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2019年高考文科数学全国I II卷含答案

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设3i12iz -=+,则z =( ) A .2BCD .12.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===,,,则UB A =( )A .{}1,6B .{}1,7C .{}6,7D .{}1,6,73.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===,则( )A .B .C .D .4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm ,头顶至脖子下端的长度为26 cm ,则其身高可能是( )a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<A .165 cmB .175 cmC .185 cmD .190 cm5.函数f (x )=2sin cos x xx x++在[—π,π]的图像大致为( ) A .B .C .D .6.某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是( ) A .8号学生 B .200号学生C .616号学生D .815号学生7.tan255°=( ) A .-2B .-C .2D .8.已知非零向量a ,b 满足a =2b ,且(a –b )⊥b ,则a 与b 的夹角为( ) A .π6B .π3C .2π3D .5π69.如图是求112122++的程序框图,图中空白框中应填入( )A .A =12A+ B .A =12A+C .A =112A+D .A =112A+10.双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为( ) A .2sin40°B .2cos40°C .1sin50︒D .1cos50︒11.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a sin A -b sin B =4c sin C ,cos A =-14,则b c=( )A .6B .5C .4D .312.已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -,过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为( )A .2212x y +=B .22132x y +=C .22143x y +=D .22154x y +=二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.曲线2)3(e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________.14.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==,,则S 4=___________. 15.函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________. 16.已知∠ACB=90°,P 为平面ABC 外一点,PC =2,点P 到∠ACB 两边AC ,BC 的距离,那么P 到平面ABC 的距离为___________.三、解答题:共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:60分。

17.(12分)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?附:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++.18.(12分)记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知S9=-a5.(1)若a3=4,求{a n}的通项公式;(2)若a1>0,求使得S n≥a n的n的取值范围.19.(12分)如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN ∥平面C 1DE ; (2)求点C 到平面C 1DE 的距离. 20.(12分)已知函数f (x )=2sin x -x cos x -x ,f ′(x )为f (x )的导数. (1)证明:f ′(x )在区间(0,π)存在唯一零点; (2)若x ∈[0,π]时,f (x )≥ax ,求a 的取值范围. 21.(12分)已知点A ,B 关于坐标原点O 对称,│AB │ =4,⊙M 过点A ,B 且与直线x +2=0相切. (1)若A 在直线x +y =0上,求⊙M 的半径;(2)是否存在定点P ,使得当A 运动时,│MA │-│MP │为定值?并说明理由. (二)选考题:共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做,则按所做的第一题计分。

22.[选修4−4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,(t 为参数),以坐标原点O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为.(1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值.2cos sin 110ρθθ++=23.[选修4−5:不等式选讲](10分)已知a ,b ,c 为正数,且满足abc =1.证明: (1)222111a b c a b c++≤++; (2)333()()()24a b b c c a +++≥++.X k B 1 . c o m2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国II 卷) 文科数学1.设集合{}1-|>=x x A ,{}2|<=x x B ,则=⋂B A ( ) A. ),1(+∞- B. )2,(-∞ C. )2,1(-D. φ2. 设(2)z i i =+,则z = ( ) A. 12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3. 已知向量(2,3)=a , (3,2)=b ,则-=a b ( )B. 2C. D. 504. 生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( ) A. 23 B. 35 C. 25 D.155. 