【市级联考】吉林省长春市普通高中2019届高三质量检测（三）数学（文科）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 的值为（）
A．B．C．D．
2. 已知集合，，则（）A．B．C．D．
3. 在复平面内，复数对应的点位于（）.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4. 执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出p为（）
A．6 B．24 C．120 D．720
5. 已知等差数列的前n项和为，且，则＝（）A．0 B．10 C．15 D．30
6. 已知、是两个单位向量，且夹角为，则＝
（）
A．B．C．D．
7. 若，，，则的大小关系是( ) A．B．C．D．
8. 已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出的是（）
A．B．
C．D．
9. “科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比．这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．
根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）
A．2012﹣2013 年研发投入占营收比增量相比 2017﹣2018 年增量大
B．该企业连续 12 年研发投入逐年增加
C．2015﹣2016 年研发投入增值最大
D．该企业连续 12 年研发投入占营收比逐年增加
10. 函数的部分图象大致是（）
A．B．
C．D．
11. 已知O为坐标原点，抛物线上一点A到焦点F的距离为4，若点P为抛物线C准线上的动点，则的最小值为（）
A．B．8 C．D．
12. 已如函数，若，且，则
的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、双空题
13. 已知函数的最小正周期为，则＝_____，若
，则＝____．
三、填空题
14. 已知长方形，，，则以，为焦点，且过，的椭圆的离心率为_____.
15. 我国古代数学名著《九章算术?商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：
①四个侧面都是直角三角形；
②最长的侧棱长为；
③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；
④外接球的表面积为24π．
其中正确的描述为____．
16. 已知数列中，，则＝_____
四、解答题
17. 在中，，．
（1）若，求的面积；
（2）若点D在BC边上且，AD＝BD，求BC的长．
18. 某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]分组）．
分组频数
[55，65） 2
[65，75） 4
[75，85）10
[85，95] 4
合计20
第一车间样本频数分布表
（Ⅰ）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；（Ⅱ）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
（Ⅲ）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中随机抽取2人，求抽取的2人中，至少1人生产时间小于65min的概率．
19. 如图，等腰梯形ABCD中，，E为CD中点，以AE为折痕把折起，使点D到达点P的位置（P平面ABCE）．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）当四棱锥体积最大时，求点C到平面PAB的距离．
20. 已知函数．
（Ⅰ）若函数图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数的极值点；
（Ⅱ）若不等式有解，求a的取值范围．
21. 如图所示，椭圆离心率为，、是椭圆C
的短轴端点，且到焦点的距离为，点M在椭圆C上运动，且点M不与、重合，点N满足．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求四边形面积的最大值．
22. 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点
O作射线交于点M，点N为射线OM上的点，满足，记点N的轨迹为曲线
A．
（Ⅰ）求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线C交于P，Q两点，求的值．
23. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）设函数的最小值为m，当a，b，，且时，求
的最大值．。