充分必要 C. 必要 D. 既不充分也不必要
高 等 代 数 考 试 题(N0.8)
1 −1 解： 2 4
1 0 → 0 0
1
0 3 1
3 0 7
2 14
2 1 −1 1 0 → 2 5 0 0 6 0 1
0 3 3 3 1 1 0 0
1 0 0 −4
四．计算题(每小题 10 分, 共 40 分) 1． 把 f (x)=5x4−6x3+x2+4 按 x−1 的方幂展开. 解：利用综合除法可得 4/5 1 0 −6/5 1/5 1 0 0 −1/5 1 4/5 1 0 0 −1/5 4/5 4/5 1 1 4/5 4/5 4/5 1 9/5 1 9/5 13/5 1 1 14/5 1 6 1 4 所以 f (x)= 5x4−6x3+x2+4＝5(x4− x3+ x2+ ) 5 5 5 14 4 13 4 =5[(x−1)4+ (x−1)3+ (x−1)2+ (x−1)+ ] 5 5 5 5 =5(x−1)4+14(x−1)3+13(x−1)2+4(x−1)+4 方法 2 用待定系数法。
a−c a1 − c1 a2 − c2 b b1 b2 c c1 c2
a −b a1 − b1 a2 − b2
a a−c a1 − c1 = 2 a1 a2 − c2 a2
a −c − c1 = 2 a1 a2 − c2
3． 设η1, …, ηs 为 AX=B≠0 的解, 若 k1+…+ks=1, 则 x= k1η1+ …+ksηs 也为 AX=B 的解. 证明：因为η1, …, ηs 为 AX=B≠0 的解, 所以 Aη1= Aη2=…= Aηs=B≠0, 则 Ax= A(k1η1+ …+ksηs)= A(k1η1)+ …+ A(ksηs)= k1Aη1+ …+ ksAηs=k1B +…+ksB=B. 故 x= k1η1+ …+ksηs 也为 AX=B 的解.
所以α5=α1+α2+α4, α3=3α1+α2 , α1, α2 ,α4,为向量组的极大线性无关组。 4． 解 0
1
1 1 − 1 解：设 A= 0 2 2 , 则|A|=6≠0, 则 A 可逆. 从而可求出 A 的逆 A−1. 1 −1 0 1 1 − 1 1 0 0 1 1 − 1 1 0 0 2 0 1 0 → 0 2 2 0 1 0 0 2 1 −1 0 0 0 1 0 − 2 1 −1 0 1
0 ... 0 0 0 x y ... 0 0 2． 计算 D n = ... ... ... ... ... ... . 0 0 0 ... x y y 0 0 ... 0 x
x
y
0 ... 0 0 y ... 0 0 0 解：Dn = x + (−1) n+1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 0 x n−1 0 0 ... 0 y n−1 = x n + (−1) n+1 y n
高 等 代 数 考 试 题(N0.8)
证明：因为 x3+x2+x+1= (x−i) (x+i) (x +1), 所以 x=i, x=−i, x=−1 为其根,因此由 已知条件可得 x=i, x=−i, x=−1 为 f (x2)+xg(x2)的根, 所以
f (−1) + ig (−1) = 0 f (−1) − ig (−1) = 0 f (1) − g (1) = 0
A11 A12 3． 设 D=|aij|n, Aij 为 aij 的代数余子式, 则 D • ... A1n
A21 A22 ... A2 n
...
An1 ... An 2 =( ... ... ... Ann
C ).
A. D B . −D C. Dn D. (−1)nD 4．下述中, 错误的是( D ) . A. 奇数次实系数多项式必有实根 B. 代数基本定理适用于复数域 C. 任一数域包含 Q D. 在 P[x]中, f (x)g(x)= f (x)h(x)⇒g(x)=h(x) 5．设 A, B 为 n 级方阵, m∈N, 则“命题甲：|−A|=−A；命题乙：(AB)m= AmBm” 中正确的是( D ) . A. 甲成立, 乙不成立 B. 甲不成立, 乙成立
2 3 1 − 4
0 3 1 2 1 1 1 0 1 0 → 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
− 1 1 − 1 2 X = 1 1 −1 0 2 1 1 2
0 3 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1
3． 求 向 量 组 α1= (1,−1,2,4), α2=(0,3,1,2), α3=(3,0,7,14), α4=(1,−1,2,0), α5=(2,1,5,6) 的极大无关组 , 并求出组中其余向量被该极大无关组线性表 出的表达式.
x
y ... 0 x ... 0
0 0
y x
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2 1 3 3 1 1 − ，从而 X= 3 3 1 1 − 3 3
五、证明题(每小题 8 分, 共 24 分) 1． 若(x3+x2+x+1)|(f (x2)+xg(x2)), 则(x+1)|f (x), (x+1)|g(x).
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β1 β α i = ( pi1 , pi 2 ,..., pi 2 ) 2 Q = ( β1 , β 2 ,..., β n ) β n pi1 pi 2 Q pin
pi′1 pi′2 −1 ，其中 Q ′ pin
c+a c1 + a1 c2 + a2
a+b a1 + b1 a2 + b2
b+c = b1 + c1 b2 + c2 a = 2 a1 a2
a−b a1 − b1 a2 − b2
2a a−c a1 − c1 = 2a1 a 2 − c2 2a 2 −b − b1 − b2
a−b a1 − b1 a2 − b2
从而 f (−1)=g(−1) =0, 故(x+1)|f (x), (x+1)|g(x).
b+c 2． 试证： b1 + c1 b2 + c 2
c+a c1 + a1 c2 + a2
a a+b a1 + b1 = 2 a1 a 2 + b2 a2
b b1 b2
c c1 . c2
b+c 证明： b1 + c1 b2 + c2
α1 同理可得到 α 2 −1 β i = ( pi′1 , pi′2 ,..., pi′2 ) Q = (α1 , α 2 ,..., α n ) α n
′ ). P−1=( pij
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高 等 代 数 考 试 题(N0.8)
1 1 0 0 3 1 → 0 1 0 3 1 0 0 1 − 3 1 3 1 所以 A −1 = 3 1 − 3 1 6 1 6 1 3