在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测. ( ) 甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为( )A .甲、乙、丙B .乙、甲、丙C .丙、乙、甲D .甲、丙、乙6. 设()f x 为奇函数,且当0≥x 时,()1=-xf x e ,则当0<x 时,()=f x ( ) A. 1--x e B. 1-+x e C. 1---x e D . 1--+x e7. 设,αβ为两个平面,则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面8. 若123,44x x ππ==是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点,则ω=( ) A .2B. 32C. 1D.129.若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点,则=p ( ) A.2 B.3 C.4 D.810. 曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为( )A. 10x y π---=B. 2210x y π---=C. 2210x y π+-+=D. 10x y π+-+=11. 已知(0,)2πα∈,2sin 2cos21αα=+,则sin α=( )A.15D.512.设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点,0为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于,P Q 两点,若PQ OF =,则C 的离心率为:( )A.2B.3C.2D.5 二、填空题13. 若变量,x y 满足约束条件23603020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则3z x y =-的最大值是 .14. 我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站的高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .15. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知sin cos 0b A a B +=,则B = . 16.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面,其棱长为 .(本题第一空2分,第二空3分.)三、解答题17.如图,长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形,点E 在棱1AA 上,1BE EC ⊥. (1)证明:BE ⊥平面11EB C(2)若1AE AE =,3AB =,求四棱锥11E BB C C -的体积.18.已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,162,2231+==a a a . (1)求{}n a 的通项公式:(2)设n n a b 2log =,求数列{}n b 的前n 项和.19. 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例; (2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)8.602≈.20. 已知12,F F 是椭圆C :22221(0,0)x y a b a b+=>>的两个焦点,P 为C 上的点,O 为坐标原点.(1)若2POF ∆为等边三角形,求C 的离心率;(2)如果存在点P ,使得12PF PF ⊥,且12F PF ∆的面积等于16,求b 的值和a 的取值范围.21. 已知函数()(1)ln 1=---f x x x x .证明: (1)()f x 存在唯一的极值点;(2)()0=f x 有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数. 四、选做题(2选1)22.在极坐标系中,O 为极点,点00(,)M ρθ0(0)ρ>在曲线:=4sin C ρθ上,直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直,垂足为P .(1)当03πθ=时,求0ρ及l 的极坐标方程;(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时,求P 点轨迹的极坐标方程. 23.[选修4-5:不等式选讲]已知 ()|||2|()f x x a x x x a =-+-- (1)当1a =时,求不等式()0f x <的解集:(2)若(,1)x ∈-∞时,()0f x <,求a 得取值范围.2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学·参考答案一、选择题 1.C 2.C 3.B 4.B 5.D 6.C 7.D8.B9.A10.D11.A12.B二、填空题13.y =3x 14.5815.−416三、解答题 17.解:(1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8. 女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.(2)22100(40203010) 4.76250507030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.由于4.762 3.841>,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 18.解:(1)设{}n a 的公差为d . 由95S a =-得140a d +=. 由a 3=4得124a d +=. 于是18,2a d ==-.因此{}n a 的通项公式为102n a n =-.(2)由(1)得14a d =-,故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <,故n n S a 等价于211100n n -+,解得1≤n ≤10. 所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N . 19.解:(1)连结1,B C ME .因为M ,E 分别为1,BB BC 的中点,所以1 ME B C ∥,且112ME B C =.又因为N 为1A D 的中点,所以112ND A D =. 由题设知11=A B DC ∥,可得11=BC A D ∥,故=ME ND ∥,因此四边形MNDE 为平行四边形,MN ED ∥.