i
n
(1) ∑ X ij
各水平重复试验数据之和 j =1 （各样本数据之和） 2 n (2) ∑ X ij 各水平重复试验数据平方和 j =1 （各样本数据平方和） k n (3) ∑∑ X ij 各水平重复试验数据和的总和 i =1 j =1 （全部数据之和） k n 2 X ij 各水平重复试验数据平方和的总和 (4)∑∑ i=1 j =1 （全部数据的平方和）
方差分析表 差异来源 离差平方和 组 组 总 间 内 379.611 84.000 463.611 自由度 2 15 17 方差 189.805 5.600 F 33.89 P P<0.01
2 xij = 493 ∑∑
(− 23)2 C=
18
2
= 29.389
LT = 493 − 29.389 = 463.611
(− 35) + (− 18) − 29.389 = 379.611 30 LA = + 5 7 6 LE = 463.611 − 379.611 = 84.000
2 2
′ nT = 18 −1 = 17
C =
(ΣΣ X )
ij
2
N
2
69 .7 2 = = 202 . 420 24
LT = ΣΣX ij − c = 248.31 − 202.420 = 45.890
LA
(ΣX ) =Σ
ij
2
ni
13.42 16.52 13.82 26.02 −c = + + + − 202.420 = 17.288 6 6 6 6
2、计算离差平方和 （1）总离差平方和
LT
(∑∑X ) = ∑∑X − = ∑∑X N
2 2 ij ij
2 2 ij ij
2 ij
−c
(∑∑ X ) c=
ij
2
N
（2）组间离差平方和
LA
(∑ X ) (∑∑ X ) (∑ X ) =∑ − =∑ n N n
ij i i
2
−c
（3）组内离差平方和
L E = LT − L A
H 0 : µ1 = µ 2 = µ 3
排球 1 2 3 4 5 6 7 8 5 3 8 6 体操 -5 -7 -5 -5 -3 -8 -2
ij
′ x ij = x ij − 70
游泳 -1 -8 -4 -3 -2 0 -18 94
∑x 2 xij ∑
30 198
-35 201
∑∑ x
ij
= −23
LE = LT − L A = 45 ⋅890 − 17.288 = 28.602
nT = N −1= 24−1= 23 ′ n′ = k −1= 4−1= 3 A n′ = N −k = 24−4 = 20 E
LA 17.288 = = 5.762 MSA = ′ 3 nA
L E 28 .602 MS E = = = 1 .430 n′ 20 E
3、计算自由度 ′ （1）总自由度 nT = N − 1 （2）组间自由度 n′ = k − 1 A ′ （3）组内自由度 n′ = N − k = nT − n′A E 4、计算方差 LA MS A = （1）组间方差 ′
nA
（2）组内方差 计算统计量F 5、 计算统计量F值
MS F = MS
A E
p > 0.05
p ≤ 0 .05 p ≤ 0.01
（四）确定概率判定
因素对试验结果无显著性影响
因素对试验结果有显著 性影响 因素对试验结果有高度 显著性影响
对[例1]进行单因素方差分析
H 0 : µ1 = µ 2 = µ 3 = µ 4
方法一 方法二 方法三 方法四 1 2 3 4 5 6 3.3 1.2 0 2.7 3.0 3.2
MS A 5 .762 F = = = 4 .029 ≈ 4 .03 MS E 1 .430
差异来源 组 组 总 间 内
F0.01(3, 20 ) = 4.94 F0.05(3,20) = 3.10 4.03>3.10 P<0.05 训练方法对运动员磷 酸肌酸增长值有显著性影响，即四种训练方 法 运动员磷酸肌酸平均增长值差异有显著性意 方差分析表 义。
第十二章 方差分析
第一节 单因素方差分析
一、单因素方差分析的几个概念 因素： 因素：影响研究对象的某一指标、变量。 。 水平： 水平：因素变化的各种状态或因素变化所分 的等级或组别。 单因素试验：考虑的因素只有一个的试验叫 单因素试验 单因素试验。
单因素方差分析：对单因素试验结果进行分 单因素方差分析 析，检验因素对试验结果有无显著性影响的 方法叫单因素方差分析。单因素方差分析是 两个样本平均数比较的引伸，它是用来检验 多个平均数之间的差异，从而确定因素对试 验结果有无显著性影响的一种统计方法。 二、单因素方差分析的基本原理
ij
3.0 2.3 2.4 1.1 4.0 3.7 16.5 50.95
0.4 1.7 2.3 4.5 3.6 1.3 13.8 43.24
3.6 4.5 4.2 4.4 3.7 5.6 26.0 115.26
∑x
∑ xij
13.4 38.86
∑∑ x
∑∑ x
ij
= 69.70间方差 F= 组内方差
三、单因素方差分析的方法步骤 单因素方差分析的方法步骤 单因素方差分析应用的条件： 单因素方差分析应用的条件：被检验的总体 服从正态分布且各总体方差齐性。 ㈠ 提出统计假设
H 0 : µ1 = µ 2 = ⋯ = µ k
㈡ 计算统计量F值 计算统计量F 1、列表计算下列各值 试验数据用 x ij 表示 i 列标 i =1，2，……K j行标 j = 1，2，…… n
LE MSE = n′ E
（三） 查表求临界值 附表4 F值表（方差分析用） P291 Fα （ n ′ , n ′ )
1 2
′ A n1 = n′ = k -1
F < F0.05( n1′ ,n′2 )
F ≥ F0.05 ( n1′ , n ′2 ) F ≥ F0.01( n1′ ,n′2 )
n′ = n′ = N −k 2 E
n′ = 3 −1 = 2 A
n′ = 18 − 3 = 15 E
84.000 379.611 = 5.600 MS E = MS A = = 189.805 15 2 189.805 F= = 33.893 ≈ 33.89 5.600
F 0 . 01 ( 2 ,15 ) = 6 . 36
33.89>6.36 P<0.01 运动项目对运动员纵跳成绩有显著性影响,不 同运动项目运动员平均纵跳成绩差异有高度 显著性意义。
[例1]为考查不同训练方法对磷酸肌酸增长的 影响，我们采用了四种不同的训练方法。每 种方法选取条件相仿的6名运动员，通过三个 月的训练以后，其磷酸肌酸的增长值（单 位：mg/100ml）如下表。试检验训练方法对 运动员磷酸肌酸增长值有无显著性影响？即 四种训练方法运动员磷酸肌酸平均增长值差 异 有无显著性意义？
离差平方和 自由度 17.288 28.602 45.890 3 20 23 方差 F P 5.762 1.430 4.03 P<0.05
[例2]测得男子排球、体操、游泳三个项目运 动员的纵跳成绩（单位：厘米）如下： 排球 78 75 73 78 76 体操 65 63 65 65 67 62 68 游泳 69 62 66 67 68 70 试检验运动项目对纵跳成绩有无显著性影 响，即不同运动项目运动员平均纵跳成绩之 间的差异有无显著意义？
编号 1
xi
方法一 方法二 方法三 方法四 3.3 1.2 0 2.7 3.0 3.2 2.23 3.0 2.3 2.4 1.1 4.0 3.7 2.75 0.4 1.7 2.3 4.5 3.6 1.3 2.30 3.6. 4.5 4.2 4.4 3.7 5.6 4.33
2 3 4 5 6
xi
从表中的数据可以看到 1、存在组内差异 2、存在组间差异 3、存在总的差异 方差分析的基本思想是：将总差异分解，分 方差分析的基本思想 出组间差异和组内差异，并分别用组间方 差、组内方差来表示其差异程度的大小，然 后对组间差异和组内差异的大小进行比较。