又MN ⊄平面1C DE ,所以MN ∥平面1C DE . (2)过C 作C 1E 的垂线,垂足为H .由已知可得DE BC ⊥,1DE C C ⊥,所以DE ⊥平面1C CE ,故DE ⊥CH. 从而CH ⊥平面1C DE ,故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离,由已知可得CE =1,C 1C =4,所以1C E CH =.从而点C 到平面1C DE .20.解:(1)设()()g x f x '=,则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=.当π(0,)2x ∈时,()0g x '>;当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()0g x '<,所以()g x 在π(0,)2单调递增,在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. 又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫=>=-⎪⎝⎭,故()g x 在(0,π)存在唯一零点. 所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.(2)由题设知(π)π,(π)0f a f =,可得a ≤0.由(1)知,()f x '在(0,π)只有一个零点,设为0x ,且当()00,x x ∈时,()0f x '>;当()0,πx x ∈时,()0f x '<,所以()f x 在()00,x 单调递增,在()0,πx 单调递减. 又(0)0,(π)0f f ==,所以,当[0,π]x ∈时,()0f x . 又当0,[0,π]a x ∈时,ax ≤0,故()f x ax . 因此,a 的取值范围是(,0]-∞. 21.解:(1)因为M 过点,A B ,所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y上,且,A B 关于坐标原点O 对称,所以M 在直线y x =上,故可设(, )M a a . 因为M 与直线x +2=0相切,所以M 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ,又MO AO ⊥,故可得2224(2)a a +=+,解得=0a 或=4a . 故M 的半径=2r 或=6r .(2)存在定点(1,0)P ,使得||||MA MP -为定值. 理由如下:设(, )M x y ,由已知得M 的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥,故可得2224(2)x y x ++=+,化简得M 的轨迹方程为24y x =. 因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点,以直线1x =-为准线的抛物线,所以||=+1MP x .因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---,所以存在满足条件的定点P .22.解:(1)因为221111t t --<≤+,且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+,所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-. l的直角坐标方程为2110x +=.(2)由(1)可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数,ππα-<<).C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=.当2π3α=-时,π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7,故C 上的点到l.23.解:(1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥,又1abc =,故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c++≤++. (2)因为, , a b c 为正数且1abc =,故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥.2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国II 卷 )文科数学答案1. 答案:C 解析:{}1-|>=x x A ,{}2|<=x x B ,∴)(2,1-=⋂B A .2. 答案:D 解析:因为(2)12z i i i =+=-+,所以12z i =--. 3. 答案:A 解答:由题意知(1,1)-=-a b ,所以2-=a b .4. 答案:B 解答:计测量过的3只兔子为1、2、3,设测量过的2只兔子为A 、B 则3只兔子的种类有(1,2,3)(1,2,)A (1,2,)B (1,3,)A (1,3,)B (1,,)A B ()()()()2,3,2,3,2,,3,,A B A B A B ,则恰好有两只测量过的有6种,所以其概率为35.5.答案:A 解答:根据已知逻辑关系可知,甲的预测正确,乙丙的预测错误,从而可得结果. 6. 答案:D 解答:当0<x 时,0->x ,()1--=-xf x e,又()f x 为奇函数,有()()1-=--=-+xf x f x e .7. 答案:B 解析:根据面面平行的判定定理易得答案. 8.答案:A 解答:由题意可知32442T πππ=-=即T=π,所以=2ω. 9.答案:D 解析:抛物线)0(22>=p px y 的焦点是)0,2(p,椭圆1322=+p y p x 的焦点是)0,2(p ±, ∴p p22=,∴8=p . 10. 答案:C 解析:因为2cos sin y x x '=-,所以曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线斜率为2-, 故曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为2210x y π+-+=. 11. 答案:B 解答:(0,)2πα∈,22sin 2cos 214sin cos 2cos ααααα=+⇒=,则12sin cos tan 2ααα=⇒=,所以cos 5α==,所以sin 5α==. 12. 答案:A解析:设F 点坐标为)0,2c (,则以OF 为直径的圆的方程为2222)2⎪⎭⎫⎝⎛=+-c y c x (-----①,圆的方程222a y x =+-----②,则①-②,化简得到c a x 2=,代入②式,求得caby ±=,则设P 点坐标为),2c ab c a (,Q 点坐标为),2c ab c a -(,故c ab PQ 2=,又OF PQ =,则,2c cab=化简得到2222b a c ab +==,b a =∴,故2222==+==aaa b a ace .故选A. 二、填空题 13. 答案:9 解答:根据不等式组约束条件可知目标函数3z x y =-在()3,0处取得最大值为9. 14.答案:0.98 解答:平均正点率的估计值0.97100.98200.99100.9840⨯+⨯+⨯==.15.答案:34π 解析:根据正弦定理可得sin sin sin cos 0B A A B += ,即()sin sin cos 0A B B +=,显然sin 0A ≠,所以sin cos 0B B +=,故34B π=.16.答案:1 解析:由图2结合空间想象即可得到该正多面体有26个面;将该半正多面体补成正方体后,根据对称性列方程求解. 三、解答题 17.答案:(1)看解析 (2)看解析 解答:(1)证明:因为11B C C ⊥面11A B BA ,BE ⊥面11A B BA∴11B C BE ⊥ 又1111C E B C C ⋂=,∴BE ⊥平面11EB C ;(2)设12AA a =则 229BE a =+,22118+a C E =,22194C B a =+ 因为22211=C B BE C E + ∴3a =,∴11111h 3E BB C C BB C C V S -=1363=183=⨯⨯⨯ 18.答案: (1)122-=n n a ; (2)2n解答:(1)已知162,2231+==a a a ,故162121+=q a q a ,求得4=q 或2-=q ,又0>q ,故4=q ,则12111242---=⋅==n n n n q a a .(2)把n a 代入n b ,求得12-=n b n ,故数列{}n b 的前n 项和为22)]12(1[n nn =-+.19. 答案: 详见解析 解答:(1)这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例是14721100100+=, 这类企业中产值负增长的企业比例是2100. (2)这类企业产值增长率的平均数是()0.1020.10240.30530.50140.7071000.30-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷=⎡⎤⎣⎦这类企业产值增长率的方差是()()()()()222220.100.3020.100.30240.300.30530.500.30140.700.3071000.0296⎡⎤--⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯÷=⎣⎦所以这类企业28.6020.172040.17100==⨯=≈. 20. 答案: 详见解析 解答:(1)若2POF ∆为等边三角形,则P 的坐标为,22c ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭,代入方程22221x y a b +=,可得22223144c c a b+=,解得24e =±1e =. (2)由题意可得122PF PF a +=,因为12PF PF ⊥,所以222124PF PF c +=, 所以()22121224PF PF PF PF c +-⋅=,所以222122444PF PF a c b ⋅=-=, 所以2122PF PF b ⋅=,所以122121162PF F S PF PF b ∆=⋅==,解得4b =. 因为()212124PF PF PF PF +≥⋅,即()21224a PF PF ≥⋅,即212a PF PF ≥⋅,所以232a ≥,所以a ≥. 21. 答案:见解析解答:(1)1()ln (0)'=->f x x x x ,设1()ln =-g x x x ,211()0'=+>g x x x则()g x 在(0,)+∞上递增,(1)10=-<g ,11(2)ln 2ln 022=->=g , 所以存在唯一0(1,2)∈x ,使得00()()0'==f x g x ,当00<<x x 时,0()()0<=g x g x ,当0>x x 时,0()()0>=g x g x ,所以()f x 在0(0,)x 上递减,在0(,)+∞x 上递增,所以()f x 存在唯一的极值点.(2)由(1)知存在唯一0(1,2)∈x ,使得0()0'=f x ,即001ln =x x , 00000000011()(1)ln 1(1)1()0=---=---=-+<f x x x x x x x x x , 22221113()(1)(2)110=----=->f e e e e,2222()2(1)130=---=->f e e e e , 所以函数()f x 在0(0,)x 上,0(,)+∞x 上分别有一个零点.设12()()0==f x f x ,(1)20=-<f ,则1021<<<x x x ,有1111111(1)ln 10ln 1+---=⇒=-x x x x x x , 2222221(1)ln 10ln 1+---=⇒=-x x x x x x , 设1()ln 1+=--x h x x x ,当0,1<≠x x 时,恒有1()()0+=h x h x, 则12()()0+=h x h x 时,有121=x x .22.答案:(1)0ρ=l 的极坐标方程:sin()26πρθ+=;(2)P 点轨迹的极坐标方程为=4cos ρθ(,)42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 解析:(1)当03πθ=时,00=4sin 4sin 3πρθ==以O 为原点,极轴为x轴建立直角坐标系,在直角坐标系中有M ,(4,0)A,OM k =,则直线l的斜率k =,由点斜式可得直线l:4)y x =-,化成极坐标方程为sin()26πρθ+=; (2)∵l OM ⊥∴2OPA π∠=,则P 点的轨迹为以OA 为直径的圆,此时圆的直角坐标方程为22(2)4x y -+=,化成极坐标方程为=4cos ρθ,又P 在线段OM 上,由4sin 4cos ρθρθ=⎧⎨=⎩可得4πθ=,∴P 点轨迹的极坐标方程为=4cos ρθ(,)42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 23.答案(1)看解析(2)看解析解答: (1)当1a =时,22242(2),()12(1)22(12),242(1).x x x f x x x x x x x x x x ⎧-+≥⎪=-+--=-<<⎨⎪-+-≤⎩所以不等式()0f x <等价于224202x x x ⎧-+<⎨≥⎩或22012x x -<⎧⎨<<⎩或224201x x x ⎧-+-<⎨≤⎩解得不等式的解集为{}2x x <。

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